Информационно-познавательный проект "Геометрия в искусстве"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №126

ИМЕНИ ГЕРОЯ РОССИИ Д.Г. НОВОСЁЛОВА»

Творческий проект

Законы математики

в произведениях искусства

Автор проекта : Кожевников Семен, 7 А класс

Наставник : Жигалко Любовь Николаевна

Снежинск

2020 г.

Содержание:

1. Аннотация наставника 3

2. Введение 4

3. Математика в живописи. 5

4. Математика и архитектура. 11

5. Математика и музыка. 14

6. Математика и поэзия. 15

7. Заключение. 17

8. Список литературы 18

Аннотация наставника

В своей работе «Законы математики в произведениях искусства» автор рассмотрел связь математики с разными видами искусства: живописью, архитектурой, музыкой и поэзией. Показал применение законов математики в конкретных произведениях искусства. Автору удалось показать важность математических законов в различных областях искусства.

Тип проекта : творческий

Продукт проекта: презентация

Работа над проектом носит познавательный характер, учит работать с различными информационными источниками, анализировать и отбирать нужную информацию, способствует развитию познавательных и регулятивных универсальных учебных действий, развитию творческих и коммуникативных способностей. Работа имеет практическую значимость. Она может быть использована учителями математики на занятиях внеурочной деятельности.

Введение

«Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке,

все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяна

Казалось бы, математика и искусство — две несовместимые вещи. Но это лишь стереотип. Размах практического применения математики огромен.

Наша жизнь без математики немыслима.

Математика и искусство связаны друг с другом множеством способов.

Математика сама по себе может считаться видом искусства, поскольку в ней обнаруживается своеобразная красота. Следы математического мышления проявляются в музыке, танце, живописи, архитектуре, скульптуре.

Математика - царица всех наук. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой.

На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математики в жизни человека и ее связи с различными областями жизнедеятельности. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Большая часть детей не замечают связи математики и искусства, считают математику далекой от искусства. Поэтому я решил продемонстрировать эту связь на примерах применения математики и ее законов. Все перечисленные факторы и обусловили актуальность выбранной темы.

В своей работе я хочу показать связь искусства с математикой, применение математических законов в живописи, архитектуре, музыке, поэзии.

Цель работы:

1. Выполнение презентации «Законы математики в произведениях искусства».

Задачи:

1. Изучить различную литературу и интернет – ресурсы по данной теме.

2. Выяснить в каких видах искусства применяются законы математики, рассмотрев конкретные примеры.

3. Сделать презентацию «Законы математики в произведениях искусства».

Законы математики в различных видах искусства.

Математика в живописи.

«Творчество и математика в такой же степени есть создание прекрасного. Как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности

красок и слов, должна обладать внутренней гармонией».

Гордфри Харди

Матема́тика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Жи́вопись — вид изобразительного искусства, заключающийся в создании картин, живописных полотен, наиболее полно и жизнеподобно отражающих действительность.

Аксонометрия.

Аксонометрия, способ изображения предметов на чертеже при помощи параллельных проекций. Аксонометрия - есть центральная проекция с бесконечно удалённым центром проектирования. В этой геометрической системе точка зрения художника отодвигалась в бесконечность, художник растворялся в безграничных пространствах природы и бесстрастно взирал на её мудрое спокойствие. В силу своей геометрии (параллельные линии остаются параллельными) аксонометрия не знает ни угла зрения, ни точек схода, ни линии горизонта. Горизонт как бы всё время ускользает от наблюдателя, поднимаясь вверх и растворяясь там.

Аксонометрия – геометрия живописи широко применялась в Японской живописи.

Параллельная живопись Китая и Японии

Искусство Китая не было сковано путами церковных догматов. Здесь мирно сосуществовали три религиозно-философских учения: конфуцианство, даосизм и буддизм - и два направления искусства: религиозное и светское. Согласно этим учениям, путь познания истины проходил через отрешение от мирской суеты, растворение и духовное очищение в природе. Именно в природе китайские художники, многие из которых были монахами, искали и находили умиротворяющую гармонию. Природу и ее изображение на картине - пейзаж - китайский художник воспринимал как безбрежный океан, как непостижимый космос, в котором растворена созерцающая его личность художника-философа.

Поистине удивительно, как точно этой философии созерцания была найдена соответствующая геометрия живописи! Картина не выглядит ограниченной рамой и будто в любой момент готова беспредельно разойтись, волшебным образом превратившись в изображенную на ней природу и поглотив своего бесконечно далекого наблюдателя.

Фронтальная косоугольная аксонометрия, в ней, как правило, и творили китайские мастера. Поскольку коэффициент искажения по третьей координате неизвестен (в лучшем случае он был известен только автору!), то судить о протяженности глубины по первым двум координатам (ширине и высоте) затруднительно, т. е. протяженность по глубине оказывается неопределенной. Таким образом, в "параллельной" живописи возникают два противоположных начала: глубинное и плоское. Картина будто бы имеет глубинное начало, но это просто плоские срезы перемещаются по третьей координате (глубине) без всяких метрических сокращений.

Чжан Цзе-Дуань. Вверх по реке на праздник весны. Ли Чжао-дао (?). Путники в горах.

Фрагмент свитка XII в. Фрагмент свитка на шелку.

Конец VII - начало VIII в.

Часто говорят о принципиальной асимметрии китайской и японской живописи. У этой асимметрии есть свои геометрические корни: отсутствие линии горизонта и центральной точки схода, а значит, и фиксированного центра композиции приводит к асимметричности всей композиции.

На протяжении всей своей истории японская живопись, как и вся японская культура, не знала крутых переломов. Творчество Кацусика Хокусая (1760- 1849) считается естественным итогом всего долгого пути японского средневекового искусства.

Творчество Хокусая явилось не только итогом развития искусства средневековой Японии, но и высочайшей вершиной геометрии параллельных в живописи.

Хокусай. Водопад Амида.

Цветная ксилография. 1820-1832

Линейная перспектива эпохи «Возрождения»

И в античности, и в эпоху Средних веков художники умели изображать предметы – столы, табуретки, дома и т.д. Но только эпоха Возрождения поставила задачу изображения не предмета, а всего пространства, “вида из окна”. В 13 веке зародилась система ренессансной перспективы – создания единой геометрии картины.

В ту пору далёкую художники, зачастую, были ещё и математиками. И подошли к поставленной задаче профессионально. Ведь плоскость и пространство – это как раз то, что изучает математика. Точнее, геометрия.

Перспектива – лучший прием передачи видимого. Для Возрождения наиболее характерна линейная перспектива. Линия горизонта и главная точка картины стали важнейшими инструментами художника. Главная точка картины заключала в себе смысл картины, становилась смысловым центром картины. В картине Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» таким центром является правый глаз Христа. Вся картина построена на линиях исходящих из этого центра. Картина имеет строгую вертикальную симметрию. Леонардо д а Винчи, как и многие художники Возрождения старался не просто показать глубину пространства, но и как бы вычислить эту глубину. «Тайная вечеря» - это наука и искусство, которые для Леонардо да Винчи были слиты в живописи воедино.

Линейная перспектива - вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Учение о линейной перспективе зародилось в XIII в. Первым художником, воплотившим в своем творчестве представление о перспективе, создавшим в изображении на плоскости иллюзию трехмерного пространства, был итальянец Джотто (1267-1332). Открытие способа изображения трехмерного пространства на плоскости при помощи линейной (прямой) перспективы знаменует наступление новой эры в европейском искусстве – реализма. Наука и искусство, словно нити холста, переплетались

в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия в искусство.

У дивительным даром композиции обладал Рафаэль. Мастерство, с которым он соединял элементы композиции в единое художественное целое, архитектоника его живописных произведений, острое чувство симметрии, пропорции, золотого сечения, ритма – все эти качества рафаэлевского гения не имеют себе равных. «Обручение Марии»

Обратная перспектива Древней Руси

Обратная линейная перспектива - вид перспективы, применяемый в древнерусской живописи, при которой изображенные предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя, картина имеет несколько горизонтов и точек зрения, и другие особенности. 

При изображении в обратной перспективе предметы расширяются при их удалении от зрителя, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя.

Икона — это окно в священный мир, и мир этот распахивается перед человеком, взирающим на икону, раздается вширь — простирается. Обратная перспектива и ее свойства ярко выражены, например, на иконе неизвестного художника кастильской школы, XV в. "Положение во гроб".

Н а переднем плане иконы изображен гроб с лежащим в нем спеленутым телом Христа. К нему припала Богородица, прижавшая свое лицо к лицу Сына. Рядом с ней к телу Учителя склонился Его любимый ученик — апостол Иоанн Богослов. Подперев ладонью подбородок, он с невыразимой печалью смотрит в лицо Иисуса Христа. За Иоанном в скорбных позах застыли Иосиф Аримафейский и Никодим. Слева от них стоят жены-мироносицы.

Обратная перспектива производит здесь чрезвычайно сильный, ошеломляющий эффект: пространство разворачивается вширь и вглубь, вверх и вниз с такой безудержной мощью, что происходящее на глазах взирающего на икону обретает космический масштаб.

Прославленная «Троица» Андрея Рублева - шедевр древнерусской живописи.

П одножие правого ангела показано в аксонометрии, в то время как подножие левого - в слабой обратной перспективе.

Золотое сечение

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на не равные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Замечательный пример «Золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый. Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой.

«Золотое сечение» встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями заставляет не отводить от него глаз.

Л еонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого сечения. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении.

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «Золотых треугольниках». Рисунок из анатомических рукописей, связавший совершенные геометрические фигуры с пропорциями человека, стал своеобразным символом синтеза математики и искусства.

Золотая спираль

При зрительном восприятии на картине предметов, изображенных на основе использования золотого сечения, ощущаются гармония, покой, соразмерность, стройность.

Напротив, ощущение динамики, волнения проявляется сильней всего в другой простейшей геометрической фигуре – спирали. Спираль – это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала.

«Золотая спираль» активно используют в искусстве.

Золотую спираль можно использовать для того, чтобы распределить объекты на плоскости. В центр можно поставить самые важные детали, а остальные — привязать к линии спирали.

Е е главное свойство – всякий луч, проведенный через центр этой спирали, разделится ее витками на равные части. Длины их одинаковы при любом направлении луча. Эта длина называется шагом спирали Архимеда.

Хорошо просматривается «Золотая спираль» в картине Рафаэля «Избиение младенцев».

Математика и архитектура.

«Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей:

из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов,

из счисления времени и из механики.»

Ф. Энгельс

Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Только соразмерное, гармоническое единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.

Пирамиды - фантастические фигуры из камня, устремленные к Солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих считали одним из чудес света.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие, для того чтобы в веках прославить своих фараонов? Скорее всего причина кроется в том, что такая конструкция — одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это — главный принцип надежности постройки. Они служили символами величия и могущества фараонов, свидетельством могущества страны.

Математика предлагает архитектору ряд, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

- расположить эти части в пространстве, так, что в них проявлялся порядок;

- установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров (уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке;

- выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.

Возникает естественный вопрос – откуда математика черпает эти общие правила. А получает она их из природы. Главная заслуга математики состоит в том, что она выявляет глубинные свойства, которые заложены в природе, но не лежат на поверхности.

Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома.

В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения.

При расчете размеров помещения архитектору необходимо учитывать средний рост человека, приблизительно равный 175 см. Это нужно для того, чтобы человек мог спокойно находиться и перемещаться по комнате.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела.

Из многих отношений, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одно, единственное и неповторимое, обладающее уникальными свойствами - «золотое сечение».

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон .

При проектировании архитектурных сооружений и оформлении фасадов зданий широко используется симметрия.

Симметрия устанавливает удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне никак не связанными. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Общие планы зданий, архитектура фасадов, оформление внутренних помещений, орнаменты, карнизы, колонки, потолки можно описать той или иной группой симметрии. В человеческой жизни визуальный эффект играет очень важную роль, а проявляется он полностью именно в архитектуре.

Вид симметрии	Понятие	Примеры
Центральная (второе название Поворотная)	Наличие центра, относительно которого по обе стороны располагаются точки одного объекта. При этом все они симметричны друг другу	Башни, круглые храмы, парковые павильоны
Зеркальная	Объекты располагаются относительно плоскости	Фронтальная часть здания
Осевая	Объекты располагаются гармонично относительно прямой, которую разделяют на отражательную и вращательную	небоскреб Мэри-Экс (Лондон); музей Соломона Гуггенхайма.
Переносная	Объект без каких-либо иных преобразований перемещают куда-либо вдоль прямой	Орнамент – бордюр

.

Математика и музыка.

“Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души,

не умеющей считать”

Лейбниц

Математика тесно связана не только с архитектурой, но и с музыкой. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел и понимаем, что мир звуков и пространство чисел связаны друг с другом. Древнегреческий философ Пифагор, один из первых установил связь между музыкой и математикой.

Восемь звуков — до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до — древнейшая музыкальная гамма. В основе её лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора.

Пифагор был не только математиком и философом, но и теоретиком музыки. Он занимался поисками музыкальной гармонии. Однажды, проходя мимо кузницы, Пифагор случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и однострунной арфы он изучил взаимосвязь между уровнем воды и длиной струны и обнаружил, что половина длины струны поднимает ноту на одну октаву вверх.

Пифагор изучил и установил связь между музыкой и математикой:

- создал учение о звуке;

- открыл, что основные гармонические интервалы – октава, чистая квинта и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относятся как 1:2, 2:3, 3:4;

- используя особый инструмент – монохорд, Пифагор изучал интервалы, открывал математические соотношения между отдельными звуками.

Музыка для Пифагора стала предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число».

Он придумал гамму из восьми звуков – это самая древняя музыкальная гамма. Взятая за основу Пифагорова гамма, в дальнейшем усовершенствовалась, появился темперированный строй, состоящий из 12 нот, включая диезы и бемоли.

Пифагор утверждал, что весь мир есть распределенная по числам гармония. А числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8, квинта – 5, кварта – 4, терция – 3, секунда – 2, прима – 1 и т. д.

Существенную связь музыки и числа обнаружили ученые – философы пифагорейцы, которые открыли числовые соотношения, лежащие в основе музыкальных созвучий, и сформулировали ряд акустических законов музыки. Уже тогда, в древнем мире, они считали, что музыка без математики не существует.

Великий немецкий композитор XVII века Иоган Себастьян Бах писал церковную музыку. Позднее уже после его смерти музыканты – исследователи выяснили, что многие мелодии композитора имеют цифровые коды – символы, а произведения точно математически просчитаны.

Математика и поэзия.

«Нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе».

С.В.Ковалевская

Математика и поэзия. Что роднит их? На первый взгляд они такие разные… Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция.

Михаил Юрьевич Лермонтов, будучи большим любителем математических задач и головоломок, всегда возил с собой учебник математики, из которого, очевидно, черпал вдохновения для своих стихов. По крайней мере, сия наука позволяла великому поэту глубже понимать жизнь. Александр Сергеевич Пушкин математику не любил, однако отдавал ей должное: «В математике есть своя красота, как в поэзии», — писал великий поэт.

Писатели часто используют математическую символику. Например, в самом заглавии романа – «Война и мир» - закодирован закон золотого сечения. В самом деле, название романа построено на первых четырех членах ряда Фибоначчи 1, 2, 3, 5. Один союз, два существительных, три слова, пять букв в первом ключевом слове. Отношение ключевых слов 5:3=1,666… есть первое рациональное приближение коэффициента золотого сечения.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи — это ряд, состоящий из целых чисел. Их особенность заключается в том, что каждый элемент представляет собой сумму двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи начинается с 0 и 1. Продолжить ряд легко: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности.

Говорят, если соединяются дух логики и интуиции, мистики и материализма, поэзии и математики, рождается дитя необыкновенной силы, таящее в себе древние знания и молодую науку.

Подведя итог всему вышесказанному, следует заметить, что могущество и красота математической мысли – в предельной чёткости её логики, изяществе её конструкций, искусном построении абстракций. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы – сопоставлены с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка. Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения приобретают эмоциональность, звучность, красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике.

В основе классического русского стихосложения пять моделей (метров), известных ещё с Античности — хорей, ямб, амфибрахий, анапест, дактиль. Именно их изучают в школе как стихотворные размеры. Размеры различаются устройством стоп. Стопа — это повторяющаяся группа ударных и безударных слогов в строке. 

По стопам размеры делятся на: 

• двусложные (стопа из двух слогов — ударного и безударного); 

• трёхсложные (стопа из трёх слогов — ударного и двух безударных).  

От того, на каком месте в стопе находится ударный слог, зависит стихотворный размер произведения. 

Для удобства записи стихотворных размеров используют специальные символы. Ударные слоги принято обозначать знаком «—», а безударные — знаком «U». Границы стоп обозначаются как «|».  

Хорей 

Хорей — это двусложный размер, в котором ударение в стопе падает на первый слог: |—U| 

«То как зверь она завоет,
‍|—U|—U|—U|—U|

То заплачет как дитя»
‍|—U|—U|—U|—|

А.С. Пушкин, «Зимний вечер», 1825 г.

Ямб

Ямб — это двусложный размер, в котором ударение в стопе падает на второй слог: |U—|

«Люблю грозу в начале мая,
‍|U—|U—|U—|U—U|

Когда весенний первый гром...» 
‍|U—|U—|U—|U—|

Ф.И. Тютчев, «Весенняя гроза», 1828 г.  

Дактиль

Дактиль — трёхсложный размер, в котором ударение в стопе падает на первый слог: |—UU|

«Тучки небесные, вечные странники: 
‍|—UU|—UU|—UU|—UU|

Степью лазурною, цепью жемчужною...» 
|—UU|—UU|—UU|—UU|

М.Ю. Лермонтов, «Тучи», 1840 г.

Амфибрахий

Амфибрахий — это трёхсложный размер, в котором ударение в стопе падает на второй слог: |U—U| 

«Россия — священная наша держава,
‍|U—U|U—U|U—U|U—U|

Россия — любимая наша страна...» 
‍|U—U|U—U|U—U|U—|

С.В. Михалков, Гимн Российской Федерации, 2000 г.

Анапест

Анапест — это трёхсложный размер, в котором ударение падает на третий слог: |UU—|

«На Васильевский остров
‍|UU—|UU—U|

Я приду умирать». 
‍|UU—|UU—|

И.А. Бродский, 1962 г.

Именно математика показывает и доказывает, что поэзия неисчерпаема и неповторима.

Заключение.

В ходе моей работы я узнал много интересного. Мы почти не осознаем, на сколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура основываются на математических законах.

Мне удалось взглянуть на математику с необычной, очень интересной стороны. Выполняя работу, я убедился, что математика не только «ум в порядок приводит», но и несет в себе большой эстетический потенциал в развитии искусства.

Я считаю, что я достиг цели, которую ставил, все задачи выполнил. Своей работой я доволен.

Список литературы и интернет источников:

1. А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,1992

3.М.Н.Макарова «Перспектива», Москва, 1989 год

4. Соколов А. Тайны золотого сечения. Техника – молодежи, 1978, № 5, с. 40

5. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год. 

6. Юшкевич А.П.Математика в ее истории. М. Янус. ИИЕТ РАН.1996

7. А.Г.Яблонский «Линейная перспектива на плоскости», Москва, 1966 год

Интернет-источники

8. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

9. сайт: http://actual-art.ru

10. сайт: http://www.goldenmuseum.com/index_rus.html

11. https://ru.wikipedia.org/wiki.