Исследовательская работа " Круги Эйлера". Мелконян Виктория

XII Региональный конкурс молодых исследователей

«Ступень в науку»

Секция : Математика

Тема: " Круги Эйлера".

Автор работы:

Мелконян Виктория Кареновна.

Место выполнения работы:

МБОУ «СОШ № 1

ст. Архонская», 8 «Б» класс.

Научный руководитель:

Кусей Любовь Александровна,

учитель математики.

Владикавказ , 2014 - 2015.

Оглавление:

1. Введение - 3

2. Краткая историческая справка -4

3. Подборка задач на применение данного способа решения: 5-7

— Кактусы- фиалки.

— В летнем лагере.

— Шахматы и шашки.

— Задача о занятости учащихся нашей школы во внеурочное время.

4. Выводы - 8

5. Список используемой литературы - 9.

Введение.

Цель данной работы – придать задачам алгебры множеств наглядность и простоту. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к ее решению. Круги Эйлера - хороший, а главное удобный (графически иллюстрированный) способ решения текстовых задач. Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок, он делает решение простым и наглядным. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. Ценность использования кругов Эйлера состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными становятся проще. Подобные задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Данная тема, безусловно, расширяет математический кругозор, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

Краткая историческая справка.

Эйлера называют идеальным математиком 18 века. Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера».

Подборка задач на применение данного способа решения:

1. Кактусы - фиалки. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение. Обратимся к  кругам   Эйлера :

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

2. В летнем лагере.

В пришкольном лагере "Солнышко" 70 ребят. Из них 27 занимаются в художественном кружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В художественном кружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в художественном кружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и художественный кружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в художественном кружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение. Начнем с того, что изобразим на рисунке круги Эйлера подобно тому, как это было сделано в предыдущей задаче. В большом круге, изображающем всех ребят, поместим три меньших круга Р, Х и С, изображающих художественный кружок, хор и спортсменов. Удобно перевести задачу на язык теории множеств. Основным множеством данной задачи является множество всех детей лагеря. Оно состоит из 70 элементов. художественный кружок образует подмножество Р, состоящее из 27 элементов. Хор образует подмножество Х из 32 элементов, и спортсмены образуют подмножество С из 22 элементов. Те ребята художественного кружка, которые поют в хоре, образуют подмножество РХ, являющееся пересечением множеств Р и Х и содержащее по условию 10 элементов. Трое из этих десяти еще и спортсмены, т. е. образуют подмножество РХС, содержащее 3 элемента. Остальные семеро из десяти спортом не увлекаются и образуют множество РХС^’ из семи элементов (штрих над буквой означает подмножество соответствующего множества). Точно так же найдем, что множество РСХ^’ спортсменов драмкружка, не поющих в хоре, содержит 8 – 3 = 5 элементов, а множество СХР^’ поющих спортсменов, не посещающих драмкружок, составлено из 6 – 3 = 3 элементов.

Мы видим, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или художественный кружок. Остальные 22 – 11 = 11 увлекаются только спортом, они образуют подмножество СР^’Х^’. Аналогично этому находим число элементов подмножества РС^’Х^’, оно равно 12, и число элементов подмножества ХР^’С^’, оно оказалось равным 19 элементам. Вычитая из общего числа элементов множества 70 сумму подчёркнутых чисел, равную числу элементов объединения множеств Р, Х и С, найдем, что число элементов множества Х^‘Р^‘С^‘ равно 10, т. е. 10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

С

22 – 5 – 3 – 3 = 11

8 – 3 = 5 6 – 3 = 3

РХС

3

Р Х

12 10 – 3 = 7 19

3.Шашки и шахматы. В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

Решение:

В

А

А – шахматы 25-5=20 – чел. умеют играть

В – шашки 20+18-20=18 – чел играют и в шашки, и в шахматы .

4. Задача о занятости учащихся нашей школы во внеурочное время. В нашей школе 647 ученика. Из них посещают кружки эстетического и познавательного направления 214 учащихся, кружки спортивно технического направления 346 учащихся, не посещают никакие — 87 человек. Сколько учащихся совмещают эти два направления?

Решение. Решим её с помощью кругов Эйлера. В большой круг поместим всех учащихся, в него два круга с эстетическим направлением — Э и спортивным — С, оставшихся учащихся оставим за этими двумя. Тогда задача будет решаться следующим образом: 647 – 87 = 560 — это множество СЭ, 560 – 346 = 214 — это «эстеты» не посещающие кружки спортивно технического направления, т. е. С^’. Теперь 346 – 214 = 32 учащихся совмещают оба направления.

ЭС

346-214=

32

89

Выводы.

1) Таким образом, существует целый класс задач, которые решаются с помощью кругов Эйлера. Алгоритм решения состоит из следующих этапов:

• Записываем краткое условие задачи.

• Выполняем рисунок.

• Записываем данные в круги Эйлера.

• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.

• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга

• Записываем ответ.

Я полагаю, что не стоит сомневаться в полезности данного способа решения задач, так как его наглядность упрощает и облегчает путь к их решению. С помощью кругов Эйлера мне уже приходилось решать задачи на школьной математической олимпиаде, а так же этот способ очень облегчил подсчёт организатора школы при подведении итогов занятости учащихся школы во внеурочное время. Данный способ, безусловно, расширяет математический кругозор, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач, повышает интерес к математике.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. «Внеклассная работа по математике». М.: Просвещение, 1984.

3. Задачи для любознательных. Д.В.Климченко, М., Просвещение, 1992г,

4. Внеклассная работа по математике, З.Н.Альхова, А.В.Макеева, Саратов, Лицей, 2002г.

5. Удивительный мир чисел. Б.А.Кордемский, А.А.Ахадов., М., Просвещение, 1986г.,

6. Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф. и др. Математика: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2008.

14