Исследовательская работа "Тайна числа «ПИ»" ученицы 8 класса Шавшина Елена

Муниципальное образовательное учреждение

«Серетинская основная общеобразовательная школа Яковлевского района

Белгородской области»

Тайна числа «ПИ»

Исследовательская работа по алгебре.

Работу выполнила:

ученица 8 класса

Криволапова Фаина

Руководитель работы

учитель математики

Ушакова Ольга Анатольевна

2011г.

Оглавление.

1. Вступление……………………………………………………………………. 3

2. Основная часть……………………………………………………………….. 5

3. Практическая часть………………………. ..………………………………15

4. Вывод............................................................................................................. 18

5. Источники информации ………………………………………………….. 19

Вступление

Пожалуй, в мире нет загадочней и интересней чисел, чем число «Пи» с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Это число не давало покоя всем ученым, особенно математикам. Именно в этой области разделы науки не могут обойтись без законов великолепного числа «Пи». Число «Пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Кто разгадал загадку этого числа, к сожалению, не знает никто. Но многие математики пытались приоткрыть завесу тайны…

Цель работы.

На историческом материале показать важность проблемы вычисления числа π, раскрыть необходимость точных вычислений значения π на современном этапе, а также показать огромное трудолюбие и работоспособность учёных, занимавшихся этим вопросом в течение многих столетий.

Задачи.

1) Дать определение числа π

2) Выяснить историю вычисления π.

3) Рассмотреть вопрос о трансцендентности и иррациональности числа π.

4) Провести эксперимент по вычислению приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.

5) Рассмотреть некоторые факты из «современной биографии» числа π.

Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать —
пятнадцать — девяносто два и

шесть!

 

С.Бобров

Памятник числу «Пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле

Определение числа «Пи»

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число π.

В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.

Интересные факты, связанные с числом «Пи»

• Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.

• Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

• В штате Юта (США) был принят закон с очень короткой формулировкой "Пи равно трем", а в штате Индиана властями было официально назначено, что Пи равно 4.

История вычисления π.

Проблеме π – 4000 лет. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3,1416.

История числа , выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число в то время принимали равным, что даёт дробь 3,162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

А вот так началась письменная история числа π:

В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу:

« Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу»

Из этого следует, что у Ахмеса π ≈ 3,1605.

В Вавилоне в v веке до н. э. пользовались числом 3 1/8≈ 3,1215, а в древней Греции числом (√2+√3)≈3,1462643.

В индийских «сутрах» VI–V в до н. э. имеются правила, из которых вытекает, что π ≈3,008.

Наиболее древняя формулировка нахождения приближённого значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариабхаты (V-VI в)

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь.

Когда поделишь результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья, т. е.

длина окружности 62832

__________________ = ______ ≈3,1416

диаметр 20000

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3* 10/71 и 3 *1/7, а это означает, что = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Ал-Каши вычислил с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель- Лудольф ван- Цейлен (1540-1610), вычисляя π, дошел до многоугольников с 6020 сторонами и получил 35 верных знаков для π. Ученый обнаружил большое терпение и выдержку, затратив несколько лет на определение числа π. В его честь современники назвали π «Лудольфово число».

Согласно завещанию, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить с какой угодно точностью. Только через 250 лет после Ал-Каши его результат был превзойдён.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

Поиски точного выражения продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа . Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число «Пи». Некоторые из этих формул позволяют вычислить «Пи» приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... = /4, который дал возможность вычислить более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/, при котором разложение функции arctg 1/=/ 6 в ряд даёт равенство

/6 = 1/[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...], т.е.

= 2[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...]

Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле

Sn+1 = Sn + (2)/(2n+1) * (-1/3)n,

при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:

S2n

Ещё более удобную формулу для вычисления получил Дж. Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для π даёт выражение = +

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.

Как указала в своих статьях Э.Я. Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа , нашли способ разложения arctg(x) в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в.

О трансцендентности и иррациональности числа π

В конце XVIII в. А.М. Лежандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число иррационально. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения.

π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761[3] году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.

π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.

Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

Эксперимент по вычислению приближенного значения

отношения длины окружности к диаметру.

• Возьмём 5 любых предметов: теннисный мяч, стакан, кружку, баночку, банку для теннисных мячей.

• Измерим диаметр каждого предмета и длину окружности с помощью нити и линейки, имеющей цену деления 1 мм и соответственно погрешность 0,5 мм.

• Вычислим для каждого случая значение числа «Пи», округлив результат до тысячных.

• Составим таблицу по найденным нами данным :

Данные Предмет	Длина Окружности (L)	Диаметр (d)	L d
Теннисный мяч	20 см	6,4 см	3,125 см
Стакан	17,5 см	5,5 см	3,182 см
Кружка	26,7 см	8,5 см	3,141 см
Баночка	19 см	6 см	3,167 см
Баночка для теннисных мячей	23,7 см	7,5 см	3,160 см

Вывод: отношение длины окружности к диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа «Пи» таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

О вычислениях значения числа π на современном этапе

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.

Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа «Пи» с помощью компьютера:

• 1949 год — 2037 десятичных знаков

• 1958 год — 10000 десятичных знаков

• 1961 год — 100000 десятичных знаков

• 1973 год — 10000000 десятичных знаков

• 1986 год — 29360000 десятичных знаков

• 1987 год — 134217000 десятичных знаков

• 1989 год — 1011196691 десятичный знак

• 1991 год — 2260000000 десятичных знаков

• 1994 год — 4044000000 десятичных знаков

• 1995 год — 4294967286 десятичных знаков

• 1997 год — 51539600000 десятичных знаков

• 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа Пи с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой. Что самое удивительное, он сделал это на своём персональном компьютере под управлением Fedora 10.
Достижение Беллара показало, что не обязательно иметь суперкомпьютер для таких вычислений, и его коллеги решили сделать компьютер помощнее и перекрыть достижение француза.
2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

Вывод:

• Я хотела узнать об истории вычисления числа Пи, его основных свойствах, практическом применении и думаю, что достигла поставленной цели.

• В ходе проведения практического исследования я пришла к следующим выводам: полученное на практике отношение длины окружности к её диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа «Пи» таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

• Точное значение числа Пи в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

Источники информации.

• Б.А. Кордемский «Математические завлекалки».

• А.В. Жуков «Вездесущее число пи»

• Балк М. Математика после уроков.

• http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/2244

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Pi

• http://arbuz.narod.ru/z_piclub.htm