Календарно-тематическое планирование учебного материала по алгебре в 8 классе с углубленным изучением математики

Программа по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математик к учебнику  «Учебник Алгебра для 8 класса. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова, Б.Баймуханов. Алматы. «Просвещение- Казахстан» и  дополнительным главам  к школьному учебнику «Алгебра 8», учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.Авторы М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич.

( 5 часов в неделю. Всего 170 часов. 14 контрольных работ.)

Пояснительная записка

Рабочая  программа по математике составлена на основе:

• государственного стандарта  основного общего образования,

• программы по математике основного общего образования,

• перечня учебников и учебно- методических комплексов разрешенных к использованию в 1-11 классах организациях образования в 2013-2014 учебном году рекомендованных Министерством образования Республики Казахстан,

• с учетом требований к оснащению образовательного процесса в соответствии с содержанием учебных предметов компонента государственного стандарта общего образования,

• авторского тематического планирования учебного материала,

• базисного учебного плана 2013  года.

Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 8 класса с углубленным изучением математики, в которых обучение ведётся по учебному комплексу, состоящему из учебника для общеобразовательных учреждений Учебник Алгебра для 8 класса. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова, Б.Баймуханов. Алматы. «Просвещение- Казахстан»;  учебного пособия «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса» учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.Авторы М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич.

и  учебного пособия для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики «Сборника задач по алгебре для 8 – 9 классов»  авторов М.Л.Галицкого, А.М.Гольдмана, Л.И.Звавича. Планирование рассчитано на случай, когда  на изучение алгебры отводится 5 часов в неделю  и реализуется на основе следующих документов:

 1. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев

2.      Стандарт основного общего образования по математике.

       3.  Программа для общеобразовательных учреждений: Математика. 5-11 кл РФ

   4. Учебник Учебник Алгебра для 8 класса. Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б. Суворова, Б.Баймуханов. Алматы. «Просвещение- Казахстан»;

         Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества , достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

  Наряду с решением основной задачи углубленное изучение  математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии , существенным образом  связанные с математикой , подготовку к обучению в вузе.

          Углубленное изучение математики на этапе 8 – 9 класса является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо  помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончании 9 класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего  углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения  к  обычному.

Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики ни в коем случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики  в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же.  Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течении длительного времени не поднимаются выше  минимального обязательного уровня , следует рекомендовать перейти в обычный класс.

  Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов  и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой – восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

  Программа предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты. Дополнительные вопросы и темы, отмечены курсивом, при желании можно не изучать, что позволяет учителю, включая или или исключая  все или накоторые из этих вопросов, варьировать объём изучаемого материала и соответственно степень углубления и расширения курса в зависимости от конкретных условий.

 Отдельные вопросы, отмеченные в программе звёздочками, представляют материал повышенной трудности – эти  вопросы можно изучать в ознакомительном порядке.

          Учителю предоставляется право самостоятельного построения курса. При этом он может выбрать учебники из числа действующих  в массовой школе, пробных и специально предназначенных для углубленного изучения математики.                

         Тематическое планирование учитель разрабатывает применительно к выбранному учебнику, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся и т.д. При этом он может варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, переставлять темы, включать в них некоторые дополнительные теоретические вопросы или ограничиться программой массовой школы, полное прохождение в любом случае является обязательным.

           Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже. Учебно – воспитательный процесс должен строиться с учётом возрастных особенностей и потребностей учащихся.

           Основной причиной отсева школьников  из классов  с углубленным изучением математики является перегрузка, поэтому не следует стремиться к чрезмерному насыщению программы дополнительными вопросами.

           Углубленное изучение математики  предполагает  прежде всего наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение  основным программным материалом на более высоком уровне.

          Учебный процесс должен  быть ориентирован на усвоение учащимися прежде всего основного материала; при  проведении текущего  и итогового контролей знаний качество усвоения этого материала проверяется в обязательном  порядке. Итоговому  контролю не подлежит материал, отмеченный курсивом или звёздочками.

         Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической  деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке докладов, рефератов и т.д.

 Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них. Предполагаемая программа учитывает общие и специфические цели углубленного изучения математики в целом и на каждом  его этапе.

В углубленном курсе содержание образования, представленное в основной школе, развивается в следующих направлениях:

• развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

• систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

• развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

• совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

       Система уроков условна, но все  же выделяются следующие виды:

Урок-лекция. Предполагаются  совместные усилия учителя и учеников для решения общей проблемной познавательной задачи. На таком уроке используется демонстрационный материал на компьютере, разработанный учителем или учениками, мультимедийные продукты.

Урок-практикум. На уроке учащиеся работают над различными заданиями в зависимости от своей подготовленности. Виды работ могут быть самыми разными: письменные исследования,  решение различных задач, изучение свойств различных функций, практическое применение различных методов решения задач. Компьютер на таких уроках используется как электронный калькулятор, тренажер устного счета, виртуальная лаборатория, источник справочной информации.

Урок-исследование. На уроке учащиеся решают проблемную задачу исследовательского характера аналитическим методом и с помощью компьютера с использованием различных лабораторий.

Комбинированный урок предполагает выполнение работ и заданий разного вида. Урок–игра. На основе игровой деятельности учащиеся познают новое, закрепляют изученное, отрабатывают различные учебные навыки.

Урок решения задач. Вырабатываются у учащихся умения и навыки решения задач на уровне обязательной и возможной подготовке. Любой учащийся может использовать компьютерную информационную базу по методам решения различных задач, по свойствам элементарных функций и т.д.

Урок-тест. Тестирование проводится с целью диагностики пробелов знаний, контроля уровня обученности учащихся, тренировки технике тестирования. Тесты предлагаются как в печатном так и в компьютерном варианте. Причем в компьютерном варианте всегда с ограничением времени.

Урок-зачет. Устный опрос учащихся  по заранее составленным вопросам, а также решение задач разного уровня по изученной теме.

Урок-самостоятельная работа.  Предлагаются разные виды самостоятельных работ.

Урок-контрольная работа. Проводится на двух уровнях: уровень обязательной подготовки - «3», уровень возможной подготовки - «4» и «5».

         Компьютер нашел свое место в каждой школе. Материально- техническая сторона компьютерной базы школ непрерывно улучшается. Все большее число учащихся осваивают первоначальные навыки пользователя компьютером. Однако в настоящее время недостаточное внимание уделяется разработке методик применения современных информационных технологий, компьютерных и мультимедийных продуктов в учебный процесс и вооружению частными приемами этой методики преподавателей каждого предметного профиля для каждодневной работы с учащимися.

Компьютерное обеспечение уроков

           В разделе рабочей программы «Компьютерное обеспечение» спланировано применение имеющихся компьютерных продуктов: демонстрационный материал, задания для устного опроса учащихся, тренировочные упражнения, а также различные электронные учебники.

Демонстрационный материал (слайды).

Создается с целью обеспечения наглядности при изучении нового материала, использования при ответах учащихся. Применение анимации при создании такого компьютерного продукта позволяет рассматривать вопросы математической теории в движении, обеспечивает другой подход к изучению нового материала, вызывает  повышенное внимание и интерес у учащихся.      

   При решении любых задач использование графической интерпретации условия задачи, ее решения позволяет учащимся понять математическую идею решения, более глубоко осмыслить теоретический материал по данной теме.

 Задания для устного счета.

Эти задания дают возможность в устном варианте отрабатывать различные вопросы теории и практики, применяя принципы наглядности, доступности. Их можно использовать на любом уроке в режиме учитель – ученик, взаимопроверки, а также в виде тренировочных занятий.

Тренировочные упражнения.

    Включают в себя задания с вопросами и наглядными ответами, составленными с помощью анимации. Они позволяют ученику самостоятельно отрабатывать различные вопросы математической теории и практики.

В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

• развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

• овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

• изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

• получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

• развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Цели

   Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;

• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

Основные развивающие и воспитательные цели

 Развитие:

•       Ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

•       Математической речи;

•       Сенсорной сферы; двигательной моторики;

•       Внимания; памяти;

•       Навыков само и взаимопроверки.

Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

 Воспитание:

•       Культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса;

•       Волевых качеств;

•       Коммуникабельности;

•       Ответственности.

Общеучебные  умения, навыки и способы деятельности.

В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся  перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями  общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;

решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;

исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;

ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ  ПОДГОТОВКИ

В результате изучения математики ученик  8 класса должен

знать/понимать:

• существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;

• существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

• как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

• как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;

• как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;

• смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

уметь:

• составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

• выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

• применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;

• решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;

• решать линейные  неравенства с одной переменной и их системы;

• решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

• изображать числа точками на  координатной прямой;

• определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства и неравенств с двумя  переменными и  их систем;

• находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей.

• определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств; описывать свойства изученных функций, строить их графики;

• бегло и уверенно выполнять арифметические действия над числами;

• овладеть основными алгебраическими приёмами и методами и применять их при решении задач;

• решать уравнения с параметром;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и  для повседневной жизни.

Содержание учебного предмета «Алгебра»

8 класс с углубленным изучением математики

 (5 часов в неделю. Всего 170 часов. 14 контрольных работ)

1. Множества и операции над ними. Действительные числа.(8 часов, из них 1 час контрольные работы ).

Множество. Элементы множества. Пустое множество, Пересечение и объединение множеств. Подмножество. Конечные и бесконечные множества. Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств. Рациональные числа. Действительные числа. Числовые промежутки. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Понятие о мощности множества. Принцип Дирихле. Действительные числа.

       О с н о в н а я  ц е л  ь – познакомить учащихся с  основными  понятиями теории множеств; ввести терминологию и символику , связанную с теорией множеств; на примерах окружающего мира научить видеть множества, подмножества, объединение и пересечение множеств; научить пользоваться диаграммами Эйлера-Вена, решать задачи, связанные с нахождением числа элементов конечных множеств. На доступных примерах показать разницу в свойствах конечных и  бесконечных множеств.

Обобщить и систематизировать полученные учащимися ранее знания о действительных числах. С общих позиций рассмотреть рациональные и иррациональные числа, обосновать арифметические операции над действительными числами, опираясь на конструктивное определение иррациональных чисел как бесконечных периодических десятичных дробей.

2. Делимость чисел.( 10 часов, из них  1 час на контрольные работы ).

Делимость целых чисел. Основные свойства делимости. Деление с остатком. Признаки делимости на  2,3,4,5,6,9,11. Решение задач.

       О с н о в н а я   ц е л ь – расширить и углубить знания о свойствах натуральных чисел. Показать роль простых чисел в построении множества натуральных чисел. Познакомить с методами решения задач на делимость натуральных чисел. Дать базу для доказательства некоторых известных ранее свойств натуральных чисел. Дать общий принцип  вывода признака делимости. Научить делить многочлен на многочлен уголком, находить НОД и НОК, выполнять деление с остатком.

3.  Преобразование рациональных выражений. (30 час, из них  2 часа на контрольные работы).

Сложение, вычитание и умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения: куб двучлена, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых. Разложение многочленов на множители способом группировки. Формулы разложения на множители разности и суммы кубов, разности xⁿ - yⁿ и суммы x^2k+1 + y ^2k+1. Решение задач  на преобразование целых выражений. Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень рациональных дробей. Тождественные   преобразования   рациональных   выражений.

О с н о в н а я   ц е л ь — выработать умение выполнять тожде ственные преобразования рациональных выражений. Так как действия с рациональными дробями существенным образом опираются на действия с  yмногочленами, то в начале те мы необходимо повторить с учащимися преобразования целых выражений. Главное место в данной теме занимают алгоритмы действий с дробями. Учащиеся должны понимать, что сумму, разность, про изведение и частное дробей всегда можно представить в виде дро би. Приобретаемые в данной теме умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление дробей являются опорными в преобразованиях дробных выражений. Поэтому им следует уде лить особое внимание. Нецелесообразно переходить к комбиниро ванным заданиям на все действия с дробями прежде, чем будут усвоены основные алгоритмы.

4. Функции и их графики.(11 часов, из них  1 час на контрольные работы ).

Числовая функция. Способы задания функции. Область определения и  область значений функции. Функциональная символика. График функции. Простейшие преобразования графиков ( параллельные переносы вдоль координатных осей ). Функция y=k/x, её свойства и график. Асимптота, Дробно-линейная функция и её график.

        О с н о в н а я  ц е л ь – ознакомить учащихся с важнейшими функциональными понятиями, способами задания функции и с графиками обратной пропорциональности и  дробно-линейной функции. В начале темы систематизируются сведения  о функциях. Повторяются основные понятия: функция, аргумент, область определения, область значений, график, способы задания функции. Учащиеся знакомятся с простейшими преобразованиями графиков (параллельные переносы вдоль координатных осей) и с асимптотами при построении графиков дробно-линейных функций.

5. Квадратные корни ( 22 часа, из них  2 часа на контрольные работы ).

 Квадратный корень. Условие существования квадратного корня. Арифметический квадратный корень. Понятие о нахождении приближенного значения квадратного корня. Свойства квадрат ных корней. Преобразования выражений, содержащих квадрат ные корни. Функция

у  =   ее свойства и график. График функций вида y = +n. Кубический корень и его свойства. Функция y  =  и её график.

О с н о в н а я   ц е л ь — систематизировать сведения о рацио нальных числах и дать представление об иррациональных чис лах, расширив тем самым понятие о числе; выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В данной теме учащиеся получают начальное представление о понятии действительного числа. С этой целью обобщаются из вестные учащимся сведения о рациональных числах. Для введе ния понятия иррационального числа используется интуитивное представление  о том, что каждый отрезок имеет длину и потому каждой точке координатной прямой соответствует некоторое число. Показывается, что существуют точки,  не имеющие рациональных абсцисс. При  введении  понятия  корня  полезно  ознакомить  учащихся  с  нахождение корней  с  помощью  калькулятора. Основное    внимание   уделяется    понятию    арифметического  квадратного корня и свойствам арифметических квадратных корней.  Доказываются теоремы о корне из произведения и дроби, а также тождество ²= | а |, которые получают применение в  преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни.  Специальное  внимание уделяется освобождению от иррациональности в знаменателе  дроби в выражениях вида

, .Умение преобразовывать выражения, содержащие корни, часто используется как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии, алгебры и начал анализа.

    Продолжается работа по развитию функциональных представлений учащихся. Рассматриваются функция у =ее свойства и график. При изучении функции у = показывается ее взаимосвязь с функцией у = х², где x0.

6. Квадратные уравнения (30 часов, из них  2 часа на контрольные работы ).

Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения Формула корней  квадратного  уравне ния. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета. Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. Исследование квадратных уравнений. Решение дробных рациональных уравнений. Решение задач с помощью рациональных уравнений.Графический способ решения уравнений.

Основная ц е л ь — выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять ихк решению задач.     В        начале темы приводятся примеры решения неполных  квадратных  уравнений. Этот материал систематизируется.  Рассматриваются  алгоритмы  решения  неполных  квадратных уравнений различного вида.

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида  ax²+Ьх + с = 0, где а  0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

Учащиеся овладевают способом решения дробных  рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких  уравнений  сводится  к  решению  соответствующих  целых уравнений  с  последующим  исключением  посторонних  корней. Изучение данной темы позволяет существенно расширить ап парат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

7.  Неравенства с одной переменной (20 часов, из них  2 часа на контрольные работы)

'Числовые неравенства и их свойства. Доказательства неравенств.  Линейные  неравенства  с  одной  переменной  и  их  системы. Решение уравнений и неравенств с модулем.

О с н о в н а я  ц е л ь — ознакомить учащихся с применением неравенств для оценки значений выражений, выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы. Свойства числовых неравенств составляют ту базу, на которой основано решение линейных неравенств с одной переменной. Тео ремы о  почленном  сложении  и  умножении  неравенств находят применение при выполнении простейших упражнений на оценку выражений по методу границ. Вводятся понятия абсолютной по грешности и точности приближения, относительной погрешности. Умения проводить дедуктивные рассуждения получают развитие как при доказательствах указанных теорем, так и при выполнении упражнений на доказательства неравенств. В связи с решением линейных неравенств с одной переменной дается понятие о числовых промежутках, вводятся соответствую щие названия и обозначения. Рассмотрению систем неравенств с одной переменной предшествует ознакомление учащихся с понятиями пересечения и объединения множеств. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах.  Особое  внимание  следует  уделить  отработке  умения решать  простейшие  неравенства  вида  ах  в,  ах остановившись  специально  на  случае,  когда   а 0. В этой теме рассматривается также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.