Исследовательская работа по теме "Формула Пика"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

г/о Ступино

Муниципальный конкурс исследовательских работ обучающихся

Предметная секция: МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему: «Формула Пика»

Автор работы: Королева Варвара,

ученица 5 «Н» класса

Руководитель: Круглова Юлия Ивановна,

учитель математики

Ступино

2020

Аннотация

Исследовательская работа посвящена формуле Пика, которая не рассматривается в школьной программе математики, но очень хорошо ложится на математические задачи школьного курса. Этот метод облегчит учащимся работу по вычислению площадей сложной формы и значительно сократит время.

В работе идёт анализ методов нахождения S фигур и останавливается внимание на формуле Пика, показывая его её применение не только в математике.

Работа полезна выпускникам школы, когда в ряд уже известных способов вычисления площадей фигур встает и формула Пика, что позволяет несколькими способами проверить свой результат на ОГЭ (ЕГЭ), убеждаясь в правильности ответа.

Оглавление

Введение …………………………………………………………………………….4

Цель работы …………………………………………………………………………….4

Задачи работы …………………………………………………………………………. 4

Метод исследования ……………………………………………………………………4

Актуальность ……………………………………………………………………………4

Основная часть ………………………………………………………………………………….5

Методы вычисления площади ………………………………………………………….5

Заключение……………………………………………………………………………………… 7

Использованные источники и литература ……………………………………………………. 8

Приложение …………………………………………………………………………………….. 9

Введение

Однажды, читая журнал “Квантик”, я обнаружила статью, в которой описан метод вычисления S, неизвестный мне. Я заинтересовалась. В статье я прочитала как найти площадь многоугольника на клетчатой бумаге: для этого необходимо вычислить число узлов (вершины клеток) клетчатой бумаги строго внутри многоугольника и на его границе. Этот метод позволяет высчитать площадь без применения громоздких формул. Поэтому целью данной работы стала определение области применения формулы Пика. Задачи работы:

-Методы вычисления площади.

-Применить формулу Пика для вычисления площадей фигур сложной формы.

-Исследовать вычисление площади географических объектов на карте.

-Изучить понятия масштаба, относительной и абсолютной погрешностей.

-Сделать выводы относительно погрешности вычисления S объектов сложной формы.

Объект исследования: формула Пика Метод исследования: аналогия, сравнение, обобщение. Актуальность

С понятием площади учащиеся сталкиваются на уроках математики, как в начальной школе, так и в старшем звене. Так же очень много задач на ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому считаю, данная тема будет актуальна для учащихся всех ступеней обучения. Данный материал может быть использован как на уроках математики, так и внеурочных занятиях.

Основная часть

Площадь является важной характеристикой окружающих нас объектов. С этим понятием мы сталкиваемся в школе, в учебных целях, в жизни. Например, при вычислении площади участка или площади стены при выполнении ремонта.

Школьники часто сталкиваются с задачей по нахождению площадей фигур сложной формы. Такие навыки необходимы для решения олимпиадных задач, а также для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ. Как же вычислить площадь фигуры сложной формы?

Методы вычисления площади

1. Метод деления фигуры на простые части: прямоугольные треугольники, прямоугольники и квадраты. Фигуру сложной формы делим на более простые, площадь который вычислить просто.

Площадь прямоугольника S= ab

Площадь квадрата S=a²

Площадь прямоугольного треугольника S=

Примеры в Приложении 1

1. Метод достраивания.

Необходимо достроить сложную фигуру до простой, удобной для вычисления площади, таким образом, чтобы искомая фигура оказалась внутри, а затем “удалить” лишнее.

Примеры в Приложении 2.

1. Формула Пика.

Для применение этого метода следует поместить фигуру на клетчатую решётку.

Необходимо найти количество узлов квадратной решётки, попавших внутрь фигуры (В). Количество узлов квадратной решётки, попавших на границу фигуры (Г)

Вычисляем площадь по формуле S=В+Г/2-1. Примеры в Приложении 3.

Проверим справедливость формулы Пика на рисунках не геометрических форм. Выбрала карту Европы с масштабом 1:16000000 и карту Азии с масштабом 1:3500000.

Поскольку для применения формулы необходима квадратная решётка, я изготовила палетку с ячейкой 1см x1см. Наложила палетку на географическую карты и приступила к измерению площади различных географических объектов (Приложение 4). Вычислила количество узлов, попавших на границу и внутрь объекта. Результаты внесла в таблицу. Применив формулу Пика, вычислила площадь, выраженную в квадратных единицах (ячейках палетки). Но это значение необходимо пересчитать, учитывая масштаб карты. Карта Европы изображена с масштабом 1:16000000, это значит, что в 1 см на карте содержится 160 км реального расстояния на местности. Что касается площади, 1кв см карты соответстуетм160*160= 25600 км кв. территории. Карта Азии изображена с масштабом 1:35000000, это значит, что в 1 см на карте содержится 350 км реального расстояния на местности. Коэффициент, необходимый для пересчёта площади равен 350*350=122500. Именно это значение необходимо умножить на площадь, вычисленную через формулу Пика. Поскольку все расчёты требуют достаточно громоздких подсчётов, я воспользовалась программой Excel. Я создала таблицу, в которую внесла рассчитанные значение узлов на границе и внутри объекта. Далее, воспользовавшись простыми функциями Excel, задала формулу Пика и получила значение площади в квадратных единицах, а затем, задала формулу, учитывающий масштаб карты.

Полученный результат я сравнивала со справочным значением площади исследуемого объекта. Для оценки точности расчёта площади через формулу Пика, я дополнительно измерила абсолютную и относительную погрешности. Абсолютной погрешностью называют разницу между измеренной величиной и её точным значением. В моем случае – это разница между расчётным значением площади и справочным значением. Измеряется абсолютная погрешность, в случае, когда речь идёт о площади, в квадратных километрах. Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к точному значению величины. В моём случае точным значением будем считать справочную цифру. Значение погрешности, умноженное на 100, представляют в процентах. Такая оценка точности измерений считается наиболее точной.

Для того, чтобы оценить, как на результаты влияет размер ячейки палетки, я изготовила ещё одну палетку. Я уменьшила размер каждой ячейки в 2 раза, таким образом размер каждой ячейки соответствует 0,5x0,5 см. Теперь в каждом квадратном сантиметре окажется 4 ячейки палетки, то есть площадь, вычисленную через формулу Пика, необходимо разделить на 4, далее умножить на коэффициент, учитывающий масштаб карты.

Таким образом, я получила результаты площадей некоторых объектов на картах Европы и Азии, используя палетки с различными размерами ячеек. Все результаты представлены в таблицах. (Приложение 5) Величина относительной погрешности представлена на диаграммах для двух видов палеток. (Приложение 6). Из полученных результатов видно, как размер ячейки влияет на точность результатов. Чем меньше размер ячейки палетки, тем выше точность результатов.

Заключение

Работая над исследовательской работой, я научилась вычислять площади различными способами. На мой взгляд, самый простой – это формула Пика. Она просто и легко позволят вычислить площадь фигуры самой причудливой формы. Компактная и лаконичная формула может заменить целый комплект формул, необходимых для решения подобных задач. Но, конечно, все это возможно только для задач на клетчатой решётке, поэтому знание формулы Пика, не освобождает от необходимости знать формулы для вычисления площадей типовых фигур. Знание этой формулы пригодится мне и моим одноклассникам на уроках математики, в решении контрольных, ВПР и даже, при сдаче экзаменов ОГЭ и ЕГЭ.

Для оценки точности результатов я столкнулась с понятиями относительной и абсолютной погрешностей, столкнулась десятичными дробями и процентами. В школьной программе я это ещё не изучала, теперь мне будет проще освоить школьную программу.

В исследовательской части я убедилась, что формула Пика позволяет вычислить площадь стран на карте и даёт результат с высокой точностью. Поскольку я использовала палетки с разными ячейками, и убедилась в том, что чем меньше площадь ячейки, тем выше точность результатов.

Вывод: с помощью формулы Пика можно находить площадь фигур не только геометрической формы школьного курса математики, но и таких сложных как формы стран.

Использованные источники и литература

1. Екимова М.А., Г.П. Кукин. Задачи на разрезание. - М.: МЦНМО,2016,-120с.

2. Крижановский А.Ф. Математические кружки 5-7классы. - М: ИЛЕКСА,2017, - 320с.

3. Научно-популярный физико-математический журнал «Квантик» №9, 2018

4. Спивак А.В.,. Математический кружок 6-7классы. - М.: Посев,2013, - 128с.

5. Фарков А.В., Математические кружки в школе 5-8 классы. - М.: Айрис-пресс, 2007,-144с.

6. Шарыгин И.Ф. Математика: Наглядная геометрия. 5-6кл. – М.: Дрофа, 2019. -192с.

7. Шарыгин И.Ф. Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы. М.: Речь, 2018.-224с.

8. http://www.etudes.ru/ (Математические этюды)

9. https://oge.sdamgia.ru/ (Решу ОГЭ)

10. https://math-ege.sdamgia.ru/ (Решу ЕГЭ)

Приложения

Приложение 1

Вычисление площади через разбиение фигуры.

Приложение 2

Вычисление площади методом достраивания.

Приложение 3

Вычисление площади по формуле Пика.

Приложение 4

Палетка с ячейкой 1х1 и 0,5х0,5

Наложение палетки на географическую карту.

Приложение 5

Ячейка 1х1, масштаб 1:35*10⁶

Объект	Расчёт площадь по формуле Пика			Расчёт площади с учётом масштаба, кв. км	Справочная информация	Погрешность, кв. км	Погрешность , %
	Г, узлы на границе	В, узлы внутри	S=В+Г/2-1, кв. ед.
Иран	4	12	13	1592500	1648195	55695	3,4
Оман	1	3	2,5	306250	309500	3250	1,1
Монголия	11	8	12,5	1531250	1564116	32866	2,1
Казахстан	8	19	22	2695000	2724900	29900	1,1

Ячейка 1х1, масштаб 1:16*10⁶

Объект	Расчёт площадь по формуле Пика			Расчёт площади с учётом масштаба, кв. км	Справочная информация	Погрешность, кв. км	Погрешность, %
	Г, узлы на границе	В, узлы внутри	S=В+Г/2-1, кв. ед.
Португалия	5	2	3,5	89600	92225	2625	2,8
Польша	5	10	11,5	294400	312679	18279	5,8
Белоруссия	5	7	8,5	217600	207600	10000	4,8
Черное море	6	15	17	435200	422000	13200	3,1

Ячейка 0,5х0,5 масштаб 1:35*10⁶

Объект	Расчёт площадь по формуле Пика			Расчёт площади с учётом масштаба, кв. км	Справочная информация	Погрешность, кв. км	Погрешность, %
	Г, узлы на границе	В, узлы внутри	S=В+Г/2-1, кв. ед.
Иран	13	48	53,5	1638437,5	1648195	9757,5	0,6
Оман	6	8	10	306250	309500	3250	1,1
Монголия	13	45	50,5	1546562,5	1564116	17553,5	1,1
Казахстан	31	75	89,5	2740937,5	2724900	16037,5	0,6

Ячейка 0,5х0,5 масштаб 1:16*10⁶

Объект	Расчёт площадь по формуле Пика			Расчёт площади с учётом масштаба, кв. км	Справочная информация, кв. км	Погрешность, кв. км	Погрешность, %
	Г, узлы на границе	В, узлы внутри	S=В+Г/2-1, кв. ед.
Португалия	13	9	14,5	92800	92225	575	0,6
Польша	10	44	48	307200	312679	5479	1,8
Белоруссия	14	28	34	217600	207600	10000	4,8
Черное море	16	60	67	428800	422000	6800	1,6

Приложение 6