Формирование навыков в решении задач по теме "Окружность и ее свойства" второй части ОГЭ.

Формирование навыков в решении задач по теме «Окружность и ее свойства» второй части ОГЭ.

Теоретические сведения:

1) Теорема о касательной и секущей.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равна квадрату касательной.

()

Теорема о секущей.

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.

(ОА)

2) Признак вписанного в окружность выпуклого четырехугольника.

Если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны, то около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Задачи.

1) Окружность с центром на стороне РМ треугольника РКМ проходит через вершину М и касается прямой РК в точке К. Найти диаметр окружности , если РК= 48, РМ = 64.

2) Окружность пересекает стороны PQ и QR треугольника PQR в точках X и Y соответственно и проходит через вершины Р и R. Найти длину отрезка XY, если QX=28, а сторона QR а 1,75 раз больше стороны PR.

3) Известно, что около четырехугольника PQST можно описать окружность и что продолжения сторон PQ и ST четырехугольника пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники OQS и ОРТ подобны.

4) Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырехугольника пересекаются в точке М. Докажите, сто треугольники МВС и MDA подобны.

5) В выпуклом четырехугольнике KLMN углы KLN и KMN равны. Докажите, что углы NKM и NLM также равны.

6) В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

7) В выпуклом четырехугольнике KLMN углы KLN и KMN равны. Докажите, что углы NKM и NLM также равны.

8) Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD , если ВС=6, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 124⁰ и 116⁰.

9) В прямоугольной трапеции PKMN с основанием КМ угол Р прямой. Окружность проходит через точки М и N и касается стороны РК в точке О. Найти расстояние от точки О до прямой MN, если PN=56, КМ=14.

10) Середина M сто­ро­ны AD вы­пук­ло­го четырёхугольника рав­но­уда­ле­на от всех его вершин. Най­ди­те AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны со­от­вет­ствен­но 129° и 96°.