Каталог-справочник по математике "Алгоритмы быстрого счёта"

Автор: Полякова Н.Ю.

Умножение двузначного числа на 11

1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

72 х 11 = 7 (7+2) 2 = 792;

35 х 11 = 3 (3+5) 5 = 385;

2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

84 х 11 = 8 (8+4) 4 = (8+1)24 = 924;

3.Умножение на 11 по системе счёта Якова Трахтенберга

Записываем цифры результата справа налево. Первая цифра та же, что и у исходного числа. Далее добавляем к цифре ее соседа справа. Если сумма получается больше 10, то запоминаем число десятков, которое добавим к следующей сумме.

Пример. Умножим 14326 на 11:

(1+0)(1+4), (4+3)(3+2)(2+6)6=157586.

4. Умножение на 11 по Берману

При умножении на одиннадцать, число нужно умножить на 10 и прибавить само себя, то есть то число, которое мы умножаем.

Пример: 110 * 11 = 110 * (10 + 1) = 110 * 10 + 110 * 1 = 1100 + 110 =1210

Пример: 123 * 11 = 123 * (10 +1) = 123 * 10 + 123 * 1 = 1230 + 123 =1353

Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел

1. Умножение чисел на 22, 33,… ,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924,

48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056.

2. Умножение чисел на 111 ,1111 11111 и т. д.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.

Примеры:

32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;

45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995;

26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886;

52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =

= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436

3. Умножение чисел на 101 , 1001 и т.д.

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа

это же число.

Примеры:

32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747; 54 х 101 = 5454; 93 х 101 = 9393.

Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675; 869 х 1001 = 869 869.

Другие примеры:

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

4. Умножение чисел на 37.

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,

Примеры:

1. 37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888; 18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666.

1. Умножение двузначных чисел, начинающихся единицей.

19*12=228

19+2=21 или 12+9=21, т.е. находим сумму одного из множителей (19) с числом единиц (2) второго множителя. Надо иметь в виду, что полученная сумма (21) означает число десятков.

Находим произведение единиц 2*9=18. Здесь 1 – число десятков.

Складываем так: +21

18

____

228

6. Умножение двузначного числа на 15.

Число 15 представляет 3/2 части от10.

Пример: 42*15=630

А) когда 1 множитель делится без остатка на «2»

1. 42:2=21

2. 42+21=63

3. 63*10=630

Делим число на 2, к 1 множителю прибавляем его половину(т.е. к 63 приписываем 0).

Б) когда 1 множитель не делится без остатка на «2», тогда приписывают не 0, а 5.

63*15=945

1. 6362=31 (остаток 1)

2. 63+31=94

3. 945 (т.е. к 94 приписываем 5)

7. Умножение числа на 5.

243*5=

Так как пять является половиной 10, то надо это число разделить на 2 и приписать к частному 0, если число без остатка делится на 2.

В этом случае два вида умножения:

А) 1 множитель без остатка делится на 2.

348*5=1740

1. 348:2=174

2. 174*10=1740

Б) 1 множитель не делится без остатка на 2, тогда в остатке будет получаться единица и поэтому справа к полученному частному при делении на 2 приписываем 5.

271:5=1355

1. 271:5=135 (остаток 1)

2. 1355

8.Умножение числа на 25.

Число 25 есть число, составляющее ¼ часть от 100. Поэтому это число делят на 4 и

А) если 1 множитель без остатка делится на 4, то справа к частному приписывают два нуля. Это будет ответ:

36*25=900

1. 36:4=9

2. 900

Б) если при делении на 4 получаются остатки 1, 2, 3, то справа приписывают 25, 50, 75 соответственно:

37*25=925

А) 37:4=9 (ост.1), то

Б)37*25=925

38*25=950

А) 38:4=9 (ост 2)

Б) 950

39*25=975

А) 39:4=9 (ост.3)

Б)975

9. Умножение на 9, 99, 999 …

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель

1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574; 2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;

3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.