Дополнительный материал "Тайна квадратных уравнений" к урокам по теме "Квадратные уравнения"

Дополнительный материал

«Тайны квадратных уравнений»

к урокам по теме:

«Квадратные уравнения»

1. Основная часть:

1.Квадратные уравнения в школьном курсе математики:

1.1. Определение:

Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x²+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x², b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.

1.2. Виды:

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. В противном случае квадратное уравнение является неприведенным.

Квадратное уравнение a·x²+b·x+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

1.3. Тайны квадратных уравнений:

Теорема 1. Если в квадратном уравнении aх²+вх+с=0 сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней равен 1, а второй с/а.

Теорема 2. Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 сумма коэффициентов равна нулю, а-в+с=0, то один из корней равен –1, а второй –с/а.

Обратные теоремы. Справедливы и теоремы, обратные только что доказанным. Они тоже применяются для решения задач.

Теорема 1. Если корни квадратного уравнения равны 1 или с/а, то а+в+с=0.

Теорема 2. Если корни квадратного уравнения равны –1 или –с/а, то а-в+с=0.

2.Способы решения уравнений в разные века:

2.1. История возникновения квадратного уравнения:

Как свидетельствуют раскопки, явление квадратного уравнения люди наблюдали ещё с древних времён. Тогда оно считалось знаком богов. Знак представлял необычное для древних людей сочетание палочек и крючочков.

По ошибке древние ассоциировали данный знак с числом один и приписывали его богу Одину. (Который, кстати говоря, считался главным из богов, что только лишний раз подтверждает важность квадратного уравнения для человечества.)

В средние века квадратное уравнение постепенно стало терять завесу тайны. Ученые знали, что богов не существует и принялись исследовать происхождение уравнения.

Впервые это удалось учёному Квадрату Олегу Лаврентьевичу, он ввёл и исследовал термин квадратного в 1313 году. Однако, как ни старался, К. О. Л. не смог стать свидетелем всеобщего признания его работы. По обидному совпадению, уравнение было признанно в день рождения автора 13 января 1414 года — всего лишь через год после смерти знаменитого в настоящее время человека. В дальнейшем теория квадратного уравнения развивалась последователями Квадрата.

2.2. Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от непосвященных. Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Задача 1.

Решение древних Современное решение

Я вычел из площади одну сторону х² – bx – c = 0

моего квадрата и получил 870.

x² – x = 870 b 0, c 0

x² – x – 870 = 0 b / 2

Взял эту одну и разделил пополам

(b/2)²

Умножил на саму себя.

(b/2)² + c

Сложить с 870 Добавили свободный член

Что является квадратом 29 ?

( = 29 )

Сложим то, что получили с первой половиной ( )

Прибавили то, что было и получили формулу для четного

Коэффициента

x₁ = 30.

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

2.3. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило – делай как я).

В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия в то время считалась наукой всех наук.

Поэтому теперь посмотрим на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3

Дано уравнение:

Отрицательных чисел в те века еще не знали, приблизился к ним только Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты р 0, q 0. x = .

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р отложим вправо отрезок РМ = (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x₁ = , КМ = x₂ = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности часто встречался синтез алгебры с геометрией.

2.4. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах, поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.

Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых. Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax² + bx = c ( квадраты и корни равны)

ax² + c = bx (квадраты и числа равны корням)

ax² = bx + c (корни и числа равны квадратам)

ax² = bx (квадраты равны корням)

ax² = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4

Квадрат и десять его корней равны 39. Рассмотрим геометрическое решение уравнения х² + 10х = 39.

Рисуем квадрат, сторона которого обозначается неизвестной величиной х.

x² – площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5). Построй большой квадрат.

Площадь маленького квадрата 25.Площадь заштрихованной фигуры 39.

Что можем найти? Площадь большого квадрата равна 39 + 25 = 64

Вся площадь целиком S_ABCD = 64. т.е. (х + 5) 2= 64, х = 3

Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный. (По теореме Виета – 39 : 3 = – 13 ). х₂ = – 13

(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Этот наглядно, красиво, просто, но тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше.)

2.5. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе

были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским

математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые

новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к

введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению

алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других

странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все

европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.

2.6.Квадратные уравнения в ИНДИИ

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких 5 соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи»

Задачи часто облекались в стихотворную форму. Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

2.7.Франсуа Виет:

Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. Виет нашёл общие методы решений уравнений второй, третьей и четвертой степени, унифицировал методы, найденный ранее Ферро и Феррари, а также вывел общеизвестные теперь формулы суммы и произведения корней квадратного уравнения (формулы Виета).

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

3. Способы решения:

1) Решение с помощью формул корней квадратного уравнения

2) Разложение левой части уравнения на множители.

Примеры. 1.

Решим уравнение:

х² + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х ² + 10х – 24 = х² + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х² + 10х – 24 = 0.

3) Метод выделения полного квадрата

Пример

Решим уравнение:

х² + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2• х •3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32 , так как

х ² + 2• х •3 + 32 = (х + 3)² .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х ² + 6х – 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х ² + 6х – 7 = х² + 2• х •3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)² – 9 – 7 = (х + 3)² – 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² –16 = 0, т.е. (х + 3)² = 16.

Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4, х² = – 7.

4) Метод переброски

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример: решите уравнение

2х²-9х-5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Ответ: 5; -0,5

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

5) Решение квадратного уравнения с помощью теоремы Виета

Познакомили поэта с теоремою Виета.

Оба корня он сложил, минус p он получил.

А корней произведенье дает q из уравнения

4. Квадратные уравнения в задачах:

А) В зрительном зале рядов в 2 раза больше, чем мест в каждом ряду. Если при перепланировке зала число рядов увеличить на 1, а число мест в каждом ряду увеличить на 8, то в зале будет 500 мест. Сколько мест в зале?

Решение:

Обозначим за – число мест в ряду. Тогда – число рядов. Число мест после перепланировки будет, а число рядов. Так как по условию задачи после перепланировки число мест в зале будет равно, то можем составить уравнение:

Б) Детская площадка имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 140м2. Одна его сторона на 4 метров больше, чем другая. Детской площадке необходимо построить бордюр. В магазине продается материал для бордюра в упаковках. В одной упаковке имеется 20 метров материала.

1.Обозначим одну сторону детской площадки за x, а вторую — за x+4.

2. Используя данные величины, составляем уравнение:

x(x+4)=140

3. Сделав необходимые преобразования, получаем квадратное уравнение:

x2+4x−140=0

4. Вычисляем корни квадратного уравнения:

D=42−4⋅1⋅(−140)=16+560=576

x1=(−4+√576)/2=(−4+24)/2=10м

x2=(−4−√576)/2=(−4−24)/2=-14

5. Так как сторона не может быть отрицательным числом, то второй корень не подходит по условию задачи, поэтому меньшая сторона детской площадки равна 10 метрам, а большая сторона равна

10+4= 14 метрам.

6. Чтобы определить, сколько материала требуется для бордюра, находим периметр детской площадки:

P=2⋅(10+14)=2⋅24=48 м

7. Вычисляем, сколько упаковок материала для бордюра необходимо приобрести:

4820=2,4 (упаковок)

в) Найдите корень уравнения x²-17x+72=0:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение:

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения равна 17, а их произведение равно 72. Тем самым, это числа 8 и 9.

Ответ: 8.

г) Решите уравнение: x⁴=(x-20)²

(x²)²-(x-20)²=0

(x²+(x-20))*(x²-(x-20)) =0

X²+(x-20) =0 или x²-(x-20) =0

X²+x-20=0 x²-x+20=0

D=81 D

X₁=4

x₂=-5

Ответ: 4;-5

д) Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с в квадрате и не учитывая сопротивление воздуха, найдите, через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м.

Решение:

е) Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t)=T₀+bt+at², где – время в минутах,T₀=1400 К, a=-10 К/мин², b=200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной 1760 К. Задача сводится к решению уравнения T(t)=1760 при заданных значениях параметров a и b:

1400+200t-10t²=1760

T²-20t+36=0

T₁=2 по теореме Виета

T₂=18

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Ответ: 2.

ж) Самые красивые мосты — вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

На рисунке изображена схема одного вантового моста. Введем систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение:

где и измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 100 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Решение:

Х=100

Y(100)=0,0061*1002-0,692*100+29=20,8

Ответ: 20,8 метров.

Список используемых ресурсов:

https://ege.sdamgia.ru/test?theme=72

http://www.microarticles.ru/article/kvadratnie-yravnenija.html

https://refdb.ru/look/1101379.html

http://mirznanii.com/a/313879/10-sposobov-resheniya-kvadratnykh-uravneniy

Алгебра 8 класс

Математика ОГЭ 2017 год

Математика ЕГЭ 2017 год

10