?ылыми жоба: "Т?рмыста?ы математиканы? р?лі"

Жаңаөзен қызмет көрсету және жаңа техналогиялар колледжі

Секция: математика

Аты –жөні: Төлесінов Исламбек

Ғылыми жобаның жетекшісі

І санатты математика пәнінің мұғалімі:

Нурбергенова Индира Татарбековна

Жаңаөзен қаласы 2015 жыл

П і к і р

Пікір математика секциясы бойынша тақырыбы «Тұрмыстағы математика» атты ғылыми жұмысқа беріледі.

Білім беру мекемесі:Жаңаөзен қызмет көрсету және жаңа техналогиялар колледжі

Авторы: Төлесінов Исламбек

Өзектілігі: Тұрмыстағы математика есептерін зерттеу

Зерттеу жұмысында киіз үйдің геометриялық үйлесімі зерттелген.

Оқушының алдына қойған міндеті:

«Тұрмыстағы математика» тақырыбын зерттей отырып, қазақ халқының математикалық білімінің қолданысы жағы басымдау екенін көрсете білу.

Жұмыстың өзектілігі:

Зерттеліп отырған жұмыс білім алуды жалғастыруға, қазақ педагогикасының математикалық біліміне негіз бола алады.

Ғылыми-әдістемелік деңгейі:

Қазіргі өмірде әлеуметтік жағдайдың барлық салаларын жан- жақты зерттеу нәтижесінде жас өспірім ұрпақтың жан дүниесі сол негізде тәрбиелеу оның бойындағы оянбай жатқан қасиеттерді жандандыру- өмір талабы. Зерттеудің жаңалығы:

Өскелең ұрпақтың біліктілігін қалыптастыруға бағытталған қазақ халқының математикалық білімінің тамыры терең екендігін жетілдіру. Маңыздылығы:

Нәтижеге бағдарланған қазақтың математикалық білім деңгейін айқындауға жәрдемдеседі, математикалық білім оқушылардың танымына жол ашады.

Пікір жазған: И.Т.Нурбергенова

Аннотация

Исследование казахских древних задач.

Analysis ancient Kazakh problem.

Мазмұны

1.Кіріспе ............................................................................................5

2.Негізгі бөлім

1. Тұрмыстағы математика.............................................................7

3.Қорытынды.....................................................................................12

4.Пайдаланылған әдебиеттер.............................................................13

Кіріспе

Елбасы Н.Ә.Назарбаевтың «Қазақстан халқының әл-ауқатын арттыру мемлекеттік саясаттың басты мақсаты» атты Қазақстан халқына жолдауында «Білім беру саласының басты міндеті - 2010 жылға дейінгі білім беруді дамыту жөніндегі мемлекеттік бағдарламаны орындай отырып, осы саланы сапалы қызмет көрсету аясын кеңейту» деп атап көрсетті.

"Математика – ғылымдардың патшасы" деп ұлы ойшылдар айтқандай, бұл ғылым өте терең біліктер мен үлкен ізденушілікті талап етеді. Бірақ бұл ғылым өзінің қызығушылығымен қызықтыра түсетін жұмбақ тәрізді. Қиын жұмбақтың шешуін табу адамды қандай қанағаттану сезіміне бөлесе, қиын есептің шешуін тапқандығы, адамның сезімдері одан асып түспесе, кем болмайды.

Математика тарихына көз жүгірте отырып, оның ғалымдардың бос қиялының жемісі емес, тікелей өмірдің қажетілігінен туындаған ғылым екеніне көзін жете түседі. Мұны әсіресе қазақтың қара байыр есептерінен көруге болады.Мектеп математикада тарихи мәліметтердің, оның ішінде қазақтың ертедегі есептерінің көп қолданылмауы өз зерттеуімізді, осы арнада жүргізуімізге түрткі болып ғылыми жобаның тақырыбын «Қазақтың байырғы қара есептері» деп таңдауымызға негіз болды.

Зерттеудің мақсаты: «Тұрмыстағы математика» тақырыбымен танысып оның қазіргі кездегі қолданысын зерттеу.

Зерттеудің міндеті:

Білім алуларының жалғастыра отырып, алған білімдерін қолдану мақсатында математикалық білімді нақтылы меңгеру.

Зерттеудің нысаны:

Қазақ педагогикасының математикалық қолданысын ашу.

Зерттеудің проблемасы: Мектеп математикасында қазақтың халық есебінің көп қолданылмауы.

Болжам:

«Тұрмыстағы математика есептерін» күнделікті сабақтарда көп қолданса, мектеп математикасының маңызы кеңейе түсер еді.

Зерттеудің кезеңдері:

• Зерттеу материалдарын жинақтау;

• Есептердің шешімдерін табу;

• Зерттеудің нәтижелерін қорытындылау.

Зерттеудің материалдарын жинақтау барысында математикадан түрлі есеп жинақтары, мерзімді баспасөздерде жарияланып тұратын ежелгі есептер сараланды.Зерттеулердің екінші кезеңінде жинақталған математикалық есептердің ішінен зерттеуге қажетті мәліметтер сұрыпталды.

Сұрыпталған есептердің шешімдері табылды.Зерттеу нәтижелері қағаз бетіне түсірілді.

Зерттеудің барысында жинақтау, салыстыру, талдау(анализ) және синтез тәрізді зерттеу әдістері пайдаланылады.

Зерттеудің жаңалығы: Зерттеу жұмысында бұрын-сауда ғылыми әдебиеттерде кездеспеген қызықты логикалық есептер қазақтың есептері талдау, жасау арқылы сұрыпталып алынған.

Тұрмыстағы математика

1) «Құтты қазықтар» есебі.

Бір қарияның ер жеткен үш ұлы болыпты. Қартайған шағында малын балаларына еншіге бөліп бергісі келіп,он екі жерге қаз қатар қазық қағады да, бірінші қазыққа бір қой, екіншісіне- екі қой, үшіншісіне- үш қой, осы ретпен ең соңғы он екінші қазыққа он екі қой байлайды.

• Ал, балаларым мына қазықтардың бәрі құтты. Осында байланған қойларды үшеуін тең бөліп алындар, - дейді ол балаларына.

• Қазықтардағы қойлар саны бірдей емес қой, сонда қалай тең бөліп аламыз? – деп қалды үлкен ұлы.

• Әрқайсысының төрт қазықтағы қойды ағытып алсаңдар, еншілерің тепе- тең болады – дейді қария.

Жауабы: 26 қой.

2)Үнді шәйі.

Сәске кез болатын.Анам кесеге шәйді толтырып қоя салды.Кенже інім андамай қолындағы қантын сол кесеге түсіріп алды.Алайда қант құп-құрғақ күйінде қалды.Неліктен деп ойлайсың? Бұта түбі кеуегі, Кеуегінде көжегі. Жауабы: Қант құрғақ шай үстіне түсті. 3)Жеңіл сақина. Бәйбіше егіз қызы мен өгей қызына күміс тенгеден сақина соқтырғысы келді.Ол теңгені ұстаға ұстатып: -Түрі бірдей,бірақ біреуі жеңілдеу,небәрі үш сақина соқ,- деді. Ұста сақиналарды бәйбіше айтқандай етіп жасады.Мұны білмеген өгей қыз байқамай сақиналарды араластырып алады.Оны шешесіне келген соң айтты. Басқан ізін аңдып жүрген шеше өгей қызына кейіген жоқ,себебі таза күмістен жасалғаны қайсысы екенін бірден анықтады.Сақиналар аралысып кетсе,өзің қалай анықтар едің? Жау, жау, жаңбыр, Жау жаңбыр Көк биеңді сау,сау! Жауабы: Таразының екі басына екі сақинаны саламыз.Егер олар теңессе,жеңілі үшіншісінде,теңеспессе,табағы көтерілген жағындағы сақина жеңілі.Архимед заңын пайдаланып та жеңіл сақинаны табуға болады.Қалайша?Бұл есептің халық арасында мына түрлері тараған: 1)7теңгенің біреуі жеңіл.Табақты таразыға екі өлшеу арқылы жеңілін қалай анықтауға болады? 2)8теңгенің біреуі жеңіл.Өлшеу арқылы жеңілін қалай табуға болады? 3)10теңгенің біреуі жеңіл.Үш өлшеу арқылы қалай табуға болады?

4) «Әр түліктен нешеден?»

Жеті жасар баласын есепке үйреткісі келген әкесі бір күні:

- Енді жеті жылда түйеміз екі есе, жылқымыз үш, сиырымыз төрт қойымыз бес есе көбейсе, онда бәрін қосқандағы саны сенің қазіргі жасыңнан екі есе көп болады екен,- дейді.

- Ол кезде біздің үйдегі жылқының, түйенің, сиырдың, қойдың әрқайсысы қаншадан болады,- деп баласы әкесіне қарайды.

Оны білу қиын емес. Шешуін өзің тап деп әкесі баласын ойландырып тастады. Көп өтпей- ақ, бала өз сұрағының жауабын айтады.

Бұл үйдің түйесінің , жылқысының, сиырының, қойының саны қанша?

Шешуі: Бұл үйде бір түйе, бір сиыр, бір жылқы, бір қой болған. Жеті жылдан кейін екі түйе, үш жылқы, бес қой болады.

5)Салт аттылар. Айдала. Көзге түртсе көрінбейтін айсыз түн. Суыт жүрістілер аяң жүріспен келеді. Екі ауыл арасы ет пісірімдік жер.Жаппадан жылт еткен сәуле сөніп-өшті. Үй иесі бұрын көре ме,әлде салт аттылыр бұрын көре ме?

Жауабы: Ешқайсысы көрмейді, себебі сөніп – өшті деген сөзге мән берсек, сәуле сөнгеннен кейін жанған жоқ, өшіп қалды. 6) Екі қарға.. Екі қарғаның біреуі оңтүстікке, екіншісі солтүстікке қарап отыр. Олар біріне-бірі:

----Достым,мен сені көріп отырмын,-дейді. Олар бірін-бірі қалай көреді? Қарға-қарға қарғалар, Қар үстінде жорғалар, Екі шоқып бір қарар. Жауабы: Қарғалар бір-біріне бетпе-бет отырғандықтан,олар бірін-бірі көрді . 7)Соқыр шам. Ертеректе кедей-жатақтар жертөледе тұратын. Ол кезде төбеден терезе қалдырылып, әйнек орнына мал қарыны керілетін. Босаңдау есілген жіп, мал майына батырылып, кешкісін, тұтанған соң, ала көленкеленіп көзін ашады. Соқыр шам түтіні будақтап үйді ыстайды. Білтеленген қарақұрым күйе қит етсе, шаммен бірге шалқып, төбеден желбірейді. Әке мен шеше: ---Жатыңдар!- деп ертеңгі тіршілік харакетін ойласа, балалары бірін-бірі түртіп, есепке ой жүгіртеді. Сондағы есебі: Үш жалпылдақ шам жанып тұрды. Екеуін сөндірсе нешеуі қалады? Ақсерек, көксерек, Бізден сізге не керек? Жауабы: Мұнда екі жауап болуы мүмкін. а)Жанып, жарық беріп тұрғаны біреу, ә)Шам жанып кететін болса, жанбай сақталып қалғаны екеу. 8)Түйеқұс салмағы. Түйеқұс екі аяғымен тұрғанда бір пұт тартса, бір аяғымен тұрғанда қанша тартады? - деп атасы немересіне қарады. Әзілің жарасса –атаңмен ойна. Жауабы: Бір пұт, себебі түйеқұс салмағы өзгермейді. 9)Жылқы атасы- Қамбар ата. Бірде біздің ауылда ат шабыс болып, тайлы-таяғымызбен дөң басына барғанымыз әлі есімде. Аттың көркі жал емес пе, Адам көркі мал емес пе!-дей келіп, әкем маған: ---Анау үш пар атты көрдің бе? - деді. Мен көрдім дегендей ишарат білдіріп, мұрынды жеңмен сүртіп, бір тартып, басымды изедім. Әкем одан әрі: Үш пар ат сегіз шақырымға шапса, бір ат неше шақырымға шабады? -деді. Мен ол кезде не дегенім есімде жоқ, ал сендер бұған не дер едіңдер? Тебіншек ат-шегіншек Шегіншек ат-тебіншек. Жауабы: Ол да сегіз шақырым жер шабады. 10) Ай жарығы әлемге. Сәкен жасынан елгезек болып өсті. Ол әрқашан үлкендермен кішілерге қамқорлық жасап, қол ұшын беретін. —Апа! Мына бөренені нешеге бөлеміз? -деді ол. Сонда апа: Жақсы келді дегенше, Жарық келді десейші, Жақсылықтың уытын, Алып келді десейші,-деді де: Бөрене алты құлаш. Бір құлаштан кесіңдер,-деді.Бөрене нешеге бөлінді ? Жауабы: Бөрене беске бөлінеді.

11)Нар түйеден жүк ауыспас

Кіре шы:ып елдің сауда жасайтың кезі болатын. Нарға ашамай салып, айыр түйені жазылап, көшіп-қонып жүргенде жолды қысқарту үшін жүргіншілер түнге қарай әңгіме-дүкен құратын. Кейде ат шалдырып, түйелерін дем алдыру үшін, жадысын алып, суытып, оларды тұсап дем алып та алатын. Осындайда ауыл балалары жолаушылары жақын келіп, жүргіншілердің қызық әңгімелері мен ауызекі есептерін тыңдайтын.Сонда есімде бір қалғаны :

Әр түйе төрт қанар жүк көтерсе, жиырма екі қанар жүкті Шалқардан Жармолаға дейін жеткізу үшін, Ыбырай оқушысы Медресеге неше түйе керек болар еді?-дейді баласы Емберген Тереков.

Нар түйеден жүк ауыспас. Мына бір жұмбақты да шешіп көрші.

Аттаған ізі-атандай, басқан ізі-бармақтай.

Жауабы: 6 түйе.Жұмбақ шешуі: Шалдың қолына ұстаған таяғы.

12) Шыпта

Шыптадағы оралған ши мен оралмаған ши алма кезек орналасқан . Шымпада оралған 30 ши болса ,оралмағаны қанша?

Балды бармағыңнан .

Жауабы: 29,30,31. Жұмбақ шешуі: Жер мен Көк

13) Неше емшек ,неше өркеш?

- Балалар, бір түйеден неше өркеш,бір биеде неше емшек?

- Түйеде екі өркеш, нар түйеде –бір өркеш .

- Екі түйе, үш бие.

Бәрің маған қараңдар,

Емшектерін санаңдар.

Қыналы бармақ, жез оймақ. Сауға саламыз

Жауабы: екі түйе нар болса, 8 емшек, 3 биеде, небәрі 14 емшек . Жұмбақ шешуі: бүлдірген.

14)Судыр балықшы.

Балықшыдан неше балық ұстадың дегенде :

-Жиырманың жартысын,бассыз екеуін, құйрықсыз үшеуін,-деді .

Балықшы неше балық ұстады ?

Бақалшақ,

Тоқалшақ,

Қию-қию.

Жауабы: 10 балық.

15)Көнекөз қарт пен немересі.

Құмсағыз теріп мәз болып жүрген немересін қол бұлғап шақырып алған қарт:

-Тарғақтын тарғыл екі жұмыртқасын көрдің бе?- деді.

- Қане?-деп қуанып кетті ол.

-Міне ,-деп құм үстінде жатқан тауықтын жұмыртқасынан ірілеу, жып-жылы жұмыртқаны нұсқады.Немересінің тапқырлығын байқағысы келген қарт:

-Нешеу ?-деп сұрады.

Ол сәл ойланып :

-Біреу,-деді,

-Неліктен екі жұмыртқа біреу болды?

-Жоқ, біреу.

-Неге ?

Іңгә, іңгә.

Іңгәлә бала.

Жауабы:

- Құс жұмыртқасының біреуін садақаға тастайды, сондықтан жұмыртқа екеу болғанымен, бірақ балапан шығады,-деп жауап берген болатын. Сөздерді тауып айтқан немересінің ойын ұштағы келген атасы –Тағы нешеу?-деді. Немересі : -Үшеу,-деп жауап берді. -Неліктен ол осылай деді? Себебі жұмыртқа қабынан ақ және сары уызынан тұрады. Есеп халық ауызында былай айтылады:

1)Көпірден екі адам өтуге болады. Басқаша жағдай көпір көтере алмай сынып кетеді. Алайда одан үш адам бір мезгілде өтіп кетті. Қалайша? 2)Бір үйде екі қыз, екі шеше тұрады. Барлығы неше жан. Қалай болғаны? 3)Екі бала, екі әке аңға шықты. Олар үш қоян атып алды. Бірақ олар бір-бірден алып қайтты. Неліктен? 4)Қария немересіне ескілікті бір әңгімені айтады.-Әкесі, дейді ол, жеті жасар Лұқпанды базарға жұмсапты. Оған бір тиын беріп, үш нәрсе сатып әкел депті. Лұқпан базарға барып бір қауын сатып әкеліпті.-Балам-ау, әкелгенің бір ғана қауын ғой,-депті әке. –Бұл бір ғана нәрсе емес, үш нәрсе,-депті сонда бала. –Қалайша үшеу? -деп сұрапты әке таңданып.(Қырық қазына.Алматы,1987). 16) Жыл қайыру. –Нешедесің ? -деді ақсақалға жігіт ағасы. –4 жылқы, тоқтымын,-деді Тәтімбет күйші. Тәттімбет нешеде? Дананың сөзі асыл тас. Жауабы: Тәттімбет күйші төрт жылқы деу арқылы өзіне төрт мүшел толғандығын айтты және тоқты деу арқылы 2жас қос деді,яғни 49+2= 51-ге қарап тұр.

17)Шынжыр. Шынжырдың алты буыны бар.Иесі оны күніне бір-бір буын қосып басқаға беретін болып шешім қабылдады.Шынжырдың қай буынынан кессе, осылай істей алады?

Жауабы: Үшінші буыннан кессе жетеді. Шынжыр туралы мына есептерді Жұбанияз ұста ұсынады: Әрқайсысы екі буыннан тұратын шынжырдың бес бөлігі бар.Олар өте жуан темірден соылған. Әрбір буынды кесу үшін 1сағат уақыт кетсе, оны қайтадан пісіріп біріктіру ұшін де 1сағат уақыт кетеді. Барлық буынды біріктіріп бір ұзын шынжыр жасау үшін қалай 8сағаттан аз уақыт жұмсауға болады.

18)Ауп! Әкесі:

--Балам, қыс көзі қыраулы. Қыс әлі алда.Шөпті сығымдап малғабермесек,құшақтай салуға жарамайды. Ол сәл ойланып:

Үш түйе шөп қалды.Он төрт сиыр бір ай жесе, 7 ешкі екі ай, алты қой үш ай жейді.

Осы шөп бүкіл малға қанша уақытқа жетеді? -деді. Әкесінің сұрағына баласы шапшаң жауап берді, өйткені бұл үйреншікті іс деді. Қой асығы демегін, қолыңа жақса, сақа қыл, Ауп! Жауабы: 14 күн жетеді, 12 айда 4 қоңыр сиыр 36 түйе шөп жейді. 7 ешкі үш түйе шөпті 2 ай жегендіктен, жылына 18 түйе шөп жейді. 6қой 36 түйе шөпті

3 ай жеп тауысатындықтан, олар шөпті жылына 36:3= 12 түйе шөп жейді. Бүкіл мал 12 айда 36+18+12= 76 түйе шөп жейді. Демек, үш түйе шөп (3:76)·12, 12 айда немесе бір айда 30 күн бар десек, үш түйе шөп барлық малға 14 күнге жетеді. Бұл есепті біз Аманқұл Ізбанов ақсақалдан естіген болатынбыз. Аманқұл ақсақал Ақтөбе облысы Шалқар ауданына қарасты Ақтүбекте алғаш мекте ашылғанда шымнан жасалған өз қыстауын мектепке беріп үлкен саналылық көрсеткен адам. Қазіргі физика-математика ғылымдарының докторы, профессор, Қазақстан Ұлттық Ғылым Академиясының корреспондент мүшесі Дәулет Үмбетжанов 1941 жылы осы мектептің 1-ші класында оқыған.Мұғалімі Іскендір.

19)Қалауын тапса қар жанады. Қасқарау батыр сарбаздарына: --Кімнің қатыны бір қанар бидайды екі қанар жарма жасай алса, сол ту ұстай алады? –деді.Көкқапталдан су тартқан қызыл бөрік бедерлі Мұрат ту ұстапты. Кім ту ұстайды? Жауабы:Тартылған бидай жармасын бір қанарға толтырып,екінші қанарды оның сыртынан кигізеді. 20)Ісек қойдың басы үлкен.

112 қой сатып алдым.Барлығына 49 сом және 20 алтын төледім.Әрбір ісек қойға 15 алтын және 4 төрткіл,ал әрбір тұсаққа 10 алтыннан төледім.Мен неше бас ісек,неше бас тұсақ сатып алдым? Қойы көптің,тойы көп. Жауабы:100 ІСЕК 12 ТҰСАҚ.Шешуі:1 алтында 3 тиын,ал 1 тиында 4 төрткүл бар.Демек ісек 15·3+1= 46 тиын тұрады.Тұсақ 10 алтын,яғни 30 тиын тұрғандықтан,ісек тұсаққа қарағанда 16 тиынға қымбат.Егер бірегей тұсақтар сатып алатын болсақ,онда оларға 3360 тиын төлер едік.Барлық қойға 49 сом 20 алтын,яғни 4960 тиын төлегендіктен,артық қалған 4960-3960= 1600 тиынды ісекті сатып алуға жұмсаймыз.Сөйтіп, ісек саны 1600:16 = 100,тұсақ саны 112-100=12болады. –Не болса,ол болсын.Балаларға сауын болсын.

Су ағатын 6 өзектің кейбіреуін 7 жылға бөліп,жылғаның кейбіреуін 7 тарамға бөлсек,әрі мұны осылай соза берсек,67 атыз пайда болады.

Мұның дұрыс-бұрыстығын қалай анықтаймыз?-дейді тарышы Шығанақ. Ас- адамның арқауы. Жауабы:Баста 6 өзек болатын.Өзекті тарамдаған сайын,бір өзек орнына 7 жылға аламыз.Сөйтіп өзекті 6-ға арттырып отырамыз.2 өзекті 12-ге,3 өзекті 18-ге тарамдаймыз.Олай болса,қаншаға тарамдасақта,ол 6-ға бөлінуі тиіс.67 саны 6-ға бөлінбейді.Демек ,қате кеткен.Мына есепті шешіп көрші.5 парақ қағаз бар.Оның әрбіреуін 5-ке турадық.Дәл осылай бөле берсек, 1980 жапырақ алуға бола ма?

Қорытынды.

Осы ғылыми жобамды жазу барысында қазақтың байырғы есептерінің қара есептерінің қыр- сырымен таныстым.

Менің негізгі мақсатым сабақтар көлеміндегі тақырыпты игеру мен қатар кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу. Бұл тұрғыда зерттеген еңбегімді пәнге деген қызығылушылығын артып, оқулықтарды пайдалана отырып, ізденуімнің арқасында өзімнің білімінді толықтырдым.

Тұрмыстағы математика есептерін- халқының өмірінің, әдеп- ғұрыптарының, салт- дәстүрлерінің ежелгі көрінісі. Қорыта келгенде, менің жүргізілген зерттеулерім математика ғылымының түпсіз терең, құпиясы мол әлем екенің дәлелдей түседі. Дана халқымыз өзінің бай, тағылымға толы мұрасының ұрпағына адамдыққа толы тәрбие бере білген. Оны ежелден келе жатқан көне есептерден көріп отырмыз. Бұл тақырып әлі де толығырақ зерттеулерді қажет етеді деп ойлаймын.Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан- жақты тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық білімімді көтеру үшін оқушылардың әрқайсысының үлкен ізденісте жүруі шарт, яғни ғылыми жобамды басқа оқушылар керегіне қолданады деп ойлаймын. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы- білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанымен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім- ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтанда да еліміздің президентті Нұрсұлтан Әбішұлы Назарбаевтың білім мен ғылымының дамуына баса назар аударуы, оның үнемі өз бақылауында ұстауы- соның айқын дәлелі.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Қожабаев К.Ғ. «Математиканы оқыту әдістері». Алматы «Санат» 1998 ж

2.Елеубаев С.Е. «Қазақтың байырғы қара есептері». Алматы Қазақстан

1996 ж.

3.Калегин Ю.М. Оганесян В.А. « Есеп шығаруды үйрен».Алматы «Мектеп»

1996 ж.

4. «Математика және физика» журналдары 2005- 2009 ж.

5. «Қырық бір қазына» Алматы

6. Интернет материалдары.

13