Мастер-класс «Изучение числовых функций, их свойств и графиков»

Определение. Если даны числовое множество Х и правило f , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у , то говорят задана функция у = f (x) с областью определения Х; пишут у = f (x) , х Х

Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной или функцией

Определение 2. Множество всех значений х называют областью определения функции и обозначают D ( f )

Определение 3. Множество всех значений функции у = f (x) , х Х, называют областью значений функции и обозначают Е( f )

Линейная

функция

Квадратичная

функция

Функция

целой

части числа

Функции

Кубическая

функция

Обратная

пропорциональная

зависимость

Кусочные

функции

Линейная функция у = а x+b

График линейной функции – прямая, не перпендикулярная оси х

График прямой пропорциональности у = kx – прямая, проходящая через начало координат

0 , или вниз, если а Координаты вершины ( х 0 ; у 0 ): абсцисса находится по формуле а ордината подстановкой" width="640"

Квадратичная функция

у = ах 2 + bx+c , а ≠ 0

График функции – парабола, ветви которой направлены вверх, если а 0 , или вниз, если а

Координаты вершины ( х 0 ; у 0 ): абсцисса находится по формуле

а ордината подстановкой

Кубическая функция

у = х 3

График функции – кубическая парабола

Обратная пропорциональная зависимость

График обратной пропорциональности - гипербола

Кусочная функция

График функции

ветвь параболы.

Функция целой части числа у = [ x ]

D ( у ) = ( - ∞; + ∞) E ( у ) = Z

Линейная

функция

Квадратичная

функция

Функция

целой

части числа

Функции

Кубическая

функция

Обратная

пропорциональная

зависимость

Кусочные

функции

Способы задания функций

Аналитический

Графический

Табличный

Словесный

Аналитический способ задания функции – это значит указать формулу или несколько формул, которые позволят по произвольно выбранному значению х из D ( f ) вычислить соответствующее значение у

Графический способ – задание функции с помощью графика, позволяет увидеть функцию целиком всю сразу и наглядно представить её свойства. Сейсмограммы, кардиограммы, осциллограммы – примеры графического задания функции.

На этом графике показаны значения температуры воздуха. Видно, что с 7 до 9 часов температуру измеряли непрерывно, а затем сделали один замер в 10часов.

у

х = 2

х

0

Табличный способ задания функций – задание таблицы, где перечисляются все числа х и все значения f (х).

Табличный способ задания функций широко распространен: результаты наблюдений за какой-либо характеристикой изучаемого процесса (температурой, давлением, влажностью, объемом и т.д.) приводят к табличному заданию изучаемых функций.

Словесный способ задания функций – правило задания функции описывается словами

Например, так: у – это число, которое получится, если у натурального числа х стереть первую цифру. Чтобы получить значение такой функции, нужно сначала задать значение аргумента – написать число х . Затем, в соответствии с описанием нужно стереть первую цифру. Если после нее окажутся нули, их тоже нужно стереть. Получившееся число и будет значением функции.

Способы задания функций

Аналитический

Графический

Табличный

Словесный

а

б

3

1

в

г

4

2

а

2

б

в

3

1

Блиц опрос

• Найдите область определения функции
• Лежит ли точка В ( 2;-5) на линии, заданной уравнением у = -х 2 + 2х - 9 ?
• Проходит ли прямая, заданная уравнением у = -3х – 5 , через третью координатную четверть?
• Найдите область значения функции у = - 2(х +1) 2 + 3 .
• Функция задана уравнением у = (- 2/7) х +5 . Какая линия служит графиком этой функции?

• Найдите область определения функции
• Лежит ли точка А (3;7) на графике функции у = -х 2 + 4х + 4 ?
• Проходит ли прямая, заданная уравнением у = 5х + 2 , через четвертую координатную четверть?
• Найдите область значения функции у = (х -2) 2 - 3 .
• Функция задана уравнением у = 4х – 5 . Какая линия служит графиком этой функции?

6 или D (y) = ( 6 ; + ∞ ) Да Нет Е(у) : у ≥ -3 или Е(у)= [-3 ; + ∞) Прямая" width="640"

Ответы

• Найдите область определения функции
• Лежит ли точка В ( 2;-5) на линии, заданной уравнением у = -х 2 + 2х - 9 ?
• Проходит ли прямая, заданная уравнением у = -3х – 5 , через первую координатную четверть?
• Найдите область значения функции у = - 2(х +1) 2 + 3 .
• Функция задана уравнением у = (- 2/7) х +5 . Какая линия служит графиком этой функции?

• Найдите область определения функции
• Лежит ли точка А (3;7) на графике функции у = -х 2 + 4х + 4 ?
• Проходит ли прямая, заданная уравнением у = 5х + 2 , через четвертую координатную четверть?
• Найдите область значения функции у = (х -2) 2 - 3 .
• Функция задана уравнением у = 4х – 5 . Какая линия служит графиком этой функции?

D (y) : х ≤ 4 или

D (y) = ( - ∞; 4 ]

Нет

Да

Е(у) : у ≤ 3 или

Е(у)= ( - ∞; 3 ]

Прямая

D (y) : х 6 или

D (y) = ( 6 ; + ∞ )

Да

Нет

Е(у) : у ≥ -3 или

Е(у)= [-3 ; + ∞)

Прямая

Числовые функции

*Вычислите простейшим способом

Вопрос 1

Какая из данных прямых не имеет общих точек с параболой у = х 2 – 3?

1) у = 0

2) у = 8

3) у = -6

4) у = -3

Вопрос 2

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

1) у = -3х-6 2) у = -3х+6 3) у = 3х-6 4) у = 3х+6

А

Б

В

2

3

1

Вопрос 3

Какая из прямых пересекает график функции в двух точках?

1) у = -3х

2) у = 2х

3) у = -5

4) х = 4

Вопрос 4

На рисунке изображен график функции, заданной на промежутке [ -5; 4). Укажите множество значений этой функции.

1) [-5; 4)

2) [-3; 2)

3) [-3; 3]

4) [-3; 2) U (2; 3]

Вопрос 5

На рисунке изображен график функции у = 2х 2 +5х-3 . Вычислите абсциссу точки А.

Ответ: ______

Вопрос 6

На рисунке изображен график функции у = f (х), заданный на промежутке [ -1; 4,5 ] . Из приведенных ниже утверждений выберите верное.

• Наименьшее значение функции у = f (х) равно 0.

2) f (х) при -0,5

3) Функция у = f (х) возрастает на промежутке [ -1; 1 ]

4) f (0) = 3

4 х. 1) (- ∞; 0) 2) (4; + ∞) 3) (- ∞; 0) U (4; + ∞) 4) (0 ; 4)" width="640"

Вопрос 7

На рисунке изображен график функции у = х 2 - 4х. Используя график, решите неравенство х 2 4 х.

1) (- ∞; 0)

2) (4; + ∞)

3) (- ∞; 0) U (4; + ∞)

4) (0 ; 4)

4х х 2 - 4х 0 При каких значениях х график функции у 0 ?" width="640"

Решение.

х 2 4х

х 2 - 4х 0

При каких значениях х график функции у 0 ?

Вариант 4. Часть 2. 21.

Найдите все значения k , при которых прямая у = k х пересекает в трех точках график функции

0. 2   . 3 k 3 Прямая пересекает в трех различных точках график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (-3; -2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым у=3х+7 и у=3х-11 ." width="640"

Решение.

Найдем угловой коэффициент

прямой, проходящей через

точку (-3; -2): -2 = -3 k

k =

Угловой коэффициент k

прямой, параллельной прямой

у = 3х+7 , равен 3. Прямая у = k х

имеет с графиком заданной

функции три общие точки при

Ответ: или

Построим график функции

k

Прямая у = k х при k имеет одну точку пересечения с графиком функции, что не удовлетворяет условию, следовательно, k 0.

2





.

3

k

3

Прямая пересекает в трех различных точках график, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (-3; -2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым у=3х+7 и у=3х-11 .

Тема: «Числовые функции»

• Итог урока.

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдётся путь!

Пойа Д.

34