Фрагмент урока по математике «дифференциальные уравнения»

ФРАГМЕНТ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лавриеня И.А., преподаватель ГАПОУ КО «ККЭТ»

Электронный учебно-методический комплекс (далее ЭУМК) по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с требованиями к минимуму результатов освоения дисциплины, изложенными в Федеральном государственном стандарте среднего профессионального образования по специальности 46.02.01 Документационное обеспечение управления и архивирование.

ЭУМК по дисциплине «Математика» входит в цикл естественнонаучных и общеинженерных дисциплин и является частью основной профессиональной образовательной программы ГАПОУ КО «ККЭТ» по специальности 46.02.01 Документационное обеспечение управления и архивирование.

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» адресован студентам очной формы обучения.

УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля.

Раздел 2 Обыкновенные дифференциальные уравнения и численные методы

Тема 2.1 Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Основные понятия и термины по теме: дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):

1. Дифференциальные уравнения, основные понятия.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

4. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Краткое изложение теоретических вопросов:

Дифференциальное уравнение — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры.

Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен).

Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной.

Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   f ′ (x) = f (f (x)) не является дифференциальным уравнением.

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него интегралов.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение ( y ″ ) 4 + y ′ + y 6 + x 7 = 0 {\displaystyle (y'')^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0} может быть уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ′ ( x ) , y ″ ( x ) , . . . , y ( n ) ( x ) {\displaystyle y'(x),y''(x),...,y^{(n)}(x)} y’(x), y”(x), y”’(x), …. yⁿ(x), до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Другими словами: решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифференциальные уравнения в частных производных и так далее.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – это уравнения вида: f(x)dx = f(y)dy.

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Пример 2. xdy = ydx

Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители.

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

x/dx  y/dy

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.

Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

x/dxy/dy

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные

(Таблица интегралов):

Ln|y|ln|x|C

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу C достаточно записать один раз (ибо сумма двух констант – есть константа). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеют вид: y''+py'+qy=0, p,q∈R.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k²+pk+q=0, заменив y' на k.

Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k₁≠k₂, k₁, k₂∈R;

• действительные и совпадающие k₁=k₂=k, k∈R;

• комплексно сопряженные k₁=α+i*β, k₂=α−i*β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x;

• y=C₁e^kx+C₂xe^kx;

• y=e^a⋅x⋅(C₁cos βx+C₂sin βx).

Пример 1

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0.

Найдем корни характеристического уравнения k²+3k=0.

k(k+3) = 0.

Это действительные и различные k₁ =−3 и k₂=0.

Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y= C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x ⇔y=C₁e^−3x+C₂e^0x⇔y=C₁e^−3x+C₂

Практические занятия

Решение дифференциальных уравнений (4 часа)

Задания для самостоятельного выполнения

1. Внимательно ознакомьтесь с предложенным теоретическим материалом. Составьте конспект.

2. Разберите уже решенные примеры и перепишите их себе в тетрадь.

3. Ответьте на вопросы по теме.

Форма контроля самостоятельной работы:

Проверка конспекта, наличие примеров и ответов на вопросы.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Что называют степенью дифференциального уравнения?

4. Что называют решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n? Общие и частные решения.

5. Какой процесс называют интегрированием?

6. Перечислите виды дифференциальных уравнений.

7. Расскажите об особенностях видов уравнений: дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие №8-9 (4 часа)

Название практического занятия: «Решение дифференциальных уравнений»

Цель занятия: отработка способов решения дифференциальных уравнений.

Задания для практического занятия:

1. Решение разобранных примеров.

Пример 1.Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

y''−2y'=0.

Заменяем y' на k

Имеем:

k²-2k = 0.

k(k-2) = 0.

k₁ = 0, k₂ = 2.

Это действительные и различные корни k₁ = 2 и k₂=0.

Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y= C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x ⇔ y=C₁e^2x+C₂e^0x ⇔ y=C₁e^2x+C₂

Далее примеры из учебника:

[2] Богомолов Н.В. - Сборник задач по математике. Учебное пособие.

с.244 № 1, 2, с.248 №25, 26, с.250, № 32-34, с.253 №44-49.

1. Просмотр видеороликов

Три видеоролика на тему: «Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными».

Ролик №1 (06:23)

https://yandex.ru/video/preview/?filmId=5683222268122306129&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9&path=wizard&parent-reqid=1589867643819795-690879492829026351500300-production-app-host-sas-web-yp-130&redircnt=1589867669.1

Ролик №2 (05:57)

https://yandex.ru/video/preview/?filmId=5683222268122306129&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9&path=wizard&parent-reqid=1589867643819795-690879492829026351500300-production-app-host-sas-web-yp-130&redircnt=1589867669.1

Ролик №3 (19:06)

https://yandex.ru/video/preview/?filmId=14916039837386084344&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9&path=wizard&parent-reqid=1589867643819795-690879492829026351500300-production-app-host-sas-web-yp-130&redircnt=1589868309.1

Видеоролик на тему: «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка» (18:39)

https://yandex.ru/video/preview/?filmId=399281316934894263&text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9&path=wizard&parent-reqid=1589867643819795-690879492829026351500300-production-app-host-sas-web-yp-130&redircnt=1589867942.1

3.Примеры для самостоятельного решения:

Примеры из учебника: [2] Богомолов Н.В. - Сборник задач по математике. Учебное пособие.

С.245 № 3.1-3.3, с. 255 №50.1, 51.2, 52.1, 56.1.

Инструкция по выполнению практической работы

1. Разберите предложенные примеры и запишите себе в тетрадь.

2. Внимательно посмотрите видеоролики (1-4). Запишите по ним решение примеров.

3. Решите самостоятельно примеры из учебника.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практического занятия

Полученные решения уравнений проверяются преподавателем (сообщение преподавателю с фотографией выполненной работы).