Исследовательская работа по математике "Аликвотные дроби." учеников 8 "в" класса Морданова Камрана и Малышева Никиты.

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа ст.Архонская»

Исследовательская работа по математике

"Аликвотные дроби."

Работу выполнили:

ученики 8 "в" класса

Морданов Камран и

Малышев Никита.

Руководитель работы:

учитель математики

Кусей Любовь Александровна.

2014г.

Цель исследования:

• Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования:

• Узнать происхождение аликвотных дробей.

• Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

• Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

• Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».

Итак, дроби вида , где числитель 1, а n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot- " несколько'') или единичными.

В Древнем Египте «натоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.  

Например: =,

=+,

=+.

Так, глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,

представляла собой дробь , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: + + + + + = .

Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были для практических целей.

Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так: = + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Я познакомилась с различными задачами древности, которые решаются через аликвоты. Меня заинтересовал вопрос, как можно разбить на аликвоты дроби дробь, где числитель 2, а знаменатель любое четное или не чётное число, то есть , и т.д.

И так дроби вида и , можно получить по формулам:

+;

= ;

.

например,

при n=2 2/5=1/3 + 1/15

при n=5 2/11=1/6 + 1/66 и т.п.

Но, оказалось трудным разложение дроби на 4 аликвотные дроби. Скажем, число 2/43 выражается так: = .

Разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле: + .

Например: ;

;

.

Разложить в виде разности двух аликвотных дробей можно по формуле: - знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.

Например: = = - ;

.

Приложение.

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

1 = .

Б) четырёх слагаемых:

1 = =

.

В) пяти слагаемых:

1 = = + + .

Г) шести слагаемых:

1 = = + + = +

1. Представьте дробь в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.

3. Верно ли равенство?

Равенство верно.

4.

Равенство верно.

5.

Равенство верно.

6. Решить пример.

7.В каком году проходила олимпиада в Казани?

Чтобы узнать в каком году в Казани была проведена Универсиада нужно сумму аликвотных дробей

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014) умножить на год проведения зимних олимпийских игр в городе Сочи.

Решение :

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014)=2013/2014

2013/2014 * 2014 = 2013

Ответ: Универсиада проводилась в 2013 году.

Олимпиадные задания 2006 – 2007г.

Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

Найти сумму

½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

3.Заключение.

Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Используемая литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

2. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

3. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

4. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

5. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

6. Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.