Интеграция физики и математики при изучении понятий: первообразная, производная и интеграл.

Интеграция физики и математики при изучении понятий: первообразная, производная и интеграл.

Болычева Яна Константиновна

Магистрантка 2 курса кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике. Курский государственный университет,

г. Курск, Россия

Аннотация

В данной статье рассмотрены принципы и подходы интеграции физики и математики при изучении понятий: первообразная, производная и интеграл.

Ключевые слова: производная, интеграл, функции, скорость, ускорение

Взаимосвязь между школьными дисциплинами имеет принципиальное педагогическое значение; она состоит не в служебной роли одного учебного предмета по отношению к другому, а в обеспечении многосторонних контактов между ними с целью гармоничного развития мышления учащихся.

Изучение математики требует опоры не только на предшествующие знания по данному предмету, но и на знания из общественных и естественных наук.

В общеобразовательной школе изучение математики и естественных дисциплин идет параллельно, и таким образом, математика зачастую используется в физике и даже в какой-то мере определяет ход физического образования. Именно поэтому преподавание физики и математики необходимо строить на взаимном использовании элементов математики в курсе физики и физических представлений при изучении алгебры и начала анализа. Это способствует решению трех главных дидактических задач:

1. Повышение научности последовательности учебной информации;

2. Побуждения познавательных интересов и активного отношения школьников к усвоению знаний и вследствие чего ускорение их умственного развития;

3. Формирование у учащихся научного мировоззрения.

Математический аппарат, используемый на уроках физики необходимо предварительно определить в соответствии с фундаментальными фактами, понятиями и теориями, содержащимися в учебной информации курса физики.

При формировании таких понятий, как величина, функция, производная, первообразная и интеграл возникает ряд трудностей: во-первых, позднее изучение в курсе математики перечисленных выше понятий затрудняет преподавание, например, механики в курсе физики; во-вторых, изучению всего курса физики препятствует недостаточное использование математического аппарата, это связано либо из-за позднего его формирования у учащихся, либо из-за отсутствия согласованности действий преподавателей физики и математики в использовании общих физико-математических понятий.

Выход из подобной ситуации состоит в совместном формировании у школьников понятий математического анализа в курсе физики и математики. Именно при параллельном изучении основ механики и основ математического анализа открываются наибольшие возможности для формирования как физических понятий – мгновенная скорость, мгновенное ускорение, перемещение, работа и т. д., так и математических – производная, первообразная и интеграл.

Рассмотрим наиболее подробно межпредметные связи физики и математики при изучении понятий: производная, первообразная и интеграл.

Выясним физический смысл производной. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени

[t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

(1)

Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

(2)

- мгновенная скорость в момент времени t₀.

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀.

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени. То есть получаем:

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука:

(3)

где x – переменная координата, k - коэффициент упругости пружины. Положив, что

(4)

получим дифференциальное уравнение пружинного маятника:

(5)

гдечастота колебаний, k - жесткость пружины.

Уравнение вида:

(6)

называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

(7)

или

, (8)

где

А - амплитуда колебаний,

ω - циклическая частота,

φ₀ - начальная фаза.

Интеграл, одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

В качестве примера рассмотрим задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

Задача о пройденном пути. Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени [t₀; T],если известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Разобьем отрезок [t₀; T], моментами времени (точками)на n отрезков времени (частичных отрезков) и положим, что

. (9)

Наибольшую из этих разностей обозначим через λ:

. (10)

Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки движение на каждом из них можно считать равномерным, что дает для пути приближенное выражении:

, (11)

где τ_k— одна из точек сегмента .

Эта сумма:

, (12)

тем точнее выражает искомый путь s, чем меньше каждый из временных отрезков ., k = 1, 2, ..., n. Поэтому за путь s, пройденный точкой в течение промежутка времени T-t₀ со скоростью v = v (t), естественно принять предел указанной суммы при λ→0:

(13)

Как видно из выше изложенного именно знание понятия производной позволяет количественно оценить скорость изменения физических явлений и процессов во времени и пространстве, например скорость испарения жидкости, радиоактивного распада, изменения силы тока и др.

Умение дифференцировать и интегрировать открывает большие возможности для изучения колебаний и волн различной физической природы и вместе с тем для повторения основных понятий механики (скорости, ускорения) более глубоко, чем они трактовались при введении, а также для вывода формулы мощности переменного тока и др.

Литература

1. Предмет методики преподавания математики [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://fmf.gasu.ru/kafedra/algebra/1/elib/mpm_t/1.htm

2. Вся элементарная математика (средняя математическая интернет-школа) [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.bymath.net

3. Межпредметные связи курса физики в средней школе / под ред. Ю.И. Дика, И.К. Турышева и др. - М. : Просвещение, 1987 г.