(ма?ала)ПРОГРЕССИЯ

ПРОГРЕССИЯ

Б.Б.Қамариден, 8 – сынып оқушысы. Қ.Ыдырысов атындағы орта мектеп, Ақтоғай ауданы.

Жетекшісі: математика пәнінің мұғалімі Р.Қ.Аитимова

1.1 Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар.

Архимедтің еңбектерінде (б.э.д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланған.

Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…

Алғашында Архимед дөңгелекке алтыбұрышты іштей сызды, сосын әр қабырғасына теңбүйірлі үшбұрыштарды салды – онекібұрыш пайда болды.

Біртіндеп қабырғаларды екі еселей отырып, Архимед 24- бұрышты, 48- бұрышты,  ақыр соңында 96- бұрышты алды. Салынған көпбұрыштар біртіндеп дөңгелектің ауданын жапты. Бұл әдіс Архимед өлген соң 2200 жылдан кейін заманауи геоиетрия оқулығының беттерінен көрінді.

Архимед өз зерттеулерінің барысында, еселігі ¼ болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысын тапты, бұл математикадағы шектеусіз тізбектің алғашқы мысалы еді.

Кейбір геометриялық және механикалық есептерді шешуде, Архимед натурал сандардың квадраттарының қосындысының формуласын қорытып шығарды алайда бұл формула оған дейін белгілі еді:

Прогрессиялар арасындағы байланысқа бірінші болып, ұлы Архимед назар аударды.Архимедтің ойлары, 1544 жылы неміс математигі Михаил  Штифелдің  «Жалпы арифметика» деген кітабы жарыққа шыққанда белгілі болды. Ол төмендегідей таблица құрды:

Жоғарғы жолда айырмасы 1ге тең арифметикалық прогрессия, төменгі жолда еселігі  2ге тең геометриялық прогрессия орналасқан.

Егер aⁿ·a^m=a^n+m  және  a^m:aⁿ=a^m-n тепе теңдіктерін ескерсек Штифелдің төменгі жолын былай жазуға  болады:

1.2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер.

Пифагор (IV ғ.б.э.д) және оның оқушылары геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді қарастырды. Үшбұрыштардағы, квадраттардағы, бесбұрыштардағы сандар тобын есептей келе, олар төмендегідей қорытындыға келді.

-  үшбұрышты сандар тізбегі (а_п ) 1, 3, 6, 10, 15, … ;

-  квадраттық сандар тізбегі (b_п)  1, 4, 9, 16, 25, … ;

-  үшбұрышты сандар тізбегі(с_п) 1, 5, 12, 22, 35, ..

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

а₁ = 1, а₂ = 1 + 2, а₃ = 1 + 2 + 3, а_п = 1 + 2 + 3 + … + п.

Сондықтан:

а_п = (1 + п ):2·п.

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

b₁= 1, b₂ = 1 + 3, b_з = 1 + 3 + 5, …, b_n = 1 + 3 + 5 + … + 2п- 1.

бұдан,

b_n =(1+2n-1):2·n;  b_n=n².

Сандардың квадраттарының формуласына келдік.

Осы тізбекті п-мүшесінің формуласы арқылы берейік.

с₁= 1, с₂ = 1 + 4, с_з = 1 + 4 + 7, …,  с_n = 1 + 4 + 7 + … +(1+3( п- 1)).

Бұдан,

с_n =(1+1+3( п- 1)):2·n;  с_n=(3n-1)·n/2

1.3. Фиббоначчи қатары.

Фиббоначчи қатары. Европалықтарда кез келген арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесі, алғаш рет Леонардо Пизанскидің шығармасында кездесті  «Книга об абаке» (1202 г.)

«Книгa абака» сол замандағы Батыс Европада математиканың дамуында маңызды роль атқаратын  барлық арифметикалық және алгебралық мәліметтер жарияланды. Европалықтар осы кітап арқылы үнді, араб цифрларымен танысты.  Фибоначчидің ең танымал «қояндардың көбеюі туралы » есебі, Фиббоначчи тізбегінің анықталуына алып келді.

Фибоначчи есебі:

Бір адам қояндар жұбын, қоршалған бір жерге орналастырды. Ол бір жылда қанша қояндар жұбы туатынын білгісі келді. Қояндардың табиғатында, әрбір жұп бір айдан соң, дүниеге бір жұп әкеледі; ал қояндар туғаннан кейін екі айдан соң балалайды.

Егер біз алғашқы жұптың жаңа туғанын ескерсек, екінші айда да бұрынғыдай, бір жұп болады; үшінші айда – 1+1=2; төртінші айда -  2+1=3(мұндағы екі жұптың біреуі ғана ұрпақ беретінін ескереміз); бесінші айда – 3+2=5 (үшінші айда туған жұп ұрпақ берді); алтыншы айда- 5+3=8 жұп (төртінші айда туған жұптар ғана ұрпақ береді)т.с.с.

«Бір жұптан жылына қанша ұрпақ тарайды»

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 және сол сияқты сандар қатары Фибоначчи қатары болып табылытынын біз білеміз. Бұл қатардың ерекшелігі: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 және т.с.с. Осылайша n- айдан кейінгі жұптардың санын u_k деп белгілесек, онда u₁=1, u₂=1, u₃=2, u₄=3, u₅=5, u₆=8, u₇=13, u₈=21 және т.с.с. және бұлар ортақ заңмен реттеледі:

u_n =u_n-1 + u_n-2 және  n 2.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …шыққан сан тізбегін жалғастырсақ,  Фибоначчи қатарын аламыз. Фибоначчи сандары — сандық тізбектің элементері  үшіншісінен бастап әрбір сан өзінің алдындағы екі санның қосындысы болып табылады. Орта ғасырдағы математик  Леонардо Пизанскидің атымен аталған.

Тізбектің қарапайым қасиеттері

1. Фибоначчидің алғашқы  n- санының қосындысы:

u₁+u₂+…+u_n=u_n+2 -1.

Фибоначчидің тақ нөмірлі сандарының қосындысы:

u₁+u₃+u₅+…+u_2n-1=u_2n.

Фибоначчидің жұп  нөмірлі сандарының қосындысы:

u₂+u₄+…+u_2n=u_2n+1 -1.

Фибоначчидің алғашқы  n- санының квадраттарының  қосындысы:

Фибоначчи тізбегінде әрбір үшінші сан – жұп, әрбір төртіншісі 3ке бөлінеді, әрбір бесіншісі 5ке бөлінеді, әрбір он бесіншісі 10ға бөлінеді.

u_n+m=u_n-1u_m+u_nu_m+1 (1)

1) (1) формуласындағы  m=n болсын,     u_2n=u_n-1u_n +u_nu _n+1  немесе u_2n=u_n(u_n-1+u_n+1) болғандықтан  u_n=u_n+1-u_n-1u_2n =(u_n+1-u_n-1)(u_n+1+u_n-1)  немесе u_2n=(u_n+1)²-(u_n-1).² болады.

Ендеше Фибоначчи сандарындағы, реттік нөмірлерінің айырмашылығы екіге тең, екі санының квалраттарының айырымыда, Фибоначчи саны болады.

2) m=2n болсын  u_3n=(u_n+1)³+(u_n)³-(u_n-1)³.Егер n – орнының нөмірі болса, онда

мынадай  және екі иррационал санның көмегімен, Фибоначчи қатарының кез келген мүшесін (1) формуламен табуға болады.

Евклидтің шығармаларында «Бастамалар» (б.э.д.  300ж) геометриялық прогрессияға байланысты ауызша теорема бар, оны мынадай теңдікпен көрсетуге болады.

1.4.Ертедегі Индия аңызы

Ертедегі Индияның  патшасы Шерам, шахматты ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны өзіне шақырып, осындай тамаша ойынды ойлап тапқаның үшін не сыйлайын деп сұрапты.

Сонда өнертапқыш,  патшадан шахмат тақтасының бірінші клеткасына

1 дән, екіншісіне – 2 дән, үшіншісіне  – 4, төртіншісіне – 8 және т.с.с.., яғни әр клеткаға, алдыңғыдағыдан екі есе артық дән салуын сұрапты.

Алғашында патша осыншалық аз сұранысқа таң қалады да, тезірек Сетаның өтінішін орындауды бұйырады.

Алайда патша сарайындағы «қор» бұл өтінішті орындауға қауқарсыз болып шығады.

Шын мәнінде бұл өтінішті орындау үшін, мына қосындыға тең дән керек еді 1 + 2 + 2² +.. + 2⁶³, ал бұл қосынды 18446744073709551615 ке тең. Егер1 пуд дән  40000 дәннен тұратынын ескерсек, өтініш орындалу үшін  230 584 300 921 369 пуд дән керек . Егер жылына   1 000 000 000 пуд дән жиналады деп ұйғарсақ,  өткізу керек (бір де бір дән шығын болмаған жағдайда).

Шахматты ойлап тапқаны үшін өнертапқыш,

S₆₄=2⁶⁴-1=18446744073704551615  дән алар еді.

Барлық дән: 18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион73 миллиард (биллион) 709 миллион 551мың 615

Бұл санның стандарт түрі:    

S ₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 1,84 · 10¹⁹

Пайдаланылған әдебиеттер

1.     Шыныбеков Ә.Н.

Ш97 Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған

оқулық.    Алматы: Атамұра, 2005. 82-122 б.;

2.     Математика ғалымдарының өмірі мен ғылыми еңбектері. Москва.: Просвещение,1976. 56,98,217,265 б.

3.     Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 б.;

4.     Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.:Просвещение, 2009. – 271 б.;

5.     Математика. Алгебра.Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2000,-352б.;

6.     Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352б..

7. Н.Г., Суворова С.Б. . -М.: Просвещение, 2009, -27ёс.(с. 152)