Курсова робота на тему:"РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ. ПЕРЕТВОРЕННЯ І СПРОЩЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ."

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ.

ПЕРЕТВОРЕННЯ І СПРОЩЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Кваліфікаційна робота

вчителя математики

спеціаліста вищої категорії

Криворізької загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №114

Ткачук Любов Борисівни

ЗМІСТ

Вступ ………………………………………………………………………………3

Розділ 1. Теоретичні основи розв’язування тригонометричних рівнянь ……..5

Розділ 2. Методичні рекомендації щодо розв’язання тригонометричних рівнянь та перетворення і спрощення розв’язків тригонометричних рівнянь…………8

Висновки ………………………………………………………………………….35

Список використаної літератури ………………………………………………..36

Додатки …………………………………………………………………………...38

ВСТУП

… Поставити справу так, щоб усе,

що підлягало вивченню, вивчалося:

• легко;

• швидко;

• ґрунтовно.

Я.А.Каменський

Мета державної політики щодо розвитку освіти, як зазначається в Доктрині освіти в Україні в ХХІ столітті, полягає у створенні умов для розвитку особистості і творчої самореалізації кожного громадянина України. Пріоритетним напрямом в реформуванні освіти є досягнення якісно нового знання і вміння розглядаються не як самоціль, а як засіб розвитку особистості школяра, забезпечення його особистої грамотності, як здатність розуміти роль математики у світі, в якому він живе, висловлювати обґрунтовані математичні судження і використовувати математичні знання для задоволення пізнавальних і практичних потреб.

У державному загальноосвітньому стандарті з математики йдеться про те, що відтворення означень, теорем, правил є лише ланкою на шляху досягнення результату. Воно не може бути кінцевою метою вивчення того чи іншого предмета. З’ясувати, чи розуміє учень зміст математичного твердження можна, запропонувавши йому спеціально підготовлені запитання або задачі. Застосовуються поняття та факти, безумовно, в процесі розв’язання задач.

Таким чином, у стандарті містяться види діяльності, які забезпечують компетентності учнів.

У своїй практичній діяльності віддаю перевагу колективній методиці взаємонавчання. Для мене головне – це значне підвищення інтересу до математики, з одного боку, і великий стимул до самовдосконалення кожного учня – з другого.

1. Теоретичні основи розв’язування тригонометричних рівнянь

Тригонометричним рівнянням називається рівняння, яке містить невідоме тільки в аргументі тригонометричної функції, причому над тригонометричними функціями виконуються не тільки алгебраїчні дії. Основні поняття про рівняння і теореми про рівносильність справедливі і для тригонометричних рівнянь.

Загального метода розв’язання тригонометричного рівняння не існує. При розв’язанні тригонометричних рівнянь перш за все необхідно знайти область визначення рівняння в тій числовій множині, в якій розглядається рівняння. Потім у області визначення рівняння за допомогою теорем рівносильності і тотожних перетворень приводять дане рівняння до одного або декількох найпростіших рівнянь (додаток 2).

Тотожні перетворення частин рівняння можуть змінювати область визначення. Якщо вона розширюється, то можна отримати значення невідомого, яке не є розв’язком даного рівняння (сторонні корені), а якщо область визначення звужується, то можна втратити розвязки. У цьому випадку необхідно дослідити , чи немає серед значень невідомого, на яке звузилася область визначення рішень даного рівняння.

Як при розв’язуванні алгебраїчних, так і при розв’язуванні тригонометричних рівнянь піднесення обох частин рівняння до квадрату може розширити його область визначення і з’являються сторонні розв’язки. При застосуванні тригонометричних тотожностей, формул (додаток 1) для розв’язування тригонометричних рівнянь область визначення може залишатися такою ж, розширюватися і звужуватися. Зміна області визначення для деяких випадків заміни лівої частини тотожності наведені в таблиці.

№з/п	Формула	Зміна області визначення
		Звуження	Розширення
1	sin2+cos = 1	-	-
2	tg =	-	-
3	sec2 = 1 + tg2	-	-
4	tg ctg	-	=
5
6	sin(	-	-
7	tg(	+,	-
8	tg 22)		-
9	ctg	-	-
10	2 )		-
11	22 )
12	ctg(1- tg2)/(2 tg)	-	-
13	cos2tg2	+	-
14		-	-

Крім того, якщо при розв’язуванні область визначення рівняння звузилася, то слід перевірити чи немає серед значень невідомого, на яке звузилася область визначення, розв’язків рівняння.

Як довести, що незалежно від способу розв’язування конкретного тригонометричного рівняння одержано правильну відповідь? Як знайти і записати правильну відповідь? Як виключити сторонні корені, якщо такі є?

Для цього треба вміти перетворювати і спрощувати множини розв’язків тригонометричних рівнянь. Для цього учнів доцільно ознайомити з методом, в якому використовуються властивості арифметичної прогресії. Цей метод можна вважати універсальним для розв’язування будь-якого тригонометричного рівняння і для його засвоєння достатньо оволодіти двома операціями:

1. розбиття множини на певну кількість підмножин;

2. об’єднання множин.

Довільна множина розв’язків тригонометричного рівняння в аналітичному записі – це формула загального члена деякої нескінченної арифметичної прогресії. Наприклад, розв’язком рівняння cos x = 0 є множина x = +, де kZ і кожному значенню к відповідає конкретне значення х:

k	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
x	…								…

Неважко знайти різницю d такої прогресії, яку надалі називатимемо періодом множини чисел. Ні перший, ні останній її члени визначити неможливо. Тому домовимося приймати за перший член а₀– член числової послідовності, модуль якого найменший. Тоді формула загального члена арифметичної прогресії матиме вигляд:

х = а₀+ dk, k

У наведеному прикладі а ₀= , d= π.

Якщо під час розв’язування рівнянь не одержимо відповідь, в якій перший член більший за половину періоду d, то його доцільно замінити доповненням до періоду з протилежним знаком.

Наприклад, якщо

х =

то d = а ₀ = ,

а доповненням до періоду буде

а ¹₀ = π- =

Тому відповідь матиме вигляд:

x = - +πk, k

Важливо, що така заміна початкового члена не замінює множини розв’язків.

Формально це можна пояснити, наприклад, так:

7k – 4=7k – 4+7 – 7=(7k-7)+(7-4)=7(k-1)+3=7k₁+3,

де k, k₁Числаkі k₁ відрізняються на 1, але обидва набувають усіх значень на інтервалі (тому в формулі загального члена прогресії після заміни першого члена для зручності можна залишити те саме число k.

(Домовимося далі фіксувати в записі заміну стрілкою, наприклад, так

(7k – 4 7k+3).

Відомо, що довільну множину чисел, що є нескінченною арифметичною прогресією з періодом d, завжди можна розбити на потрібну кількість підмножин m.

При цьому треба дотримуватися таких правил:

1. за період усіх підмножин вибирається одне і те саме число, що дорівнює добутку періоду заданої множини на кількість підмножин: d=dm;

2. за перші члени підмножин розбиття приймаються числа, які представляють у сукупності впорядковану множину m членів арифметичної прогресії з різницею d і першим членом а ₀заданої множини а _0, а ₁, …, а _m-1. У загальному вигляді це можна записати так:

а ₀+dmk, k

а ₁+dmk, k

x = dk+ а ₀= а ₂+dmk, k

………………

а _m-2+dmk, k

а _m-1+dmk, k .

2. Методичні рекомендації щодо розв’язання тригонометричних рівнянь та перетворення і спрощення розв’язків тригонометричних рівнянь

Розв’язування тригонометричних рівнянь розкладанням на множники

1. Розв’язати рівняння

sin x+2sin² x-2cos x-4sin xcos x =0

Розв’язання

(sin x+2sin²x) – (2cos x+4sin xcos x) = 0,

sin x (1+2sin x) – 2cos x(1+2sinx) = 0,

(sin x – 2cos x)(1+2sin x) = 0,

sin x -2cos x = 0, tg x= 2,

1+2sin x = 0, sin x = -0,5,

x= arctg 2+kπ, k ,

x = (-1)ⁿ(+ πn, n.

Відповідь: arctg 2 + kπ, k ;

(-1)ⁿ (+ πn, n.

2) Розв’язати рівняння

cos 2xcos 6x = sin x sin 5x.

Розв’язання

= ,

cos 8x+cos 6x = 0,

2cos 7x cos x = 0,

cos 7x = 0 x = , k ,

cos x = 0 x = + mπ, m.

Відповідь: , k,+ mπ, m.

1. Розв’язати рівняння

sec⁴ x + 8 sec x – 7 = 0

Розв’язання

Позначимо sec x = y, тоді:

y⁴+ 8y – 7 = 0,

(y⁴+2y² +1) – (2y² – 8y +8) = 0,

(y² + 1)² – 2(y – 2)² = 0,

(y² + 1 - (y – 2)) (y² + 1 + (y – 2)) = 0,

y² + 1 - (y -2) = 0,

y²+y - (2 - 1) = 0.

Перше рівняння розв’язків немає, коренями другого рівняння є

d = arccos.

Відповідь: .

1. Розв’язати рівняння

cos⁴ x + 4cos x – 1 = 0

Розв’язання

cos⁴ x + 2cos² x + 1 – 2cos² x +4cos x - 2 = 0,

(cos² x +1)² – 2(cos x – 1)² = 0,

(cos² x - cos x + 1 + )(cos² x + cos x + 1 - ) = 0,

cos²x - cos x + 1 + = 0,

cos² x + cos x + 1 - = 0.

Перше рівняння розв’язків немає.

З другого одержуємо:

cosx = ,

x = arccos + 2πk, k .

Відповідь: arccos + 2πk, k .

Рівняння, що містять суми тригонометричних функцій аргументів, кратних даному.

1. Розв’язати рівняння

sinx + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x

Розв’язання

(sin x + sin 3x) + sin 2x = (1 + cos 2x) + cos x,

2 sin 2x cos x + sin 2x = 2cos² x + cos x,

2sin 2x (cos x + ) = 2 cos x (cos x + ),

2 sin 2x (cos x + ) – 2 cos x (cos x + ) = 0,

(cos x + )(2sin x cos x – cos x) = 0,

(cos x + cos x (2 sin x – 1) = 0

Це рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

cosx + = 0, cos x = - x = + 2 kπ, k

cos x = 0, cos x = 0 x = + m, m,

2 sin x – 1 = 0, sin x = x = (-1)ⁿ + nπ, n.

Відповідь: + 2 kπ, + m,(-1)ⁿ + nπ, k, m, n.

1. Розв’язати рівняння

sin 5x + cos 5x + sin 7x + cos 7x = 0

Розв’язання

sin (5x+) + sin (7x+) = 0,

x + ) cos x = 0,

x + ) = 0, x = - , k

cos x = 0, x = + πn, n.

Відповідь: - , + πn, k,n.

Рівняння, що містять суми степенів тригонометричних функцій

1. Розв’язати рівняння

cos² x + cos² + cos² + cos² = 2

Розв’язання

+ + + = 2,

4 + cos 2x + cos + cos x + cos = 4,

(cos 2x + cos)+(cos+cos x) = 0,

2cos cos + 2coscos = 0,

2cos (cos+ cos) = 0,

4cos coscos = 0,

cos = 0, x = + , k

cos = 0, x = π + 2mπ, m

cos= 0x = 2π + 4πn, n

Легко побачити, що x = 2+4πn, n- окремий випадок виразу

x=+, k

x=+, k , x = π + 2mπ, m.

Відповідь: +; π + 2mπ, k,m

Введення допоміжних змінних

1. Розв’язати рівняння

tg(120+3x) – tg(140 - x) = 2sin (80+2x).

Розв’язання

Позначимо 40+х=у і рівняння залишиться у вигляді

tg 3y – tg (180 - y) = 2sin 2y,

= 2sin 2y,

sin 2y ≠ 0, cos 2y = cos 3ycos y

cos 2y = ,

2cos 2y = cos 4y + cos 2y,

cos 2y – cos 4y = 0,

2 sin3y siny = 0,

sin y 0, sin 3y 0,

3y = k, y=, k

40+x= ,

x = -40+60k, k

Відповідь: -40+60k, k

1. Розв’язати рівняння

+ + 2 = 0.

Розв’язання

Позначимо = y, тоді рівняння набирає вигляду:

y++2=0, йогокорені -2 і -

Після перетворень дістаємо:

x = + k, k

Відповідь: + k, k

1. Розв’язати рівняння

18cos²x + 5(cos x + cos^-1x)+2cos^-2x+5 = 0

Розв’язання

(18cos²x+2cos^-2x)+5(3cos x + cos^-1x) + 5 = 0

Позначимо 3cosx + cos^-1x = y. Тоді:

y² 9cos²x + cos^-2x+6,

9cos²x+cos^-2x = y² – 6,

2(y² – 6)+5y+5 = 0,

2y²+5y – 7 = 0,

y = 1, 3cos x + cos^-1x = 1, 3cos²x – cos x + 1 = 0

y = -, cos x + cos^-1 = -, 6cos²x + 7cos x + 2 = 0

Перше рівняння не має розв’язків,з другого знаходимо:

cos x =-, cos x = -. Тоді

x₁ = π + 2kπ, k

x₂= arccos(-)+2n, n

Відповідь: arccos(-)+2n, n

Однорідні рівняння

1. Розв’язати рівняння

6sin²x – sin x cos x – cos²x = 3

Розв’язання

Рівняння визначено при всіх дійсних значеннях х.

1. Зведемо його до однорідного, користуючись тригонометричною одиницею.

6sin²x – sin xcos x – cos²x – 3sin²x – 3cos²x = 0,

3sin²x – sin xcos x -4cos²x = 0.

Розділимо обидві частини рівняння на cos²x, при x+πn, n

3tg²x – tg x – 4 = 0

tg x = -1 itg x = ,

x = -+πk, k x=arctg + πn, n

При переході від sin x i cos x до tg x область визначення рівняння звузилася на значення x=+πm, m. Перевіримо, чи не є розв’язками значення x=+πm, m. У формулі x=+πm,m виділимо період 2π лівої частини даного рівняння.

x=πm = +(2k), +2k,

+π(2k+1); +2πk, m,k.

Тепер достатньо перевірити x=і x=.

При x= 6sin² - sin cos - cos² = 3

6 = 3 (хибно)

При х= 6sin² - sin*cos - cos² = 3

6 = 3 (хибно)

Розв’язками рівняння будуть

x= -+πk, k,

x=arctg + πn, n.

Відповідь: x=arctg + πn, n.

1. Розв’язати рівняння

cos³x – sin³x + 1 = 0

Рівняння визначено для всіх значень х.

sin³x – cos³x = 1

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

sin⁶x – 2sin³xcos³x + cos⁶x = 1,

sin⁶x – 2sin³xcos³x + cos⁶x = (sin²x+cos²x)³,

sin⁶x – 2sin³xcos³x+cos⁶x = sin⁶x+3sin⁴xcos²x+3sin²xcos⁴x+cos⁶x,

3sin⁴x cos2x + 2sin³x cos³x + 3sin²x cos⁴x = 0,

Поділимо обидві частини рівняння на cos⁶x0 при x + πn, n.

3tg⁴x + 2tg³x + 3tg²x = 0,

tg²x(3tg²x + 2tg x + 3) = 0,

tg²x = 0 i 3tg²x + 2tg x + 3 = 0

tgx = 0 D = -320

x = k, kнемає розв’язків.

Друге рівняння дійсних коренів не має. При переході від cos x і sin x до tg x область визначення рівняння звузилася на значення x = n, n.

Перевіримо, чи не будуть значення x = k, k розв’язками рівняння.

В формулі x = k, k виділимо період 2π лівої частини даного рівняння:

x=+πn = +π(2k), +2k, k,

+π(2k+1), +2k, k.

При x=cos- sin +1 = 0

0 = 0 (істино)

При x=cos() – sin + 1 = 0

2 = 0 (хибно)

Отже, x= + 2πk, k.

Оскільки обидві частини рівняння підносилися до квадрата, могли з’явитися сторонні корені. Перевіримо знайдені значення

x = k, k.

Виділимо період лівої частини рівняння в формулі x = k, k.

x = k = π(2m), m, 2πm, m,

π(2m+1), m; π, 2πm, m.

При х = 0 cos³0 – sin³0 + 1 = 0,

2 = 0 (хибно).

При x = πcos³π – sin³π + 1 = 0

0 = 0 (істино)

Отже, розв’язки мають вигляд:

x = + 2πk, k, x = π + 2πm, m.

Відповідь: + 2πk, kπ + 2πm, m.

Розв’язання рівнянь з застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів

1. Розв’язати рівняння

2sin cos²x – 2sin sin²x = cos²x – sin²x

Дане рівняння визначене при будь-яких значеннях х.

2sin(cos²x –sin²x) = cos²x – sin²x,

2sin cos 2x = cos 2x,

2cos 2x(sin- ) = 0,

cos 2x= 0, або sin - = 0,

2x = + n, n, sin = ,

x=+ , n. = (-1)^k +k, k,

x = (-1)^k + 2πk, k.

Відповідь: x=+ , n; x = (-1)^k + 2πk, k.

1. Розв’язати рівняння

= 0,

Перетворимо чисельник лівої частини рівняння.

= 0,

= 0,

Знайдемо область визначення рівняння.

sin 4x 0,

2sin 4x ,

sin 4x = ,

4x (-1)^k + πk, k,

x ≠ (-1)^k + πk, k.

Знаходимо корені рівняння

4sin²2x – 1 = 0,

(sin 2x - )(sin 2x + ) = 0,

sin 2x =

x = (-1)ⁿ + , n, x = (-1)^m+1 + , m.

Нанесемо на одиничне коло знайдені корені рівняння і виключимо з них ті, які не входять в область визначення рівняння.

Відповідь: x = + , n.

Розв’язування рівнянь з застосуванням формул

1+ cos 2α = 2cos²α, 1 – cos 2α = 2sin².

1. Розв’язати рівняння

1 + cos 2x + cos 4x = 0

Область визначення рівняння - всі дійсні значення х.

1 + cos 2x + cos 4x = 0,

(1 + cos 4x) + cos 2x = 0,

2cos²2x + cos 2x = 0,

2cos 2x * (cos 2x + 0,5) = 0,

cos2x = 0, 2x = + πn, n, x = + , n,

cos 2x + 0,5 = 0, 2x = + πk, k, x = + , k.

Відповідь: x = + , n,x = + , k.

1. = 0

Знайдемо область визначення рівняння.

(1+sinx)(sinx) 0

1+sinx0, або + 2sinx0

sinx-1, абоsin x ,

x-+ 2πk, k; x ≠ (-1)ⁿ + πn, n.

Знайдемо корені рівняння

2cos x (cos x – 0,5) = 0

cos x = 0 абоcos x – 0,5= 0

x = + πm, m, x = + 2πl, l.

На одиничному колі нанесемо знайдені корені рівняння і виключимо з них ті, значення яких не входять в область визначення рівняння.

Отже,

x = + 2πn, n,

x = + 2πm, m.

Відповідь: + 2πn, n, + 2πm, m

Розв’язування рівнянь перетворенням суми тригонометричних функцій в добуток

1. Розв’язати рівняння

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Дане рівняння визначено при х (-).

cos 3x + (sin 2x – sin 4x) = 0,

cos3x – 2sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2sin x) = 0.

cos 3x = 0 або1 – 2sin x = 0

3x = + πn, n 2sin x = 1

sin x = 0,5

x = + , n. X = (-1)^k+ πk, k.

Множина розв’язків x = (-1)^k + πk, k цілком міститься множині розвязків x= + , n. Тому ця множина є розв’язками рівняння.

Відповідь: x= + , n.

1. Розв’язати рівняння

sin x + sin 2x + sin 3x – cos x – cos 2x – 1 = 0.

Рівняння визначене при всіх дійсних значеннях x.

sin 2x + (sin x + sin 3x) – cos x – (1 – cos 2x) = 0,

2sin x cos x + 2sin 2x cos x – cos x – 2cos x = 0,

cos x(2sin x + 2sin 2x – 1- 2cos x) = 0,

cos x (2sin x + 4sin x cos x – 1 – 2cos x) = 0,

cos x (2sin x(1 + 2cos x) – (1 + 2cos x) = 0,

cos x (2sin x – 1)(1 + 2cos x) = 0.

cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n,

2sin x – 1 = 0, sin x = 0.5, x = (-1)^k + πk, k,

2cos x + 1 = 0; cos x = -0,5; x = + 2πm, m.

Відповідь: x = + πn, n,x = (-1)^k + πk, k,x = + 2πm, m.

1. Розв’язати рівняння

tgx + tg 2x – tg 3x = 0.

Рівняння визначене при всіх дійсних числах:

x n, n, x n, n,

2x m, m, x + , m,

3x + k, k, x + , k,

x + , n,

x + , k.

tg x + tg 2x – tg (x + 2x) = 0,

(tg x + tg 2x) – () = 0,

((tg x + tg 2x)(1 – tg x * tg 2x) – () = 0,

(( tg x + tg 2x)(1 – tg xtg 2x – 1)

= 0,

- = 0,

- = 0,

- = 0,

-tg 3x tg x tg 2x = 0,

tg x tg 2x tg 3x = 0,

tg x = 0, x = πn, n,

tg 2x = 0, x = , n,

tg 3x = 0, x = , n.

Враховуючи область визначення рівняння, розв’язками є множина x = , n.

Відповідь: , n.

Розв’язування рівнянь перетворенням тригонометричних функцій у суму

1. Розв’язати рівняння

sin 5x*cos 3x = sin 6x*cos 2x

Дане рівняння визначене при всіх дійсних значеннях х.

= ,

= ,

sin 8x + sin 2x = sin 8x + sin 4x,

sin 8x + sin 2x – sin 8x – sin 4x = 0,

sin 2x – sin 4x = 0,

2cos 3x sin (-x) = 0,

sin xcos 3x = 0,

sin x = 0, x = πn, n, x = πn, n,

cos 3x = 0, 3x = + k, k x = + , k

Відповідь: πn, n, + , k

1. Розв’язати рівняння

sin 3xsin 2x = sin 11x sin 10x

Дане рівняння визначене при всіх дійсних значеннях x.

= ,

cos x – cos 5x = cos x – cos 21 x,

cos x – cos 5x – cos x + cos 21 x = 0,

-2sin 13 xsin 8x = 0,

sin 13x sin 8x = 0,

sin 13x = 0, 13x = πn, n, x = , n,

sin 8x = 0, 8x = πk, k, x = , k.

Відповідь: , n,, k.

Рівняння, які розв’язуються за допомогою заміни змінних

1. Розв’язати рівняння

2(sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0.

Дане рівняння визначене при будь-якому дійсному значенні х.

Нехай sin x + cos x = t,

(sin x + cos x)² = 1 + sin 2x,

t² = 1 + sin 2x,

sin 2x = t² – 1,

2t + t² – 1 +1 = 0,

t² + 2t = 0,

t(t + 2) = 0,

t₁ = 0, t₂ = -2.

Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

sin x + cos x = 0 i sin x + cos x = 2.

+ = 0Поділимообидвічастинирівняння на cosx 0.

tg x + 1 = 0 x + πn, n.

tg x = -1

x = - + πn, n.

Розв’яжимо друге рівняння:

sin x + cos x = -2,

sin x = -1, x = + 2πn, n,

cos x = -1, x = + 2m, m.

Система розв’язків не має, отже і друге рівняння розв’язків не має.

Отже, x = + πn, n - розв’язкитригонометричного рівняння.

При переході від sin x i cos x до tg x область визначення рівняння звузилася на значення.

x = + 2πn, n.

У формулі x = + 2πn, n виділимо період 2π лівої частини рівняння.

x = + 2πn = + 2πk, k, + 2πk, k

+ 2πk + π, k, + 2πk, k.

При x =

2(sin + cos ) = sin π + 1 = 0,

3 = 0 (хибно).

приx =

2(sin + cos ) = sin 3π + 1 = 0,

-1 = 0 (хибно)

Відповідь: - + πn, n.

Заміна t = cos 2x.

При такій заміні через t легко виразити sin x і cos x.

cos²x = = ,

sin²x = = .

Якщо ліва частина тригонометричного рівняння F(x) = 0 виражається через cos x, sin x, то доцільно застосувати заміну невідомого по формулам:

cos 2x = t,

sin²x = (1 – t) / 2,

cos²x = (1 = t) / 2.

1. Розв’язати рівняння

cos 2x + 4sin⁴x = 8cos⁶x.

область визначення рівняння Виразимо sinx і cosx через cos 2x.

sin⁴x = (sin²x)² = ()²

cos⁶x = (cos²x)³ = ()³

Рівняння приймає вигляд:

cos 2x + 4()² = 8()³,

cos 2x + (1 – cos 2x)² = (1 + cos 2x)³.

Нехай cos 2x = t.

t + (1 – t)² = (1 + t)³.

t + 1 – 2t + t² = 1 + 3t + 3t² + t³,

t³ + 2t² + 4t = 0,

t (t² + 2t + 4) = 0,

t = 0 абоt²+2t + 4 = 0

D = 4 – 44 = -120

коренів немає.

Це алгебраїчне рівняння має єдиний корінь t = 0. Отже,

cos 2x = 0,

2x = + πn, n,

x = + , n.

Відповідь: + , n.

1. Розв’язати рівняння

sin²x+ = sin x - + .

Рівняння визначене при будь-якому дійсному значенні х, крім х = πn, n.

Нехай sin x - = t.

t² = sin²x ⁺ - 2,

sin²x + = t² + 2.

Дане рівняння можна записати:

t² + 2 = t+ ,

4t² + 8 = 4t + 7,

4t² – 4t + 1= 0,

(t - )² = 0,

t = .

2sin²x – sin x – 2 = 0,

(sinx)_1,2 = (),

sinx = не підходить, так як 1.

sin x = ,

x = (-1)^karcsin) + πk, k,

x = (-1)^k+1arcsin ) + πk, k.

Відповідь: (-1)^k+1arcsin ) + πk, k.

Рівняння, які розв’язують методом порівняння аргументів.

Рівняння, які містять тригонометричні функції різних аргументів, можна розв’язувати способом порівняння аргументів однойменних функцій. З’ясуємо умови, при яких дві однойменні функції двох аргументів приймають рівні значення.

а) sin = sinβ, якщо - β = 2πn або

+ β = π + 2πn, n.

Дійсно, sin - sinβ = 0, якщо

2sin * cos = 0

Тоді, sin = 0 і cos = 0.

= πn, n, = + πn, n,

- β = 2πn, n. + β = π + 2πn, n.

Таким чином

sin = sinβ, якщо - β = 2πn, n, або

+ β = πn, n;

б) cos = cosβ, якщо = 2πn, n;

в) tg = tgβ, якщо = πn, (,β + πk), n, k.

г) ctg = ctgβ, якщо - β = πn, (, βπk), n, k.

1. Розв’язання рівняння

sin 13x + cos 13x = 2sin 17x

Рівняння визначене при будь-якому дійсному значенні х.

sin (13x +) = sin 17x,

sin (13 x + ) = sin 17x.

17x – (13x + ) = 2πn, n,

4x = + 2πn, n,

x = + , n.

17x + (13x + ) = π + 2πk, k,

30x + = π + 2πk, k,

30x = + 2πk, k,

x = + , k.

Відповідь: x = + , n; x = + , k.

2. Розв’язати рівняння

ctg (ctgx) = tg(πtgx).

Рівняння визначене при

x n, nx + πn, n

πctgx = n, nπtgx + πn, n

ctg x n, ntg x + n, n

Дане рівняння запишемо у вигляді:

tg( – π ctg x) = tg (π tg x).

– π ctg x – π tg x = πk, k

- ctg x – tg x = k, k

tg x + ctg x = - k, k

Замінимо ctg x = ,

tg x + = – k,

(*) tg²x + (k - ) tg x + 1 = 0, k

D = (k - )² – 4 0,

(tg x)_1,2 = ,

(k - )² - 2²

(k – 2,5)(k + 1,5)

_k

Розв’язуючи нерівність у цілих числах, знаходимо

kі kт.т. k = -2; .

зясуємо, чи не має серед коренів рівняння таких, що tg x = n + і ctgx = n, абоtgx = .

(n + )²+(k - )(n + ) + 1 =0,

n² + n + + kn + k - n - + 1 = 0,

(n + k)(2n + 1) = -2.

Це рівняння має цілі розв’язки в слідуючому випадку:

n + k = -2, або n + k = 2,

2n + 1 = 1; 2n + 1 = -1,

так як за умовою n + k і 2n + 1 – цілі числа, а число -2 можна представити в вигляді добутку цілих чисел тільки як (-2)1 або 2(-1).

n + k = -2, n +k = 2,

n = 0, n = -1;

n = 0, n = -1

k = -2; k = 3

Тепер підставимо в рівняння (*)6

tgx = (n = 0).

+ (k - ), + 1 = 0,

n(2n + 2k – 1) = -2.

Це рівняння має цілі розв’язки у випадку:

n = -2, або n = 2,

2n + 2k – 1 = 1; 2n +2k -1 = -1;

n = -2, n = 2

k = 3; k = -2

Таким чином, при k = -2 і k = 3 рівняння має розв’язки, які не належать області визначення даного рівняння. Так як квадратне рівняння має два рішення, то таким може з’явитися один з них.

Тому знайдемо розв’язки рівняння (*) при k = -2, k = 3:

Якщо k = -2, то tg²x - tgx + 1 = 0, т.т.

tgx = 2 і tgx = (не задовольняє рівняння).

Якщо k = 3, то tg²x + tgx + 1 = 0,

tgx = -2 і tgx = - (не задовольняє рівняння).

Отже, при k = -2, k = 3 одержуємо tg x = 2, x = arctg 2 + πm, m

При k = -3, 4; з рівняння (*) знаходимо:

tg x = (+1 – 2k ,

x = arctg (1 – 2k ) + πp, p

x = arctg (1 – 2k + πp, p, k = -3, 4;

x = arctg 2 + πm, mє розв’язком рівняння.

Відповідь: arctg 2 + πm, marctg (1 – 2k + πp, p, k = -3, 4;

Розв’язування рівнянь з застосуванням формул пониження степеня

1. Розв’язати рівняння

sin²x + sin²2x = 1

Рівняння визначене для будь-яких дійсних чисел.

+ = 1

1 – cos 2x + 1 – cos 4x = 2,

cos 2x + cos 4x = 0,

2cos 3x cos x = 0,

cos 3x = 0 3x = + πn, n x = + , n

cos x = 0 x = + πm, m, x = + πm, m.

Множина розв’язків другого рівняння є підмножиною розв’язків першого рівняння.

x = + , n

Відповідь: + , n

1. Розв’язати рівняння

cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

Рівняння визначене при всіх дійсних значеннях х.

+ + + = 2,

cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0,

2cos 3x cos x + 2cos 7x cos x = 0,

2cos x(cos 3x + cos 7x) = 0,

cos x cos 2x cos 5x = 0,

cos x = 0, x = + πn, n

cos 2x = 0, x = + , m

cos 5x = 0, x = + , k

Множина розв’язків першого рівняння є підмножиною множини розв’язків другого рівняння.

x = + , mx = + , k

Відповідь: + , m+ , k

Тригонометричні рівняння вигляду f(x) = .

1. Розв’язати рівняння

+ = 1 + cos x

Знайдемо область допустимих значень

1 + sinx 0, sinx ≥ -1,

1 – sin x 0, sin x ≥ 1,

1 + cos x 0, cos x ≥ -1,

- 0; ≥ ;

-1 ≤ sin x ≤ 1, x (-,

-1 ≤ cos x ≤ 1, x (-,

1 + sin x ≥ 1 – sin x; sin x ≥ 0;

x (-,

x , nт.т.

x , n.

За умови, що обидві частини рівняння невід’ємні, піднесемо їх до квадрату:

1 + sin x + 1 – sin x - 2 = 1 + 2cos x + cos²x,

cos²x + 2cos x + 2 – 1 = 0,

cos²x + 2cos x + 2 – 1 = 0.

При cos x ≥ 0 cos²x + 2cos x + 2cos x – 1 = 0,

cos²x + 4cosx – 1 = 0,

= 4 + 1 = 5

(cosx)_1,2 = -2

сosx = -2 - не підходить, так як ≤ 1,

cos x = -2 -

x = ±arcos ( – 2) + , m.

Враховуючи умову cos x ≥ 0 і ОДЗ, маємо

x , n

x , k,

x = arccos ( – 2) + 2πm, m;

x = arcсos ( – 2) + 2n, n – розв’язки даного рівняння.

При cos 0

cos²x + 2cos x – 2cos x – 1 = 0,

cos²x – 1 = 0

cosx = 1 cosx = -1,

не підходить. x = π + 2πm, m.

Згідно умови cos 0 і ОДЗ, маємо

x ( + 2πk, + 2πk), k;

x , n

x = π + 2πm, m

x = π + 2πm, m- розв’язки даного рівняння.

Відповідь: arсcos ( – 2) + 2n, n,

π + 2πm, m.

1. Розв’язати рівняння

= sin x – cos x.

Знайдемо область допустимих значень х.

cos 2x – sin 4x ≥ 0, cos 2x – 2sin 2x cos 2x ≥0,

sin x – cos x 0, tg x – 1 ≥ 0,

cos x ≠ 0;

2cos 2x ( – sin 2x) ≥ 0, cos 2x (sin 2x - ) ≤ 0,

tg x ≥ 1, + πn ≤ x ≤ + n, n

cos x ≠ 0; x = + πm, m

cos 2x (sin 2x - ) 0,

cos 2x = 0, x = + , n.

sin 2x = , 2x = (-1)^k + , k.

x , n -

розв’язки першої нерівності

За умови, що обидві частини рівняння невід’ємні, піднесемо їх до квадрату:

cos 2x – sin 4x = (sin x – cos x)²,

cos 2x – sin 4x = 1 – sin 2x,

sin 4x – sin 2x + 1 – cos 2x = 0,

2cos 3x sin x + 2sin²x = 0,

2sin x (cos 3x + sin x) = 0,

2sin x (sin( – 3x) + sin x) = 0,

2sin x 2sin ( – x)cos ( – 2x) = 0,

Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

sin x = 0, sin x = 0,

sin – x) = 0, sin (x - = 0,

cos – 2x) = 0; cos (2x - = 0;

x = πn, n x = πn, n,

x - = k, k, x = + k, k,

2x - = + m, m; x = + , m.

Враховуючи область допустимих значень х, х = + k, k – розв’язки рівняння.

Відповідь: + k, k.

Тригонометричні рівняння з двома змінними

1. Розв’язати рівняння

Дане рівняння визначене при

,

.

Запишемо рівняння в вигляді:

.

Ліва частина рівняння додатна при будь якому значенні x з області визначення.

Тоді і права частина рівняння буде додатною, але це можливо за умови

.

Використаємо нерівність : при .

Рівність настає при

Тоді і

.

.

Рівність виконується при

2. Розв’язати рівняння

.

Дане рівняння визначене при будь яких дійсних значеннях x і y.

Використовуючи формулу

, одержимо:

,

4,

4cos²(x – y) – 4cos(x = y) cos (x – y) + 1 = 0.

Позначимо cos (x – y) = , cos (x = y) = t.

4z² – 4tz + 1 = 0,

= 4t² – 4 = 4(t² – 1).

Розвязки є, якщо t² – 1 0.

Z_1,2 = ,

Z_1,2 = (t) / 2.

Так як t² 1, то cos²(x + y) 1, т.т.

cos²(x + y) = 1 і cos (x + y) = 1 або cos (x + y) = -1.

Отже, маємо сукупності двох систем:

a) cos (x + y) = 1, б) cos (x + y) = -1,

cos (x – y) = ; cos (x – y) = ;

x + y = 2πm, , x + y = m,

x – y = + 2πk, , x – y = + 2πk, ,

x = + 2πn, , x = + πk, ,

y = + πl, . y = + πl, .

Відповідь: ( + 2πn; + πl); ( + πk; + πl), n, k, l .

Висновки.

Тригонометрія посідає важливе місце як у математиці, так і в інших науках. Серед величезної спадщини, яку залишив видатний український математик Михайло Васильович Остоградський, значну роль відіграють роботи, пов’язані з дослідженням тригонометричних рядів і коливань. Багато важливих математичних теорем сьогодні носять ім’я Остоградського. Крім наукових досліджень Остоградський написав низку чудових підручників для молоді, зокрема « Програму і конспект тригонометрії». Сам Остоградський надавав питанню викладання тригонометрії такого значення, що це стало предметом доповіді в Академії наук.

Приділяю велике значення вивченню тригонометрії, зокрема розв’язуванню тригонометричних рівнянь. Рівняння, розв’язані в роботі використовую на уроках, факультативних заняттях. Розв’язування тригонометричних рівнянь спонукають учнів до вміння аналізувати, здійснювати пошукову, дослідницьку діяльність.

Список використаної літератури

1. Кущенко В.С. збірник конкурсних задач з математики. [навчальний посібник]. – К.: Вища школа, 1976. – 217 с.

2. Сканаві М.І. збірник задач з математики: [навчальний посібник] Сканаві М.І. – К.: Вища школа, 1990. – 135 с.

3. Яремчук Ф.П. Алгебра та елементарні функції [навчальний посібник] Ф.П.Яремчук, П.О.Рудченко. – К.: Вища школа, 1978. – 129 с.

4. Ваховський Є.Б. Задачі з елементарної математики. [навчальний посібник]Є.Б.Ваховський, О.О. Ривкін. – К.: Вища школа, 1992. – 75 с.

5. Шаригін І.Ф. факультативний курс з математики. [навчальний посібник] І.Ф.Шаригін, В.І.Голубєв. К.: Радянська школа, 1970. – 272 с.

6. Назаренко О.М. Тисяча і один приклад. [навчальний посібник]О.М.Назаренко, Л.Д.Назаренко. К.: Ранок, 2010, - 63 с.

7. Галицький М.Л. Поглиблене вивчення курсу алгебри та початків аналізу. [Підручник] М.Л.Галицький, М.М.Машкович, С.І.Шварубурд. – К.: Вища школа, 1999 – 234 с.

8. Дорофєєв Г.Ф. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. [навчальний посібник] Г.Ф.Дорофєєв, М.К. Потапов, М.Ч. Розов. – К.: Вища школа, 2001 – 195 с.

9. Горделадзе Ш.Г. Збірник конкурсних задач з математики. [навчальний посібник] Ш.П. Горделадзе, Н.Н. Кухарчук, Ф.П. Яремчук. – К.: Вища школа, 1988 – 72 с.

10. Говоров В.М. Збірник конкурсних задач з математики. [навчальний посібник] В.М. Говоров, П.Т. Дибов, М.В.Мірошин, С.Ф.Смирнова. – К.: Вища школа, 1998 – 89 с.

11. Михайловська А.Ю. Операції над множинами і тригонометричні рівняння. [журнал «Математика в школі» - №1]. 1979 – 64 с.

12. Смирнов І.І. Тригонометричні рівняння в шкільному курсі [журнал «Математика в школі» - №3]. 1953 – 42 с.

13. Міністерство освіти України. Завдання з математики для екзаменів за курс спеціалізованих фізико-математичних шкіл, ліцеїв і гімназій. Освіта. 1993.

14. Міністерство освіти України. Збірник задач і вправ для екзамену з математики на атестат про середню освіту. Тернопіль. 1995.

15. Закон України «Про освіту» №1060-ХІІ, із змінами від 11 червня 2008: Закони: [електронний ресурс] Освіта.ua. – Режим доступу: http://osvita.ua/legistation

Додаток 1.

Основні формули:

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

Додаток 2.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Якщо , що розв’язки даного рівняння знаходяться за формулою:

Окремі випадки:

при ;

при ;

при.

Якщо , рівняння розв’язків не має.

Якщо , то розв’язків даного рівняння знаходяться за формулою:

Окремі випадки:

при ;

при ;

при.

Якщо , рівняння розв’язків не має.

При будь якому дійсному a

Окремі випадки:

при ;

при ;

при.

При будь якому дійсному a

Окремі випадки:

при ;

при ;

при.