"Исследование применения параллелограмма Вариньона при решении сложных задач"

Введение.

Актуальность данной темы заключается в том, что в последние годы в России, стало проводиться много различных математических олимпиад. Различных форм: очные, заочные, дистанционные и т.д.. Я являюсь активной участницей традиционных школьной и районной олимпиад , краевой многопредметной олимпиады «Интеллект», Всероссийского « Молодежного чемпионата» и « Талантливой молодежи».

Моё стремление углублять математические знания по математике является главной причиной работы над проектом и выбором темы «Исследование значимости параллелограмма Вариньона при решении сложных задач».

Данные проводимого мною исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее помогают решать сложные задачи.

Цель работы: исследовать доказательство теоремы Вариньона и показать, что теорема надежный помощник в решении геометрических задач.

Задачи:

1.Провести теоретико – методический анализ научной литературы по проблематике исследования.

2.Изучить теорему Вариньона ,ее следствия и применение для разных видов четырехугольников ( выпуклых, вогнутых, пространственных).

3. Исследовать применение теории при решении не стандартных задач.

Объектом исследования является - система научных открытий французского математика Пьера Вариньона.

Гипотеза: параллелограмм Вариньона – надежный помощник в решении задач.

Предметом исследования являлись энциклопедии, словари, научная литература, Интернет.

Основными методами исследования были поиск, наблюдение, описание.

Глава1.

1.1Исследование исторических событий создания параллелограмма Вариньона.

Создателем знаменитого параллелограмма Вариньона является французский механик и математик, член Парижской академии наук, профессор Пьер Вариньон( 1654 -22.12.1722г, Париж).

Труды профессора коллежа Мазарии ( с 1688г), профессора коллеж де Франс ( с 1704г), посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых и геометрии.

Он был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. Вариньон руководил « Журналом ученых».

В геометрии Пьер Вариньон изучал различные специальные линии, написал учебник по элементарной геометрии ( издан в 1731).

Главные заслуги его были представлены в Парижскую Академию наук в работе « Проект новой механики…», Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и вывел очень важную теорему, позволяющую решать сложные геометрические задачи более простыми методами, так называемая теорема Вариньона. Он первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона.

И я постараюсь всех убедить, что параллелограмм Вариньона – надежный помощник при решении трудных, в том числе и олимпиадных задач.

Глава 2.Основные теоретические сведения.

2.1 Исследование теоремы и следствия из теоремы Пьера Вариньона.

2.2 Исследование применения теоремы для выпуклых и невыпуклых четырехугольников.

2.3 Исследование применения параллелограмма Вариньона для самопересекающейся замкнутой ломаной

Для аналитических рассуждений и решений сложных задач, с использование разных видов четырехугольников мною были изучены следующие теоретические сведения открытые Пьером Вариньоном.

1.Определение бимедианы.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

2.Теорема Вариньона.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

Рис.1 (см. в приложении )

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. Так как KL является средней линией треугольника ABC, то KL || AC. По тем причинам MN|| AC. Следовательно, KL||NM и KL=MN=AC/2. таким образом, - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

2 . Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

В целях совершенствования доступности рассуждений при решении олимпиадных задач я предлагаю использовать следующее:

3. Следствия из теоремы Вариньона.

Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны и бимедианы перпендикулярны.

Следствие 2.Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следствие 3. ( теорема Эйлера) Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Следствие 4 ( теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан выпуклого четурехугольника равны.

Результатом этого этапа исследования является то, что теорема Вариньона и её следствия применяются для различных видов четырехугольника: выпуклых , самопересекающихся четырехугольных замкнутых ломаных, тетраэдра, пространственных четырехугольников и т.д.

Поэтому изученный материал позволит решить мне получить необходимую информацию для решения , ее структуру; составить план решения; сделать необходимые расчеты; проанализировать . Все это способствует эффективному решению.

2.4.Применение теоремы Вариньона при решении сложных ( олимпиадных) задач.

Задача 1

Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Решение.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то параллелограмм Вариньона для прямоугольника ABCD и будет искомым ромбом KLMN.

Рис (см. в презентации )

Задача 2.

Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона KLMN равна половине площади четырехугольника ABCD.

Доказательство.

S ABCD=1/2AC*BD*sin(угла 1).

S KLMN=KL*KN*sin(угла 2)

Учитывая, что угол первый равен углу второму и KL=1/2AC, KN=1/2BD, получим необходимое.

Рис. (см. в презентации)

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна

сумме квадратов всех его сторон, т.е.

KM²+LN²=2(KL²+LM²)

Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD

получим:

KM²+LN²=1/2(AC²+BD²),

AC²+BD²=2(KM²+LN²).

Заключение

«Крупное научное открытие дает решение

крупной проблемы, но в решении любой задачи присутствует крупица открытия».

Д.Пойя

В ходе исследования я познакомилась с автором замечательной теоремы Пьером Вариньоном и его достижениями . По результатам исследования был установлен , казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Как показывает исследование – большинство задач можно решить, зная теорему Вариньона и ее следствия.

В ходе исследования мною были выполнены все поставленные задачи,

1. Изучена литература, среди которой оказались познавательные и интересные книги, интернет – ресурсы

2.Рассмотрена и доказана теорема Вариньона ,ее следствия и применение для разных видов четырехугольников ( выпуклых, вогнутых, пространственных).

3. Рассмотрены решения не стандартных задач.

Я убедилась в том, что параллелограмм Вариньона - надежный помощник в решении геометрических задач различной направленности и сложности.

Я считаю, что цель моей работы достигнута.

Список используемой литературы.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.

Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.

Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.

Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.

В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.