Исследовательско-реферативная работа по математике "Мгновенный счет или система быстрого счета по Якову Трахтенбергу"
Исследовательско-реферативная работа по математике "Мгновенный счет или система быстрого счета по Якову Трахтенбергу"
Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 и 12, у меня возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Я поставил перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления и обратился к книге Я. Трахтенберга.
Передо мной возник вопрос:«Можно ли обойтись без таблицы умножения ?»
«Можно!» - утверждал профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг.
Кем же был этот замечательный человек и что его толкнуло к разработке своей системы устного счета? Профессор Трахтенберг был человеком замечательным и многогранно одаренным.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Исследовательско-реферативная работа по математике "Мгновенный счет или система быстрого счета по Якову Трахтенбергу" »
Отдел народного образования администрации Тулунского муниципального района
Как приёмы умножения влияют на скорость вычислений?
Как научиться быстро умножать?
Кем же был Я. Трахтенберг и что его толкнуло к разработке своей системы устного счета?
Учебные вопросы
Какие способы умножения содержит система устного счета у Я. Трахтенберга?
Как быстро умножить на 11, 12, 6, ...?
План проведения проекта
1. Изучение и отработка навыков устного счёта по системе Я.Трахтенберга.
2. Проведение эксперимента (Решение примеров на умножение учащимися, участвующих в проекте на время) (приложение 2.);
Цель исследования:
Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша и бумаги, помочь себе и товарищам овладеть в совершенстве вычислительными навыками ,при этом, развивая память и внимание.
Задачи исследования
1. Изучить приемы умножения многозначных чисел по системе Я.Трахтенберга;
2. Показать одноклассникам метод умножения на 11, 12, 6 и провести анализ затраченного времени при умножении «столбиком» и при применении системы быстрого счета Я. Трахтенберга.
Актуальность
У
«Устный счет», 1895 г Н.П. Богдан-Бельский
стный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Я хочу остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков,
чётко находить результат математических действий, в частности – система быстрого счета по Я.Трахтенбергу. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 и 12, у меня возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Я поставил перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления и обратился к книге Я. Трахтенберга.
Передо мной возник вопрос:«Можно ли обойтись без таблицы умножения ?»
«Можно!» - утверждал профессор Цюрихского математического института Яков Трахтенберг.
Кем же был этот замечательный человек и что его толкнуло к разработке своей системы устного счета? Профессор Трахтенберг был человеком замечательным и многогранно одаренным.
Родился он в Одессе в 1888 году. По образованию – инженер (окончив с отличием Петербургский горный институт, он был главным инженером Обуховского судостроительного завода). Убежденный пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России и в Германии, где он жил с 1919 года, а затем в Австрии, куда он бежал после прихода к власти Гитлера. Интересы его были чрезвычайно разнообразны. Так, ему принадлежит оригинальный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии.
После аншлюса для Трахтенберга наступил семилетний период пребывания в тюрьмах и лагерях. Он был арестован фашистами и заключен в концентрационный лагерь. С помощью жены ему удалось бежать в Югославию. Но гестаповцы вскоре настигли его и там. Находясь в страшных нечеловеческих условиях, Трахтенберг, стремясь сохранить здоровый дух и психику, всецело ушел в замкнутый мир чисел.
Система быстрого счета – плод его размышлений за страшные годы.
Когда в 1944 году стало известно о его предстоящей казни, его верный друг – жена сумела еще раз спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейбциг и там снова организовала побег. И хотя вскоре он снова был арестован и отправлен в каменоломню в Триест, самое тяжелое оставалось позади. Последний побег – и супруги Трахтенберг в Швейцарии.
В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой математический институт – единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительными.
Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но, конечно, как всякое новое дело на усвоение их (особенно когда речь идет о взрослых людях, которым приходилось переучиваться, отказываться от прежних привычек) требуется и время и известное напряжение.
С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае по части математики) превосходно, быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как, впрочем, и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще.
2. Теоретическая часть:
Рассмотрим некоторые приемы умножения, не пользуясь таблицей умножения:
2.1. Умножение на 11
Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:
1. Последняя цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата.
2. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.
3. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг.
Рассмотрим пример: 633 х 11
Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Звездочки над множимым в нашем примере показывают цифры, используемые в каждом шаге при решении примера. Приступим к решению примера.
Первое правило.
Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата:
633 х 11
3
Второе правило.
Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат 3+3, будет 6. Перед 3 записываем в результате 6:
633 х 11
63
Применим правило еще раз:
6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результат:
633х11
963
Третье правило.
Первая цифра числа 633, т.е. 6, становится левой цифрой результата:
633 х 11
6963
Ответ: 6963
Большие числа обрабатываются таким же способом. Второе правило (“каждая последующая цифра множимого складывается со своим правым соседом”) в нашем примере применено дважды; при больших числах это правило может быть применено многократно.
Рассмотрим такой пример: 721 324 умножить на 11:
721324х11.
7 2 1 3 2 4
7 + + + + + 4
Ответ: 7 934 564.
Как видим, каждая цифра данного числа использована дважды. Первый раз она использована как “цифра”, а в следующем шаге как “сосед”. В приведенном выше примере цифра 1 (во множимом) была “цифрой”, когда она дала 4 в результате, но когда при следующем шаге она участвовала в образовании 3, она была “соседом”:
721324х11; 721324х11
4 3
Мы можем вместо трех правил пользоваться только одним, а именно -правилом “прибавьте соседа”, если будем применять его следующим образом. Сначала мы должны перед данным числом написать нуль или по крайней мере представить себе, что там находится нуль. Затем мы применяем идею “прибавления соседа” поочередно к каждой цифре данного числа:
0633 х 11 “Соседа” нет, следовательно, мы ничего не прибавляем
3
0633 х 11 Как ранее
963
Нуль плюс 6 будет 6.
Ответ: 6963
Этот пример показывает, для чего нам нужен нуль перед множимым. Он должен нам напоминать о том, что действие еще не закончено. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру и думать, что ответ равен только 963. Ответ длиннее данного числа на одну цифру, и нуль в начале указывает на это.
Попробуйте сами решить задачу: 441 362 х 11 (записав ее в надлежащей форме).
Если вы начнете с 2 и будете, двигаясь влево, каждый раз прибавлять “соседа”, то получите правильный ответ:
4854982.
Иногда при сложении числа с его “соседом” в ответе получается число, состоящее из двух цифр, так, 5 и 8 дают 13. В этом случае вы пишите 3 и, как обычно, переносите” 1. Однако, применяя метод Трахтенберга, вам иногда не придется переносить чисел больших, чем 2. Это очень облегчает решение сложных задач. (При переносе единицы достаточно поставить точку, в тех редких случаях, когда переносится двойка -две точки.)
01754 х 11 Это 12 от сложения 7 и 5. 19294
2.2. Умножение на 12
Правило умножения на 12 заключается в следующем:
Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее “соседа”. В отличие от умножения на 11, теперь каждую цифру удваивают, прежде чем прибавлять к ней “соседа”. Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.
Первый шаг.
0413 х 12 Удваиваем самую правую цифру ч под ней пишем ответ (“соседа” нет)
6
Второй шаг.
0413 х 12 Удваиваем 1 и прибавляем 3.
56
Третий шаг.
0413 х 12 Удваиваем 4 и прибавляем1.
956
Последний шаг.
0413 х 12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4.
4956
Ответ: 4 956.
Проделав это самостоятельно, мы убедимся, что действие производится очень быстро и легко.
Умножим 63 247 на 12. Напишите цифры множимого через интервал и каждую цифру результата пишите точно под той цифрой числа 63 247, из которой она образовалась. Такой порядок нужен не только ради красоты, он ценен тем, что гарантирует от ошибок. При данном методе умножения это особенно важно и потому, что так удобнее распознавать цифру и “соседа”.
Свободное место для следующей цифры ответа находится прямо под цифрой (в этом примере - под цифрой, которая должна быть удвоена). Цифра рядом справа -“сосед”, который должен быть прибавлен:
063247 х 12 Дважды 7 будет 14; переносим 1.
4
063247 х 12 Дважды 4 плюс 7 плюс 1 будет 16; переносим 1.
64
063247 х 12 Дважды 2 плюс 4 плюс 1 будет 9.
964
063247 х 12 Дважды 3 плюс 2 будет 8.
8964
063247 х 12 Дважды 6 плюс 3 будет 15;переносим1
58964
063247 х 12 Дважды 0 плюс 6 плюс 1 будет 7.
758964
При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры “пополам”.
Слово “пополам” взято в кавычки, так как дроби, которые могут при этом встретиться, мы отбрасываем. Так, “половина” от 5 у нас 2. В действительности она равна 2 1/2, но дроби мы в расчет не берем. Так, “половина” от 3 равна 1, а “половина” от 1 равна нулю. Разумеется, половина от 4 равна 2. Этот шаг делается непосредственно. Мы не говорим про себя: “Половина от 4 будет 2” - или что-либо подобное.
Отличительная особенность нечетных цифр (1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их “пополам” мы отбрасываем дроби. Четные цифры (0, 2, 4, 6 и 8) дают обычный результат.
2.3. Умножение на 6
Рассмотрим подробнее умножение на 6. Приводим часть правил умножения на 6:
Прибавить к каждой цифре “половину” “соседа”.
Допустим временно, что это все, что нам необходимо знать об умножении на б, и решим следующую задачу:
0622084 х 6
Первый шаг. 4 является правой цифрой данного числа, и так как “соседа” у нее нет, прибавлять нечего:
0622084 х 6
4
Второй шаг. Вторая цифра 8, ее “сосед” 4. Мы берем 8, прибавляем половину 4(2)и получаем 10:
0622084 х 6
04
Третий шаг. Следующая цифра нуль. Мы прибавляем к ней половину “соседа” 8; 0 + 4 будет 4, плюс перенос (1):
0622084 х 6
504
0622084 х 6
2504
0622084 х 6
32504
0622084 х 6
732504
0622084 х 6
3732504
Приведем теперь полное правило умножения на 6:
Прибавьте к каждой цифре “половину” “соседа” и еще 5 в том случае, если цифра нечетная.
Является ли “сосед” четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на “цифру”: если она четная, прибавляем к ней “половину” “соседа”, если нечетная, то, кроме “половины” “соседа”, прибавляем еще 5. Например:
0443052х6.
Цифры 3 и 5 - нечетные. Поэтому, обрабатывая 3 и 5, мы дополнительно должны прибавить 5 только потому, что они нечетные. Это происходит следующим образом:
Первый шаг.
0443052 х 6 2 четная и не имеет “соседа”; напишем ее снизу.
2
Второй шаг.
0443052 х 6 5 нечетная; 5 плюс 5 половина от 2, будет 11.
12
Третий шаг.
0443052 х 6 “половина” от 5 будет 2; затем прибавим перенос.
312
Четвертый шаг.
0443052 х 6 3 нечетная; 3 плюс 5 будет 8.
8312
Пятый шаг.
0443052 х 6 4 плюс “половина” от 3.
58312
Шестой шаг.
0443052 х 6 4 плюс “половина” от 4.
658312
Последний шаг.
0443052 х 6 Нуль плюс “половина” от 4.
2658312
Ответ: 2658312.
Разумеется, все эти объяснения приводятся только для большей ясности. При практическом применении метода это делается быстро, так как шаг прибавления “соседа” очень прост. Достаточно нескольких упражнений, и он выполняется автоматически, без всяких предварительных рассуждений.
Числа, которые мы умножали на 6, были длинными. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножить на 6 однозначные числа, например 8 на 6 ?
Да, и даже не потребуется никаких изменений. Попробуем умножить 8 на 6, применив тот же способ:
08 х 6 “соседа” нет; пишем просто 8
8
08 х 6 нуль плюс “половина” от 8, будет 4.
48
Когда множимое нечетное, например 7, то при первом шаге мы должны прибавить 5. Разумеется, мы ее не прибавляем при втором шаге, так как нуль мы рассматриваем как четное число:
07 х 6 7 плюс 5, будет 12.
2
07 х 6 нуль плюс “половина” от 7 плюс перенесенная 1.
42
Большинство людей, по-видимому, считают, что знают наизусть таблицу умножения на 6. Во всяком случае, математики обычно искренне в этом уверены. Использованные в данном методе умножения приемы будут в дальнейшем применены в более сложных ситуациях без всяких выучиваемых наизусть таблиц. Но демонстрировать новые способы лучше всего на относительно знакомом материале. Что мы сейчас и делаем.
Один из таких мысленных приемов, кстати, очень простой, как раз и был упомянут, когда мы говорили о “половине” “соседа”. Необходимо натренировать себя до такой степени, чтобы при взгляде на отдельную цифру, скажем, 2 или 8, тут же говорить “1” или “4”, не делая в уме никаких промежуточных шагов. Как только мы видим 2 или 8, ответ должен возникнуть в уме немедленно, как бы в результате рефлекса.
Следующий шаг состоит в том, чтобы при прибавлении “соседа” или “половины” “соседа” (мы уже привыкли этим условным терминам, поэтому позволим себе писать их без кавычек) говорить про себя только ответ, как в этом примере:
0264 х 6
84
8 - это 6 + половина от 4. Но не говорите: “Половина от 4 - это 2 и 6 + 2 - это 8”. Вместо этого посмотрите на 6 и 4, заметьте, что половина 4 равна 2, и скажите про себя: “6, 8”. Вначале это будет трудновато, поэтому, пожалуй, лучше сказать про себя “6,2,8”.
Еще один пункт, требующий упражнения, - это шаг с прибавлением 5, когда цифра (а не сосед!) нечетная. Возьмите такой случай:
634х 6
04
Как указывает точка, нуль является нулем от 10, а 10 - это 3 плюс 5 (так как 3 нечетно) плюс 2 (половина от 4).
Для начала правильное действие состоит в том, чтобы сказать “3,5,2,10”. Прежде всего надо прибавить 5, которая появляется потому, что 3 нечетно, иначе мы можем забыть это сделать. Так же следует поступать, когда вместо перенесенной единицы стоит точка, которую надо прибавить перед тем, как мы прибавляем соседа (при умножении на 11) или половину соседа (при умножении на 6). Если же мы будем пытаться не трогать перенесенную единицу до того, как мы прибавили соседа, мы ее иногда будем забывать. В приведенной выше задаче очередную цифру ответа мы находим следующим образом:
0634х6
804
“Прибавляя” точку, мы смотрим на 6 и говорим “7”, затем мы говорим “8”, прибавляя половину от 3. Для начала, “прибавляя” точку, лучше посмотреть на 6 и сказать “7”, затем сказать “1” для половины от 3, затем “8”, написать 8. Когда надо “прибавить” точку и 5 (так как цифра нечетная), вы говорите “6” вместо “5” и прибавляете саму цифру. Это экономит шаг и легко может быть проделано.
2.4. Умножение на 7
Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6.
Удвоите цифру и прибавьте половину соседа. Если цифра нечетная, прибавьте еще 5.
Предположим, что мы хотим умножить 4242 на 7.
Так как в этом числе нет нечетных цифр, то нам нет никакой необходимости дополнительно прибавлять 5. В этом примере мы действуем так же, как и при умножении на 6, если не считать того, что теперь мы удваиваем цифру:
Первый шаг.
04242 х 7 дважды 2.
4
Второй шаг.
04242 х 7дважды 4 плюс половина соседа.
94
Третий шаг.
04242 х 7дважды 2 плюс половина соседа.
694
Четвертый шаг.
04242 х7 9694
Последний шаг.
04242 х 7 дважды нуль, но еще прибавляется половина соседа.
29694
А вот пример с нечетными цифрами:
Первый шаг.
03412 х 7 дважды 2; соседа нет.
4
Второй шаг.
03412 х 7дважды 1 плюс 5 (1 нечетная) будет 7 и плюс половина от 2.
84
Третий шаг.
03412 х 7 4 четная: дважды 4 плюс половина от 1.
884
Четвертый шаг.
03412 х 7 дважды 3 плюс 5 (3 нечетная) плюс половина от 4 будет 13.
3884
Последний шаг.
03412 х 7 дважды 0 будет 0, но надо прибавить еще половину от 3 и
23884 оставшуюся единицу.
Вот перечень рекомендуемых мысленных шагов:
1. Скажите “1” вместо точки, когда переносится единица.
2. Смотрите на следующую цифру и установите, не четная ли она. Если да, то прибавьте 5 к перенесенной единице и скажите “6”, или скажите “5”, если точки не было.
3. Когда мы смотрим на цифру и удваиваем ее в уме, мы говорим сумму 5 и этой удвоенной цифры. Если, например, это цифра 3, то мы говорим “5”, а затем “11”, так как удвоение 3, дающее 6, и прибавление 5 могут быть проделаны одним шагом.
4. Когда мы смотрим на соседа, например 6, мы половину от 6 прибавляем к тому, что уже имеем. Мы только что сказали, что у нас “11”. Если сосед 6, мы затем говорим “14”.
2.5. Умножение на 5
Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать ее, как при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее четность или нечетность,
Если цифра нечетная, берем половину соседа и прибавляем 5. Если цифра четная, пишем половину соседа.
Предположим, мы хотим 426 умножить на 5:
0426 х 5 смотрим на цифру 6, она четная: 5 не прибавляем (соседа, нет).
0
0426 х 5 смотрим на цифру 2, она четная; пишем половину от 6.
30
0426 х 5 смотрим на цифру 4, она четная; пишем половину от 2.
130
0426 х 5 смотрим на 0 четная; возьмем половину от 4.
2130
Если бы мы имели во множимом нечетную цифру, мы бы прибавили 5:
0436 х 5 как выше.
0
0436 х 5 3 - нечетная; 5 плюс половина соседа (3), т.е. 8.
80
0436 х 5
2180
Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало.
2.6. Умножение на 9
При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем еще один полный шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру на 9 или 10. Предположим, мы хотим 4567 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, чтобы последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10, Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4 507 и говорим “3”. Надо предварительно говорить: “10 минус 7, будет 3”, реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим “3”.
Иногда нам придется вычитать цифру не на 10, а на 9. Мы смотрим, например, на цифру 7 и тут же говорим “2”.
Теперь вы сможете легко и быстро умножить на 9, не пользуясь таблицей умножения. Лучше всего это прояснит правило, которое нет необходимости выучивать наизусть, ибо после некоторой тренировки оно само закрепится в вашей памяти. Правило это гласит:
1. Вычтите правую цифру большего числа на 10. Это дает правую цифру результата.
2. Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее т 9 и прибавьте соседа.
3. В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед данным числом, вычтите 1 из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.
Если имеется точка (перенесенная 1), то, разумеется, при всех этих шагах вы, как обычно, должны ее прибавить.
Рассмотрим пример: 8760 умножить на 9:
08769 х 9 78921
Во-первых, вычитаем 9 из 10, получаем 1.
Во-вторых, вычитаем 6 из 9 (получим 3) и прибавляем соседа (9). Результат -12, поэтому пишем точку и 2.
В-третьих, 7 вычитаем из 9 (получаем 2), плюс сосед (6), будет 8 и плюс “точка”, будет 9.
В-четвертых, 8 вычитаем из 9, будет 1, плюс сосед, будет 8.
В-пятых, это последний шаг; мы рассматриваем самую левую цифру - нуль, поэтому уменьшаем самую левую цифру от числа 8769 на 1, и 7 становится самой левой цифрой результата.
Умножение на 8
Правила умножения на 8 таковы:
1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвоите.
2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.
3. Левая цифpa: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.
Умножение на 8 аналогично умножению на 9, с той лишь разницей, что происходит удвоение разностей и в последнем шаге из левой цифры большого числа вычитается не 1, а 2. Рассмотрим пример: 789 х 8:
0789х 8
2
Написанная в результате цифра 2 получается после вычитания 9 из 10 и удвоения результата. Следующая цифра числа 789 является одной из “средних цифр”, поэтому мы ее вычитаем из 9, удваиваем результат и прибавляем соседа:
0789х 8
12
7 также считается “средней цифрой”, мы получим окончательное решение лишь тогда, когда достигнем нуля перед числом 789. Поэтому у 7 мы удваиваем 2 (из 9 вычесть 7, будет 2), и полученную цифру 4 прибавляем к 8:
0789 х 8
312
Наконец, крайняя левая цифра 7 уменьшается на 2, дает 5, и мы прибавляем перенесенную единицу:
0789 х 8
6312
Само собой разумеется, что лишь тогда владеешь методом, когда умеешь пользоваться им, не думая ни о каких “правилах”. Чтобы добиться этого, необходимо выработать автоматизм в применении метода, который достигается после некоторой тренировки.
2.7. Умножение на 4
Большинство людей, обладающих самыми скромными математическими знаниями, совершенно уверены в том, что умеют умножать на 4. Но мы все-таки сейчас покажем, как это делается при помощи способа, аналогичного тем, которые мы рассматривали выше.
Полностью правила таковы:
1. Вычтите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.
2. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа.
3. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.
Пример 1. 20 684 умножить на 4.
Первый шаг.
Цифру 4 числа 20 680 вычтите из 10:
020684 х 4
6
Второй шаг.
36020684 х 4 3 это 9 минус 8 плюс половина от 4
Третий шаг.
020684 х 4 7 это 9 минус 6 плюс половина от 8.
736
Четвертый шаг.
020684 х 4 2 это 9 минус нуль плюс половина от 6.
2736
Пятый шаг.
020684 х 4 8 это 9 минус 2 плюс точка.
82736
Последний шаг.
020684 х 4 нуль это половина от 2 минус 1.
082736
Пример 2. В примере 1 не было необходимости прибавлять дополнительно 5, так как все цифры числа 20 684 четные. Вот пример, в котором некоторые цифры нечетные. Умножить 365 187 на 4:
Первый шаг.
0365187 х 4от 10 отнять 7,будет 3, прибавить затем 5, так как 7
8 нечетно.
Второй шаг.
0365187 х 4 от 9 отнять 8 плюс полотна от 7.
48
Третий шаг.
0365187 х 4 7 это 9 минус 1 плюс 5 половина от 5.
748
Четвертый, пятый и шестой шаги. Мы повторяем второе правило. Помните о том, что цифры 3 и 5 нечетные и требуют прибавления 5:
0365187х 4 460748
Последний шаг.
0365187 х 4 1- это “половина” от 3 минус 1 “плюс точка”.
1460748
2.8. Умножение на 3
Умножение на 3, за некоторым исключением, похоже на умножение на 8. Вместо того чтобы прибавлять соседа, как при умножении на 8, мы теперь прибавляем только половину соседа. Само собой разумеется, когда цифра нечетная, то мы дополнительно прибавляем еще и 5.
Правила умножения на 3 выглядят следующим образом:
1. Первая цифра: вычтите ее из10 и удвоите. Если цифра нечетная, прибавьте 5.
2. Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвоите, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.
3. Самая левая цифра: разделите на 2 самую левую цифру большого числа и вычтите 2.
Умножим 2588 на 3
Первый шаг.
02588 х 3 4 - это 10 минус 8, удваиваем; соседа нет.
4
Второй шаг.
02588 х 3 6 - это 9 минус 8, удваиваем (получаем 2), плюс половина от 8.
64
Третий шаг.
0365187 х 4 9 минус 5, удваиваем, плюс 5, плюс половина от 8.
748
Четвертый шаг.
02588х3
7764
Последний шаг.
02588 х 3 нуль это половина от 2 “плюс точка” минус 2.
07764
В последнем шаге мы, как всегда, получаем самую левую цифру ответа из самой левой цифры числа. При умножении на 8 мы эту последнюю цифру ответа получали, уменьшив самую левую цифру данного числа на 2. Сейчас при умножении на 3 мы уменьшаем половину этой цифры на 2.
2.9. Умножение на 2
Умножение на 2, разумеется, очень просто. По принятой нами терминологии это означает, что мы поочередно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.
2.10. Умножение на 1
Умножение на 1 числа не изменяет. Любые числа любой величины при умножении их на 1 остаются неизменными. Поэтому правило звучит так:
Перепишите поочередно все цифры данного числа.
Последние несколько правил для умножения на малые цифры включены главным образом ради полноты описания метода.
Все же важно заметить, что во всех случаях умножения на любые цифры число действительно необходимых операций невелико и все они очень просты. Вычитание из 9, удваивание, образование “половины” и прибавление “соседа” - вот единственные операции, с которыми приходится иметь дело. Если поупражняться, то все они будут казаться естественными, простыми и будут выполняться автоматически.
Система быстрого счета по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. надо знать алгоритм выполнения. В этой системе надо в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучит их и научится применять на практике.
Приложение 1.
Алгоритм
Умножение на
Характер действий
11
Прибавьте соседа.
12
Удвойте цифру и прибавьте соседа.
6
Прибавьте 5 к цифре, если она нечетная; ничего не прибавляйте, если она четная. Прибавьте половину соседа (дроби отбрасываются).
7
Удвойте цифру, прибавьте 5, если она нечетная, и половину соседа.
5
Используйте половину соседа плюс 5, если цифра нечетная.
9
Первый шаг: вычтите из 10.
Средние шаги: вычтите из 9 и прибавьте соседа.
Последний шаг: уменьшите самую левую цифру на 1.
8
Первый шаг: вычтите из 10 и удвойте.
Средние шаги: вычтите из 9, удвойте и прибавьте соседа.
Последний шаг: уменьшите самую левую цифру на 2.
4
Первый шаг: вычтите из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.
Средние шаги: вычтите из 9, прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.
Последний шаг: возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите ее на половину.
3
Первый шаг: вычтите из 10, удвойте и прибавьте 5, если цифра нечетная.
Средние шаги: вычтите из 9, удвойте и прибавьте половину соседа.
Последний шаг: возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите ее на 2.
2
Удвойте каждую цифру множимого.
1
Перепишите множимое без изменений.
0
Нуль, умноженный на любое число дает нуль.
3. Практическая часть:
Приложение 2.
Сроки проведения: январь – март 2011 года.
Класс: 5 ( в классе обучается 5 человек)
Цель эксперимента: Ответить на вопрос: возможно ли сокращение времени, потраченного на выполнение заданий с применением умножения на 11, 12, 6, если учащиеся научаться использовать систему быстрого счета по Я. Трахтенбергу.
Мероприятия: для эксперимента были подобраны однотипные задания «Умножение многозначных чисел 11, 12, 6».
1 этап: Классу было предложено сначала решить эти примеры умножая «столбиком», при этом учитель на секундомере засекал время, за которое было выполнено это задание. Задания подобраны несложные, но сама суть заключается в том, чтобы определить, сколько времени займет их выполнение (приложение 3.).
2 этап: Засекалось время, затраченное на выполнение задания, после одноразового объяснения. Использовались те же задания, для того чтобы дети не сомневались в правильности их выполнения (приложение 3.).
3 этап: На протяжении нескольких уроков учащимися изучались и применялись способы быстрого счета по Трахтенбергу. Приемы использовались также при выполнении заданий, которые предусмотрены для их выполнения на уроке. Знакомство с системой устного счета проводил я.
Ребята смотрят презентацию о системе быстрого счета по Я.. Трахтенбергу
4 этап: После закрепления данной системы было измерено время потраченное на решение подобных заданий (приложение 4.).
5
Закрепление системы учащимися
5 класса
этап: Проведение диагностики полученных данных, изображение результатов на координатной плоскости при помощи диаграмм. Выводы (приложение 4)
Приложение 3.
Задания,
которые необходимо решить обычным способом,
т.е. умножить числа «столбиком».
23 × 11
36 × 11
234 × 11
672 × 11
2569 × 11
5561 × 11
23 × 12
36 × 12
234 × 12
672 × 12
2569 × 12
5561 × 12
23 × 6
36 × 6
234 × 6
672 × 6
2569 × 6
5561 × 6
Задания,
которые необходимо решить обычным способом,
т.е. умножить числа, применяя систему быстрого счета
по Я. Трахтенбергу.
54 × 11
81 × 11
834 × 11
631 × 11
2569 × 11
5561 × 11
23 × 12
36 × 12
234 × 12
672 × 12
2569 × 12
5561 × 12
23 × 6
36 × 6
234 × 6
672 × 6
2569 × 6
5561 × 6
Приложение 4.
Результаты эксперимента, проведенного с одноклассниками (взято среднее время учащихся класса): Мои личные результаты:
4. Заключение
Из диаграмм видно, что при использовании системы устного счета Якова Трахтенберга сокращается количество времени, потраченного на умножение, это говорит о том, что система эффективна и помогает учащимся выполнить гораздо больше заданий на уроке, чем при традиционном умножении. Без сомнения изучаемая мной система оправдала все ожидания. Теперь на каждом уроке мы применяем данные способы, как при изучении натуральных чисел, так и при изучении умножения на десятичную дробь. Самое интересное в том, что приемы умножения я могу использовать при решении задач, уравнений, при выполнении действий и многих других заданий. А ведь подобные задания будут встречаться не только в математике, но и при изучении других предметов, таких как физика, химия. При поисках информации для исследовательской работы я понял, что существует множество способов устного счета, которые требуют изучения. Продолжением моей исследовательской работы станет их изучение и сравнение с системой устного счета Я. Трахтенберга. Я уверен, что данная тема будет актуальна во все времена, потому, что вычисления пронизывают всю нашу жизнь.
Мне было очень интересно работать над проектом. Даже мои родители не знали как быстро умножать на 11 я их научил. Я изучил новые для меня способы умножения, показал их одноклассникам. Все с энтузиазмом меня слушали и со мной работали. Пока мы только изучали и анализировали уже известный способ умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения.
5. Список литературы
Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1967
этап: После закрепления данной системы было измерено время потраченное на решение подобных заданий (приложение 4.).
Мои личные результаты: 
