Элективный курс "Правильные многогранники"

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ

Тема: «Многогранные углы»

Вариант 1

1. Трехгранным углом называется…. .

2. Вершиной многогранного угла называется… .

3. Плоскими углами многогранного угла называются… .

4. Для плоских углов трехгранного угла SАВС имеет место следующее неравенство… .

5. Пятиугольная призма имеет такие многогранные углы… .

Вариант 2

1. Многогранным углом называется… .

2. Ребрами многогранного угла называются… .

3. Гранями многогранного угла называются… .

4. Всякий плоский угол трехгранного угла.... .

5. Шестиугольная пирамида имеет такие многогранные углы… .

Тема: «Выпуклые многогранники»

Вариант 1

1. Выпуклой фигурой называется… .

2. Многогранник называется выпуклым, если… .

3. Примерами выпуклых фигур являются ... (назовите две-три).

4. В выпуклом многограннике все грани … .

5. Пирамида является выпуклым многогранником тогда и только тогда, когда… .

Вариант 2

1. Многоугольник называется выпуклым, если… .

2. Многогранный угол называется выпуклым, если… .

З. Примерами невыпуклых фигур являются ... (назовите две- три).

4. Выпуклый многогранник может быть составлен из… .

5. Призма является выпуклым многогранником тогда и только тогда, когда....

Тема: «Теорема Эйлера»

Вариант 1

1. Теорема Эйлера заключается в том, что....

2. Для доказательства теоремы Эйлера поверхность многогранника… .

З. Выпуклыми многогранниками с пятью вершинами являются… .

4. В призме 42 ребра, в ее основании лежит ... -угольник.

5. В n-угольной пирамиде В = ..., Р = ..., Г = ... (В — число вершин, Р — число ребер, Г число граней многогранника.).

Вариант 2

1. Соотношение Эйлера состоит в том, что… .

2. Для многоугольника теорема Эйлера записывается следующим образом… .

З. Выпуклыми многогранниками с шестью вершинами являются… .

4. В пирамиде 48 ребер, в ее основании лежит ... -угольник.

5. В n-угольной призме В = ..., Р = ..., Г = ... (В — число вер шин, Р — число ребер, Г — число граней многогранника.).

Тема: «Правильные многогранники»

Вариант 1

1. Многоугольник называется правильным, если он… .

2. Правильных многогранников существует… .

З. Октаэдр в переводе с греческого означает… .

4. В икосаэдре В = ..., Р = ..., Г =

5. Двойственным многогранником к гексаэдру является… .

Вариант 2

1. Многогранник называется правильным, если он… .

2. Правильных многоугольников существует… .

З. Гексаэдр в переводе с греческого означает… .

4. В додекаэдре В = ..., Р = ..., Г =… .

5. Двойственным многогранником к тетраэдру является… .

Тема: «Полуправильные многогранники»

Вариант 1

1.Правильным многогранником называется… .

2. К полуправильным многогранникам относятся n-угольные

призмы, если… .

З. Операция усечения многогранника состоит в … .

4. Усеченный тетраэдр имеет В = ..., Р = ..., Г =.... .

5. Тел Платона насчитывается… .

Вариант 2

1. Полуправильным многогранником называется… .

2. n -угольная антипризма получается из n-угольной призмы… .

З. К полуправильным многогранникам относятся n-угольные антипризмы, у которых… .

4. Усеченный октаэдр имеет В = ..., Р = ..., Г =… .

5. Тел Архимеда насчитывается… .

Тема: «Звездчатые многогранники»

Вариант1

1.Правильные звездчатые многогранники получаются из

правильных многогранников … .

2. Звездчатые многогранники не получаются из следующих

правильных многогранников .

3. Икосаэдр имеет ... правильных звёздчатых форм.

4. Малый звездчатый додекаэдр получается… .

5. Существует ... тел Архимеда.

Вариант 2

1. Правильный звездчатый пятиугольник можно получить....

2. Звездчатые многогранники получаются из следующих правильных многогранников.

3. Додекаэдр имеет ... правильных звездчатых форм.

4. Большой додекаэдр получается… .

5. Существует ... тел Кеплера—Пуансо.

Тема: «Кристаллы — природные многогранники»

Вариант 1

1. Форму куба имеют, например, кристаллы… .

2. Ромбододекаэдр – это… .

З. Кристалл исландского шпата представляет собой… .

4. Кристалл алмаза имеет форму… .

5. Кристалл граната имеет В = ..., Р = ..., Г =… .

Вариант 2

1. Кристаллы горного хрусталя (кварца) и льда имеют форму....

2. Форму косого параллелепипеда имеет кристалл… .

З. Кристалл алмаза имеет форму… .

4. Кристалл граната имеет форму... .

5. Кристалл алмаза имеет В = ..., Р = ..., Г =… .

Устные упражнения

1. Каким способом можно доказать существование правильных многогранников?

Ответ: построением.

2. Пирамида – частный случай многогранника. Можно ли считать, например, правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны между собой, правильным многогранником?

Ответ: нет, такая пирамида является полуправильным многогранником.

3. Сформулировать необходимые и достаточные условия существования правильного многогранника.

4. 16. Доказать, что угол между противоположными ребрами, выходящими из одной вершины октаэдра, равен 90°.

17. Доказать, что разверткой поверхности октаэдра может быть равнобочная трапеция, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон.

18. Начертить несколько эскизов развертки поверхности октаэдра.

19. Центры граней куба, ребро которого равно а , служат вершинами октаэдра. Определить: а) отношение поверхностей многогранников; б)объем октаэдра.

Ответ: а) 6 : ; б) .

20. Определить фигуру сечения октаэдра плоскостью, проходящей через два параллельных его ребра.

Ответ: квадрат.

21. Какую фигуру представляет собой сечение октаэдра плоскостью, проходящей через одну из его вершин и середины двух параллельных ребер, не лежащих с этой вершиной в одной плоскости?

Ответ: ромб.

22. Как, имея правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны, построить октаэдр?

23. Сколько пятигранных углов имеет икосаэдр?

Ответ: 12.

24. Доказать, что разверткой поверхности икосаэдра, ребро которого равно а, может быть параллелограмм со сторонами а и 10а, образующими между собой угол в 60°.

25. Поверхность додекаэдра равна 180 см. Определить площадь его грани.

Ответ: 15 см.

26. Сколько трехгранных углов имеет додекаэдр?

Ответ: 20.

27. Сколько плоскостей симметрии имеет а) октаэдр, б) додекаэдр?

Ответ: а) 9; б) 15.

28. Доказать, что правильный шестиугольник не может быть гранью правильного многогранника.

29.Сколько ребер может сходиться в одной вершине правильного многогранника? 3,4 или 5.

Ответ: 3, 4 или 5.

30. Какие правильные многогранники имеют равные плоские углы?

Ответ: тетраэдр октаэдр, икосаэдр.

31. Перечислить свойства, которые являются общими для всех видов правильных многогранников.

32. Определить сумму плоских углов при вершине икосаэдра.

Ответ: 300 °

33. Ребро икосаэдра равно а. Определить его поверхность.

Ответ: .

34. Через центры оснований куба проведено по 4 плоскости, каждая из которых проходит через центры двух боковых смежных граней. Определить вид образовавщегося многогранника.

Ответ: Октаэдр.

Элективный курс:

Разработала учитель математики МОУ«Краснослободская СОШ № 4»

Пермякова Н.А.

Цели курса :

• Познакомить учащихся с правильными многогранниками;
• Развить интерес учащихся к изучению математики.
• Показать связь между разными областями знаний: математики, истории, астрономии, химии, географии, биологии.
• Развить интеллектуальные и творческие способности учащихся.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой—красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства

Бертран Рассел

• Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

Вы знакомы с правильными многогранниками?

1.Правильный тетраэдр (многогранник, гранями которого являются 4 правильных треугольника).

2.Гексаэдр(куб- многогранник, гранями которого являются 6 квадратов).

3.Октаэдр(его гранями являются 8 правильных треугольников).

4.Икосаэдр( его гранями являются 20 правильных треугольников).

5.Додекаэдр(его гранями являются 12 правильных пятиугольников ).

• Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимус". Поэтому правильные многогранники также называются Платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля ( куб ), вода ( икосаэдр ), огонь ( тетраэдр ), воздух ( октаэдр ), а также с "неземным" элементом - небом ( додекаэдр ).

ТЕТРАЭДР

ОГОНЬ

икосаэдр

ВОДА

ГЕКСАЭДР (КУБ)

ЗЕМЛЯ

ДОДЕКАЭДР

ВСЕЛЕННАЯ

ВОЗДУХ

ОКТАЭДР

Звездчатые многогранники.

• В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''   
• Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия ''.на переднем плане изобразил додекаэдр.  

Так многогранники в своих картинах использовал художник М.К.Эшер

• Великая пирамида в Гизе.

Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

• СТРОИТЕЛЬСТВО ПИРАМИД Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.

• Александрийский маяк .

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет

Многогранники в окружающей среде

Где  возможно увидеть эти удивительные тела?

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь мы видим и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму   преодолевать давление водной толщи.

Многогранники в биологии

• Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. . Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.

Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

Многогранники в химии

• Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.

• Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

На элективном курсе мы будем:

• Изучать теорию многогранников?

Конечно!

• Решать задачи ?

Обязательно!

• Изготавливать модели многогранников?

С радостью!

• Проводить исследовательскую работу (писать рефераты)?

Непременно…

Я вас заинтересовала? Жду вас в кабинете №14…

Я вас заинтересовала? Жду вас в кабинете №14…