Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.

Елизаветенкова А.В.

Исследовательская работа.

Исследование поведения графиков различных вариантов дробно-рациональных функций.

Одним из наиболее часто используемых типов функций при анализе различных задач являются дробно-рациональные функции. Исследование этого типа функции требует знаний всех характеристик теории функции действительного переменного и навыков работы с графиками функций. Объединение всех этапов исследования функции для построения графика зачастую вызывает наибольшее затруднение.

В данной работе представлен один из наиболее удобных методов исследования дробно-рациональной функции и построение их графиков с обобщением на сложные функции от дробно-рациональных.

Например:

Характер поведения графика функции зависит от соотношения корней числителя и знаменателя. Например, для функций, у которых многочлен числителя меньше по степени многочлена знаменателя можно выделить следующие случаи:

а)(корни знаменателя не совпадают с корнями числителя, );

б) (корни знаменателя совпадают с корнями числителя,);

в) ().

Пример:

Функция, у которой корни знаменателя не совпадают с корнями числителя, _.

Так, для функции _ областью определения являются все значения x, при которых знаменатель функции не обращается в нуль.

Таким образом, областью определения функции является:

Для функции _:

Значит, функция принимает нулевое значение в точке _.

Следующим полезным шагом является определение промежутков знакопостоянства функции.

Чтобы определить знак функции для всех точек такого интервала, достаточно определить его в любой точке этого интервала.

Знак функции для _ меняется в точках:

_ с «+» на «-», _ с «-» на «+», _ с «+» на «-».

Помимо нулей функции, очевидно, по рисунку наличие пересечения точек с осью Oy.

Для функции _ точка пересечения равна:

Полученные на данном этапе результаты уже можно отображать на действительной плоскости (рис.1).

Для уточнения поведения функции на бесконечных значениях аргумента необходимо вычислить пределы на ±∞.

Для функции _ предел функции на ±∞ равен:

Стоит отметить, что конечное значение пределов на бесконечности определяет наличие горизонтальной асимптоты.

Для функции _:

Следовательно, _ - горизонтальная асимптота.

Исследование функции в точках разрыва подтверждается значениями вычисленных пределов в этих точках.

Для функции _ односторонние пределы в исключенных из области определения точках равны:

В этом случае функция при x, стремящемся к единице, предела не имеет, а, следовательно, точка _ - точка разрыва второго рода.

Аналогично рассматривается точка _.

Следовательно, точка _ - точка разрыва второго рода.

Для функции _ можно указать следующие асимптоты:

прямая - вертикальная асимптота;

прямая _ - вертикальная асимптота.

Используя проведенное исследование, можно построить схематический график функции _.

Схема графика функции фактически получена. Уточнение значений экстремумов, перегибов, интервалов монотонности и выпуклости уточняется с помощью производных исследуемой функции.

При исследовании функции _ по первой производной можно увидеть критические точки. Исследование точек показано в таблице.

Из таблицы можно заметить, что функция убывает на всей числовой оси, следовательно, точек экстремума нет.

Пример. При исследовании функции _ по второй производной. Исследование точек показано в таблице.

Вторая производная существует на всей числовой оси. Таким образом, точки кривой с абсциссами _ отделяют выпуклую дугу от вогнутой, и потому являются точками перегиба.

Завершающим этапом является нахождение наклонной асимптоты.

Наклонные асимптоты для функции _:

Следовательно, наклонных асимптот кривая не имеет.

В данной работе проведены исследования дробно-рациональной функции и построение их графиков с обобщением на сложные функции от дробно-рациональных.

Проведены исследования с функциями более старших степеней и в комбинации с другими функциями, а именно:

По представленной работе в дальнейшем можно пользоваться как шаблоном, то есть избегать дополнительно подробных исследований при отсутствии необходимости в этом. Метод опробован на старшеклассниках и дает неплохие результаты.