Инновационно - исследовательская работа "Приёмы решения исследовательских задач по теме: Логарифмические уравнения"

Приёмы решения исследовательских задач по теме: «Логарифмические уравнения».

Следует отметить тот факт, что логарифмические уравнения являются неотъемлемой частью ЕГЭ, вступительных экзаменов и занимают чуть ли не важную роль в изучении школьного курса математики. И для того, чтобы успешно решать логарифмические уравнения необходимо не только знать определение логарифма, но и хорошо знать свойства логарифмов, иметь навыки их применения. 

Как всем известно, при решении любых уравнений, учащимися часто допускаются ошибки. Чтобы их не допускать, на уроках необходимо рассматривать типичные ошибки, допускаемые при решении уравнений.

Ещё один из методов - решать с учащимися исследовательские задачи, которые способствуют развитию творческой мыслительной деятельности, и благодаря чему помогают лучше разобраться в структуре решения уравнений и в дальнейшем не допускать типичные ошибки.

Между тем исследовательские задачи имеют большие возможности в достижении цели развития качеств личности, в овладении методологией творческого поиска.

Есть много структурных схем решения исследовательских задач. Рассмотрим на примере одной из них.

Постановка задачи: исследуйте влияние преобразований логарифмических уравнений на их область допустимых значений.

Вопрос: влияет ли преобразование логарифмических уравнений на их область допустимых значений.

Уравнение: log₅(3x – 2) + log₅(x – 7) = 2 + log₅2.

Структура решения:

1. Найдите ОДЗ уравнения  log₅(3x – 2) + log₅(x – 7) = 2 + log₅2.

2. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов.

3. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной.

4. Ответьте на вопросы: Как изменилась ОДЗ? Расширилась или сузилась?

5. Решите уравнение.

6. Выполните проверку. Дайте ответ.

7. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления. 

Вопросы:

1. Что происходит с ОДЗ при замене выражения log₂(x(x + 3)) на выражение log₂x + log₂(x + 3)?
2. Что происходит с ОДЗ при обратной замене?
3. В каком случае может произойти потеря корней?
4. В каком случае могут появиться посторонние корни?

Учащиеся высказывают свою гипотезу.

Решение

Ответы:

1) ОДЗ сужается. 
2) ОДЗ расширяется. 
3) при сужении ОДЗ. 
4) при расширении ОДЗ. (Слайды 13, 14).

Коллективное обсуждение полученных результатов. Формулировка выводов.

Вывод: Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их использовании О.Д.З. уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую ситуацию легко исправить проверкой истинности равенства для найденных решений, то вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений.

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е. 

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом 

Пример 1: 

Число 16 удовлетворяет ОДЗ, значит 16 – корень исходного уравнения.

Ответ: 16.

Пример 2: 

Проверка:   - верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: 4.

Пример 3: 

По определению логарифма  значит 

Ответ: 

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4: 

ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.