Конспект урока "Банк и мы: решение финансовых задач"

Разработка занятия по математике в 11 классе.

Тема: «Банк и мы: решение финансовых задач»

Форма урока: занятие-практикум.

Цели: повторение теоретического материала по теме «Проценты. Вклады и кредиты», составление математической модели практических задач, формирование практических навыков решения задач №17 единого государственного экзамена.

Задачи:

образовательные:

- способствовать запоминанию основной терминологии, умению построить математическую модель задачи;

- формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

развивающие:

- развитие вычислительных навыков учащихся;

-формирование логического мышления;

- способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

воспитательные:

- развитие коммуникативных умений учащихся через организацию групповой, фронтальной работы на уроке.

Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором, презентация, электронное пособие по финансовой грамотности.

Ход урока:

«Гениальность – это один процент вдохновения и девяносто девять – работы»

Томас Эдисон

I. Организационный момент (Урок сопровождается компьютерной презентацией. Сообщить тему и цели урока.)

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместо этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачи про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных. Решение задачи №17 включает в себя обязательное построение математической модели, то есть это обычная текстовая задача, но с экономическим (финансовым) уклоном и чаще всего с большим количеством вычислений.

Можно выделить несколько блоков заданий:

1. Вклады и кредиты

2. Акции и другие ценные бумаги

3. Методы оптимальных решений

Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов.

Но прежде чем браться за сложные задачи давайте повторим, что вы запомнили о процентах, вкладах и кредитах.

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом –повторение теоретического материала:

У каждого из вас есть файл с опорным конспектом и рабочим листом с заданиями. Сегодня вы работаете с ними. Опорный конспект вы должны дополнить недостающими формулами по ходу занятия и вложить в свою тетрадь для подготовки. На рабочем листе вы так же будете заполнять решение задач.

1. Что необходимо знать и понимать при решении задач на проценты:

- Что такое процент? (1% - это одна сотая часть чего-либо)

За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем;

- Какие проценты бывают в банковских операциях? (Простые и сложные, кредитные и депозитные)

- Чем отличаются эти виды процентов?

Устная работа (на слайдах 3-5)

1)Число х увеличили на 50%. Во сколько раз возросло число х? (в 1,5 раза)

2) Число у увеличили на 120%. Какое число получилось? (2,2у)

3) Число z уменьшили на 13%. Какое число получилось? (0,87z)

1. Какую основную терминологию мы знаем при решении содержательных задач из различных областей, в частности экономических?

S - сумма кредита (руб.)

k - процентная ставка (%)

m= 1+ 0,01k. - коэффициент увеличения

Х- ежегодная выплата-- платеж (руб.)

п – срок кредита ( месяц, год)

1. Работа с формулами.

В дальнейшем для работы нам нужны будут формулы, которые вы должны для себя прочно запомнить. Посмотрите на доску, соотнесите название формулы и ее содержание. (задание по формату соответствует заданиям ЕГЭ базового уровня. Ученики называют ответы, учитель маркером вносит их в таблицу) А3 Б1 В5 Г2 Д4 Формулы для подсчета процентов:

если величину S увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)

если величину S уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)

если величину S дважды увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)²

если величину S дважды уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)².

1. Чтобы упростить сложные математические выражения при решении экономических задач нам требуется чаще всего найти рациональный способ решения. Перед вами задание:

Используя рациональный метод вычисления, найдите значение выражения: (к доске вызываются трое учащихся, остальные выполняют в тетради; по окончании работы проверяем верно ли выполнено решение)

1,01*2975=3004,75 (2975*1+2975*0,01=2975+29,75)

1,1*2618= 2879,8 (2618+2618*0,1=2618+261,08)

1 ,1*5945000= 6539500 (5945000+5945000*0,1= 5945000+594500)

1. Молодцы ребята! А сейчас мы переходим к задачам связанным с кредитами и вкладами. Скажите пожалуйста, что вы знаете о видах платежей в кредитовании? Какие они бывают? (Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования и Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования.)

Что необходимо знать и понимать при решении задач на погашение кредита равными долями? (выплата производится одинаковыми суммами)

Предлагаю вам составить схему погашения кредита равными долями.

Пусть размер кредита S.

Процент банка равен к %, а ежегодная выплата по кредиту равна Х.

Т огда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен: S( 1+0,01к ) - X.

Обозначим коэффициент увеличения суммы через m= 1+ 0,01к.

• Т огда через два года размер долга составит: S₂ =(Sm – X)m-X

• Через три года: ((Sm – X)m-X)m – X.

• Ч ерез четыре года (((Sm – X)m-X))m – X)m – X.

• ...через п лет Sm^п- X(m^п-1+….m³+m²+m+1).

Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии: где b₁=1, q= m.

Как из полученного выражения найти Х?

Запомните эту формулу, она сегодня еще пригодится.

III. Разбор задач на использование практических умений

Сейчас я предлагагаю вам поработать в группах. На простейших «банковских» задачах с равными платежами я попрошу вас построить математическую модель ( т.е. составить формулу). На рабочих листах у вас условие двух задач. Прочитайте их в группе, выделите условие, заполните что вам известно и составьте модель в виде формулы.

Задача №1.

31 декабря Алексей планирует взять кредит на сумму 9282000 рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга

С колько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

ответ:

Задача №2

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Ответ:

IV. Решение задач из открытого банка задач

Задача № 3.

Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

S= 804 000 руб. k=1+0.1=1.1 n=3

Так как нам необходимо вычислить какую сумму Георгий заплатил в третий раз, то именно ее мы обозначим за х. Тогда в предыдущий год он сделал платеж в два раза больше 2х, а в первый раз - 4х руб. В первый год с учётом процентного увеличения долг составил 1,1S, а после выплаты 1,1 S- 4х. Во второй год после увеличения 1,1 (1,1 S- 4х), после выплаты 1,1 (1,1 S - 4х) - 2х = (1,21S - 4,4х) -2х= 1,21S – 6,4х.

И третий год 1,1 (1,21S – 6,4х) – х= 0

Решите это уравнение относительно х.

1,331S -7,04х – х=0

1,331S -8,04х=0

1,331S= 8,04х

Х= 1,331S /8,04

Теперь можно подставить вместо S значение суммы взятой в кредит 804 000 руб:

Ответ: последний платёж 133100 руб.

1. V. Этап включения в систему знаний и повторение в форме тестирования

Попрошу вас ребята занять места за компьютерами и пройти тестирование на электронном пособии по финансовой грамотности. Теоретическую часть мы с вами уже на нем проходили. Открываем сразу тестирование. ( в результате тестирования выяснить у кого из учащихся были неверные ответы, прокомментировать ошибки, привлекая к помощи других учащихся)

VI. Подведение итогов

«Банковские» задачи на ЕГЭ — это достаточно сложные задачи. Но думаю и с ними вы сможете справится. Для решения задачи №17 вам понадобятся самые основные формулы вычисления выплат, сумм, процентной ставки, вычислительные навыки, умения детализировать и привести к простейшему виду громоздкое выражение.

Основная формула всего одна — это вычисление размера долга в зависимости от срока кредита.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично».

Домашнее задание Выполнить тренировочную работу «Проценты. Вклады и кредиты.»

на образовательной платформе ЯКласс

Ссылка https://www.yaklass.ru/TestWork/Join/LDf7Uvb4qUewBQL0k431Aw

Литература.

1. Интернет ресурсы: сайт Решу ЕГЭ

2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развернутым ответом. М: 2019 г.

Задача №4 ( Резерв)
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где  S  — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Составление математической модели

Введем обозначения: S – сумма кредита,

k = 1 + 0,2 = 1,2 (коэффициент увеличения)

Долг уменьшается до 0 значит последовательность долга по годам: S, 0,8S, 0,4S, 0S

В конце каждого года, начиная с января, текущий долг увеличивался на k%, это означает , что последовательность сумм долга с % такова: 1,2S, 0,96S, 0,48S

Сле­до­ва­тель­но, вы­пла­ты долж­ны быть сле­ду­ю­щи­ми: 1,2S-0.8S=0.4S (2027год)

0.96S-0.4S=0.56S (2028год) 0.48S-0=0.48S (2029 год)

Так как каждая из выплат по условию должна быть меньше 5 млн.руб, то

0.4S

0.56SS