kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Одним из наиболее часто используемых типов функций при анализе различных задач являются  дробно-рациональные функции. Исследование этого типа функции требует знаний всех характеристик теории функции действительного переменного и навыков работы с графиками функций. Объединение всех этапов исследования функции для построения графика зачастую вызывает наибольшее затруднение.

В данной работе представлен один из наиболее удобных методов исследования дробно-рациональной функции и построение их графиков с обобщением на сложные функции от дробно-рациональных.

Просмотр содержимого документа
«Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.»

Елизаветенкова А.В.

Исследовательская работа.

Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.

Одним из наиболее часто используемых типов функций при анализе различных задач являются дробно-рациональные функции. Исследование этого типа функции требует знаний всех характеристик теории функции действительного переменного и навыков работы с графиками функций. Объединение всех этапов исследования функции для построения графика зачастую вызывает наибольшее затруднение.

В данной работе представлен один из наиболее удобных методов исследования дробно-рациональной функции и построение их графиков с обобщением на сложные функции от дробно-рациональных.

Например:

Характер поведения графика функции зависит от соотношения корней числителя и знаменателя. Например, для функций, у которых многочлен числителя меньше по степени многочлена знаменателя можно выделить следующие случаи:

а)(корни знаменателя не совпадают с корнями числителя, );

б) (корни знаменателя совпадают с корнями числителя,);

в) ().

Пример:

Функция, у которой корни знаменателя не совпадают с корнями числителя, .

Так, для функции  областью определения являются все значения x, при которых знаменатель функции не обращается в нуль.

Таким образом, областью определения функции является:

Для функции :

Значит, функция принимает нулевое значение в точке .

Следующим полезным шагом является определение промежутков знакопостоянства функции.

Чтобы определить знак функции для всех точек такого интервала, достаточно определить его в любой точке этого интервала.

Знак функции для  меняется в точках:

 с «+» на «-»,  с «-» на «+»,  с «+» на «-».

Помимо нулей функции, очевидно, по рисунку наличие пересечения точек с осью Oy.

Для функции  точка пересечения равна:

Полученные на данном этапе результаты уже можно отображать на действительной плоскости (рис.1).

Для уточнения поведения функции на бесконечных значениях аргумента необходимо вычислить пределы на ±∞.

Для функции  предел функции на ±∞ равен:

Стоит отметить, что конечное значение пределов на бесконечности определяет наличие горизонтальной асимптоты.

Для функции :

Следовательно,  - горизонтальная асимптота.

Исследование функции в точках разрыва подтверждается значениями вычисленных пределов в этих точках.

Для функции  односторонние пределы в исключенных из области определения точках равны:

В этом случае функция при x, стремящемся к единице, предела не имеет, а, следовательно, точка  - точка разрыва второго рода.

Аналогично рассматривается точка .

Следовательно, точка  - точка разрыва второго рода.

Для функции  можно указать следующие асимптоты:

прямая - вертикальная асимптота;

прямая  - вертикальная асимптота.

Используя проведенное исследование, можно построить схематический график функции .



Схема графика функции фактически получена. Уточнение значений экстремумов, перегибов, интервалов монотонности и выпуклости уточняется с помощью производных исследуемой функции.

При исследовании функции  по первой производной можно увидеть критические точки. Исследование точек показано в таблице.


x

-6

-5

-3

-2,5

0

1

2

-

0

-

0

-

0

-





Из таблицы можно заметить, что функция убывает на всей числовой оси, следовательно, точек экстремума нет.

Пример. При исследовании функции  по второй производной. Исследование точек показано в таблице.


x

-10

-5

-3

-2,5

0

1

2

-

0

+

0

-

0

+





Вторая производная существует на всей числовой оси. Таким образом, точки кривой с абсциссами  отделяют выпуклую дугу от вогнутой, и потому являются точками перегиба.

Завершающим этапом является нахождение наклонной асимптоты.

Наклонные асимптоты для функции :

Следовательно, наклонных асимптот кривая не имеет.

В данной работе проведены исследования дробно-рациональной функции и построение их графиков с обобщением на сложные функции от дробно-рациональных.

Проведены исследования с функциями более старших степеней и в комбинации с другими функциями, а именно:

По представленной работе в дальнейшем можно пользоваться как шаблоном, то есть избегать дополнительно подробных исследований при отсутствии необходимости в этом. Метод опробован на старшеклассниках и дает неплохие результаты.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 8 класс

Скачать
Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.

Автор: Елизаветенкова Анжела Васильевна

Дата: 26.11.2016

Номер свидетельства: 362654

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1330 руб.
2050 руб.
1560 руб.
2400 руб.
1240 руб.
1900 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства