Дополнительные возможности систем символьной математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы студент 5 курса группы МДМ-117 очной формы обучения____________________________________________ А.Е.Сорокина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование.

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент________________________Т. В. Кормилицына

Саранск 2021

Содержание

Введение 3

1. Понятие о символьных вычислениях 5

2. Обзор систем компьютерной алгебры 9

3. Компьютерный практикум с использованием систем символьной математики 17

4 Системы символьной математики и их роль в учебном процессе. 21

Заключение 25

Список использованных источников 27

Введение

Появление компьютеров изменило все сферы современной науки и общественной, и даже личной, жизни. Появилась возможность проводить сложнейшие вычислительные эксперименты, что экономит не только деньги, но и время. Последнее обстоятельство особенно важно для научных работников, педагогов и студентов. Однако в нашей стране именно в области образования применение современных компьютерных методов и систем оставляет желать лучшего. Частично это связано с объективными причинами (дороговизна оборудования, программных продуктов и т. д.), однако очень часто и с субъективными — нежеланием что-либо менять, поскольку наше образование и так «самое лучшее в мире».[1]

Между тем появление современных систем компьютерной математики позволяет, не отказываясь от принципов фундаментальности классического образования, качественно изменить подходы и методы изложения материала, сделать его более наглядным и доступным, а следовательно, более интересным и привлекательным для основной массы обучающихся.

Сегодня нечасто вспоминают о том, что компьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран.[4] Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста. Об этом можно судить по росту числа журнальных и книжных публикаций, освещающих применения данных пакетов для решения разнообразных проблем.

Очень скоро начали доминировать приложения к задачам управления. Однако научные приложения остаются наиболее важными, особенно если взглянуть на требуемую производительность компьютера: наиболее мощные компьютеры обычно предназначаются для научных исследований.

1. Понятие о символьных вычислениях

Символьные операции — это как раз то, что кардинально отличает систему Mathematica (и подобные ей символьные математические системы) от систем для выполнения численных расчетов. При символьных операциях, называемых также аналитическими, задания на вычисление составляются в виде символьных (формульных) выражений, и результаты вычислений также получаются в символьном виде. Численные результаты при этом являются частными случаями символьных.

Выражения, представленные в символьном виде, отличаются высокой степенью общности. К примеру, тождество sin(x) 2 + соs(x) 2 = 1 справедливо при любых значениях аргумента х. Если результат символьной операции равен, к примеру, sin(1), то он и будет выведен как sin(1) — конкретное вещественное число, приближенно представляющее или аппроксимирующее sin(1), вычисляться не будет, ибо носит частный характер.

Результат вычисления sin(х) 2 + cos(x) 2 можно проверить с помощью систем для численных расчетов, задав ряд конкретных значений х и вычислив сумму квадратов синуса и косинуса. Однако всякий раз мы будем получать частный результат, не имея никакой гарантии того, что он действительно справедлив при любом значении х. К тому же этот результат нередко может оказаться равным 0,9999999 или 1,0000001, так что лишь наша фантазия округляет его до точной единицы. Между тем это как раз то, что абсолютно недопустимо в действиях профессионала — математика-аналитика. Его приведет в ужас малейшее отличие указанного выражения от единицы! Ведь почтенные классики математики давно уже доказали, что этот результат равен в точности единице.

Ниже рассмотрены некоторые простые примеры применения символьной математики, которые реализуются в системе Mathematica. Если читатель совсем не знает эту систему, можно рассмотреть эти примеры чуть позже, изучив интерфейс системы и основы работы с ней — см. следующую главу.

При символьных операциях, называемых также аналитическими, задания на программировали вы вычисления на простеньком Бейсике или языке профессионалов-программистов C++. И лишь системы символьной математики при вычислениях дадут долгожданное и абсолютно точное значение 1 — рис. 1.

Рисунок 1. Система Mathematica вычисляет значение sin(x)2 + cos(x)2

Вычисления задаются в виде символьных (формульных) выражений и результаты вычислений также получаются в символьном виде. Численные результаты при этом являются частными случаями результатов символьных вычислений.

К примеру, попытка вычислить в общем виде выражение sin(x)2 + cos(x)2 = 1 с помощью численных математических систем или программ на обычных языках программирования к успеху не приведет. Вместо ожидаемого результата появится сообщение об ошибке вида: «Переменная х не определена!». Компьютер будет ждать ввода конкретного значения для х. При рассмотрении простейшего примера на рис. 1.2 можно сделать несколько важных выводов. Прежде всего, видно, что вывод неопределенной переменной х дает саму переменную. Функции sin(x) и cos(x) в системе Mathematica обозначаются как Sin[x] и Cos[x], Это соответствует двум важным особенностям системы: имена функций обычно начинаются с заглавной буквы, а параметры функции задаются в квадратных, а не круглых скобках. Последние используются для конструирования выражений и задания приоритета операций, например, 1+(2+3*4).

И еще три важных правила, которых надо сразу придерживаться. В отличие от большинства систем компьютерной математики в Mathematica место ввода ничем не помечается. Правда, после последнего вывода появляется линия подчеркивания (она есть и в пустом новом ноутбуке). Но по мере ввода символов с клавиатуры они появляются в строке ввода. Кроме того, нажатие клавиши Enter ведет лишь к переводу сроки в ячейке ввода, а вовсе не к выполнению (оценки) выражения в ней. Для выполнения выражения надо нажать одновременно клавиши Shift и Enter. При этом формируется ячейка вывода с результатом выполнения выражения в ячейке ввода.

Само по себе выражение sin(x)2 + cos(x)2 просто повторяется, а для его вычисления используется функция Simplify (упростить), аргументом которой является знак %, означающий подставку предшествующего выражения. Два знака % можно использовать для подстановки предшествующего предшествующему выражению и т. д.

Обратите внимание на то, что система выделяет области ввода определителем 7л[Л(], а области вывода — определителем где N — автоматически проставляемый номер строки. Кроме того, в левой части отображаются квадратные скобки с особыми признаками, которые будут описаны в позже. Далее мы, как правило, будем опускать определители и представлять документы в упрошенной и более компактной форме.

1. Обзор систем компьютерной алгебры

Символьная, или, как еще говорят, компьютерная, математика либо компьютерная алгебра, — большой раздел математического моделирования. В принципе, программы такого рода можно отнести к инженерным программам автоматизированного проектирования. Таким образом, в области инженерного проектирования выделяют три основных раздела:

CAD — Computer Aided Design;

CAM — Computer Aided Manufacturing;

CAE — Computer Aided Engeneering.

Сегодня серьезное конструирование, градостроительство и архитектура, электротехника и масса смежных с ними отраслей, а также учебные заведения технической направленности уже не могут обойтись без систем автоматизированного проектирования (САПР), производства и расчетов. А математические пакеты являются составной частью мира CAE-систем, но эта часть никак не может считаться второстепенной, поскольку некоторые задачи вообще невозможно решить без помощи компьютера. Более того, к системам символьной математики сегодня прибегают даже теоретики (так называемые чистые, а не прикладные математики), например для проверки своих гипотез.

Всего каких-нибудь 10 лет назад эти системы считались сугубо профессиональными, но середина 90-х годов стала переломным моментом для мирового рынка CAD/CAM/CAE-систем массового применения. Тогда, впервые за долгое время, пакеты для параметрического моделирования с промышленными возможностями стали доступны пользователям персональных компьютеров. Создатели подобных систем учли требования широкого круга пользователей и таким образом дали возможность десяткам тысяч инженеров и математиков использовать на своих персональных рабочих местах новейшие достижения науки в области технологий CAD/CAM/CAE-систем.

Так что же умеют программы математического моделирования? Неужели они требуют от ученых умения программировать на тех или иных алгоритмических языках, отлаживать программы, отлавливать ошибки и тратить массу времени на получение результата? Нет, те времена давно прошли, и теперь в математических пакетах применяется принцип конструирования модели, а не традиционное «искусство программирования». То есть пользователь лишь ставит задачу, а методы и алгоритмы решения система находит сама. Более того, такие рутинные операции, как раскрывание скобок, преобразование выражений, нахождение корней уравнений, производных и неопределенных интегралов компьютер самостоятельно осуществляет в символьном виде, причем практически без вмешательства пользователя.

Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, и как генератор графики или даже звука! Стандартными стали также средства взаимодействия с Интернетом, и генерация HTML-страниц выполняется теперь прямо в процессе вычислений. Теперь можно решать задачу и одновременно публиковать для коллег ход ее решения на своей домашней странице.

Рассказывать о программах математического моделирования и возможных областях их применения можно очень долго, но мы ограничимся лишь кратким обзором ведущих программ, укажем их общие черты и различия. В настоящее время практически все современные CAE-программы имеют встроенные функции символьных вычислений. Однако наиболее известными и приспособленными для математических символьных вычислений считаются Maple, MathCad, Mathematica и MatLab. Но, делая обзор основных программ символьной математики, мы укажем и на возможные альтернативы, идеологически схожие с тем или иным пакетом-лидером.

Так что же делают эти программы и как они помогают математикам? Основу курса математического анализа в высшей школе составляют такие понятия, как пределы, производные, первообразные функций, интегралы разных видов, ряды и дифференциальные уравнения. Тому, кто знаком с основами высшей математики, наверняка известны десятки правил нахождения пределов, взятия интегралов, нахождения производных и т.д. Если добавить к этому то, что для нахождения большинства интегралов нужно также помнить таблицу основных интегралов, то получается поистине огромный объем информации. И если какое-то время не тренироваться в решений подобных задач, то многое быстро забывается и для нахождения, например, интеграла посложнее придется уже заглядывать в справочники. Но ведь взятие интегралов и нахождение пределов в реальной работе не является главной целью вычислений. Реальная цель заключается в решении каких-либо проблем, а вычисления — всего лишь промежуточный этап на пути к этому решению.

С помощью описываемого ПО можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при вычислениях. Естественно, CAE системы не ограничиваются только этими возможностями, но в данном обзоре мы сделаем упор именно на них.

Отметим только, что спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:

проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;

• разработка и анализ алгоритмов;

• математическое моделирование и компьютерный эксперимент;

• анализ и обработка данных;

• визуализация, научная и инженерная графика;

• разработка графических и расчетных приложений.

При этом отметим, что поскольку CAE-системы содержат операторы для базовых вычислений, то почти все алгоритмы, отсутствующие в стандартных функциях, можно реализовать посредством написания собственной программы.

Mathematica

Минимальные требования к системе:

• процессор Pentium II или выше;

• 128 Мбайт оперативной памяти (рекомендуется 256 Мбайт или больше);

• 400-550 Мбайт дискового пространства;

• операционные системы: Windows 98/Me/ NT 4.0/2000/2003 Server/2003x64/XP/XP x64.

Таким образом, Mathematica — это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемноориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой — интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Таким образом, Mathematica как система программирования имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения (Add-ons) появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя, (хотя рядовому пользователю эти средства программирования могут и не понадобиться — он вполне обойдется встроенными математическими функциями системы, поражающими своим обилием и многообразием даже опытных математиков).

К недостаткам системы Mathematica следует отнести разве что весьма

необычный язык программирования, обращение к которому, впрочем, облегчает подробная система помощи.

В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программы Mathematica можно назвать такие пакеты, как Maxima

Отметим, что система Maxima — это некоммерческий проект с открытым кодом. В программе Maxima для математической работы используется язык, сходный с языком в пакете Mathematica, а графический интерфейс построен по тем же принципам. Изначально программа называлась Xmaxima и создавалась для UNIX-систем.

Кроме того, сейчас у системы Maxima есть еще более мощный, эффективный и дружественный кроссплатформенный графический интерфейс, который называется Wxmaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net). И хотя этот проект пока что существует лишь в бета-версии, он постепенно превращается в очень серьезную альтернативу коммерческим системам.

Maple

Минимальные требования к системе:

• процессор Pentium III 650 МГц;

• 128 Мбайт оперативной памяти (рекомендуется 256 Мбайт);

• 400 Мбайт дискового пространства;

• операционные системы: Windows NT 4 (SP5)/98/ME/2000/2003 Server/XP Pro/XP Home.

Программа Maple (последняя версия 10.02) — своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде. Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word.

Пакет Maple — совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария). Для его продажи была создана специальная компания — Waterloo Maple, Inc., которая, к сожалению, больше прославилась математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В результате система Maple ранее была доступна преимущественно узкому кругу профессионалов. Сейчас эта компания работает совместно с более преуспевающей в коммерции и в проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов MathCad, ставших международным стандартом для технических вычислений.

Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно — пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.

MatLab

Минимальные требования к системе:

• процессор Pentium III, 4, Xeon, Pentium M; AMD Athlon, Athlon XP, Athlon MP;

• 256 Мбайт оперативной памяти (рекомендуется 512 Мбайт);

• 400 Мбайт дискового пространства (только для самой системы MatLab и ее Help);

• операционная система Microsoft Windows 2000 (SP3)/XP.

Система MatLab относится к среднему уровню продуктов, предназначенных для символьной математики, но рассчитана на широкое применение в сфере CAE (то есть сильна и в других областях). MatLab — одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение и в самом названии системы — MATrix LABoratory, то есть матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что данная ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления.

Несмотря на то что изначально MatLab предназначалась исключительно для вычислений, в процессе эволюции (а сейчас выпущена уже версия 7), в дополнение к прекрасным вычислительным средствам, у фирмы Waterloo Maple по лицензии для MatLab было приобретено ядро символьных преобразований, а также появились библиотеки, которые обеспечивают в MatLab уникальные для математических пакетов функции. Например, широко известная библиотека Simulink, реализуя принцип визуального программирования, позволяет построить логическую схему сложной системы управления из одних только стандартных блоков, не написав при этом ни строчки кода. После конструирования такой схемы можно детально проанализировать ее работу.

В системе MatLab также существуют широкие возможности для программирования. Ее библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самой MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения).

1. Компьютерный практикум с использованием систем символьной математики

Требования, предъявляемые к современным специалистам, и развитие компьютерные технологии обосновывают необходимость внедрения в учебный процесс новых типов занятий. Одним из них являются практические занятия в форме компьютерного практикума по физике. Современный ученый или инженер должен обладать не только навыками экспериментальной деятельности, но и методиками моделирования и теоретического анализа. В науке и промышленности реализуются подходы, когда строительство дорогостоящего, например энергетического, объекта, не начинается без построения многочисленных моделей и проведения виртуальных экспериментов по изучению свойств объекта и его поведения в экстремальных ситуациях, а все современные научные данные получают на установках, которые интегрированы в компьютерную среду. Следовательно, современный физический практикум уже сейчас должен сочетать овладение практическими навыками проведение. эксперимента с высокотехнологичными методами получения, обработки и анализа экспериментальных данных. Поэтому компьютерный практикум по общей физике создан не как альтернатива традиционному физическому практикуму, а как новая технология обучения. Он является инновационной аналитической частью общего физического практикума, интегрированной с практическими занятиями и другими видами учебной деятельности.

Основные идеи, положенные в основу проведения компьютерного практикума:

1. Компьютерный метод получения и обработки экспериментальных данных.

2. Компьютерное моделирование физических явлений разного типа.

3. Численный эксперимент для физических процессов.

4. Визуализация физических явлений и процессов.

Компьютерный практикум выполняется студентами первого, второго и третьего курсов, изучающих общую физику. В зависимости от специальности и количества времени, отводимого на изучение физики, могут отличаться количество тем и объем заданий практикума.

Методическим обеспечением компьютерного практикума по общей

физике является:

– учебные пособия по практикуму (изданные в традиционном виде)

[1, 2];

– электронные материалы: программы и комплексы программ в виде

рабочих листов систем.

Учебные пособия и электронные материалы содержат:

– теоретическое введение по изучаемой теме, содержащее основные

законы и формулы;

– задания компьютерного практикума с указанием

последовательности и методов выполнении;

– формулировки методов исследования изучаемых явлений;

– примеры выполнения заданий и отчетов;

– вычислительные примеры и шаблоны.

Для сопровождения компьютерного практикума необходимо учебное пособие [1] по использования специализированных систем символьной математики для решения физических задач. Оно содержит необходимые для физики приемы работы с системами символьной математики, математические примеры вычислительных операций, основные сведения и примеры обработки экспериментальных данных. Необходимым техническим обеспечением компьютерного практикума является:

– персональные компьютеры, компьютерные классы,

дополнительное цифровое оборудование;

– системы символьной математики и вспомогательные

компьютерные программы.

Компьютерный практикум по общей физике можно реализовать в системах MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA. Основной математической системой практикума является MATHCAD: он наиболее прост в освоении и обладает всеми необходимыми для задач общей физики инструментами. MATHCAD можно рекомендовать для студентов с двухгодичным курсом общей физики и небольшим количеством учебных часов. Для студентов физических и физико-технических специальностей можно рекомендовать использование более сложных систем MAPLE и MATHEMATICA. Практически использование ССМ можно начать с MATHCAD для всех студентов первых курсов с постепенным подключением систем MAPLE и MATHEMATICA на втором и третьем курсах. Структура компьютерного практикума должна соответствовать учебным планам курсов общей физики и охватывать все основные разделы программы: классическая механика; механические колебания и волны; термодинамика и молекулярная физика; электричество и магнетизм; оптика; квантовая физика. В рамках компьютерного практикума может естественным образом проводиться обработка экспериментальных данных, включающая: вычисления доверительного интервала; вычисление косвенных погрешностей; построение графиков (с использованием полиномиальной регрессии и других методов).

Использование компьютерных методик обработки экспериментальных данных означает не только упрощение работы при сложных и громоздких вычислениях, но и возможность дополнительного анализа данных, следствием которого могут быть дополнительные измерения или необходимость более тщательного выполнения работы. Использование ССМ дает возможность представлять отчеты не только с полными аналитическими выкладками и численными расчетами, но и проконтролировать все шаги выполняемой работы.

1. Системы символьной математики и их роль в учебном процессе

Современные науку и образование уже невозможно представить без повсеместного использования компьютерных технологий, вычислительной техники и различного математического обеспечения. Однако важным остается вопрос, как и в каком качестве их использовать при решении основной задачи высшей школы – подготовке высококвалифицированных научных и инженерных кадров, способных решать современные научные и практические проблемы. Компьютерные ресурсы необходимые для успешного решения такой образовательной задачи должны удовлетворять определенным требованиям: обеспечивать преемственность и фундаментальность физико-математического и инженерного научного образования, не замыкаться на трудоемкое общения с компьютером и обладать самыми мощными и адекватными математическими возможностями. Такими инструментами являются системы символьной математики – интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие простоту использования с мощью самых современных математических инструментов. Их справочные материалы [3-8], содержат не только сведения по работе, но и развернутые современные учебники математики, справочники по физике и другим дисциплинам. Поэтому системы символьной математики являются интерактивной учебно-исследовательской виртуальной средой. Работа в такой среде предполагает невольное «подтягивание» пользователя до необходимого уровня, что является своеобразной дополнительной образовательной технологией. Такие системы получили всемирное признание в научных и академических кругах как инструменты научных исследований и прикладных инженерных расчетов; но они только начинают использоваться в образовании. При этом системы символьной математики обладают большой образовательной эффективностью, и опыт их развития указывает на перспективы их применения в учебном процессе. Несмотря на «математическое происхождение» систем, они адекватны потребностям физико-математического и инженерного образования, как средства, содержащие самые разнообразные математические инструменты, необходимые для физических и прикладных исследований: от обработки массивов данных до квантовых систем и космологии. Сами по себе системы символьной математики не являются средствами, «автоматически» поднимающими математический уровень пользователей: они могут служить полезными инструментами как при компьютерном решении задач, так и в самом процессе изучения физикоматематических дисциплин (причем, эти стороны использования систем символьной математики, конечно же, взаимно обусловлены). Не заменяя преподавателя и не подменяя стандартный учебный процесс, но требуя от пользователя необходимого уровня математической подготовки для общения на входных языках и составления аналитикочисленных алгоритмов решения задач, системы символьной математики (имеющие встроенные инструменты верификации, в том числе и пошаговой, и обладающие обратными связями в виде интерактивных комментариев и подсказок), могут служить, с одной стороны, своеобразными контролерами качества математических выкладок, а с другой – обеспечивать учебный процесс информационного типа. Соответствие задач физико-математического и инженерного образования и возможностей систем символьной математики делает последние естественной компьютерной средой обучения и учебноисследовательской деятельности. Действительно, учебный процесс требует таких компьютерных средств, которые обеспечивали бы адекватный уровень математических вычислений и не требовали бы специальной программистской подготовки и трудоемкого освоения математического обеспечения. В справочных материалах систем символьной математики имеются, помимо прочего, имеются развернутые современные учебники по математике, справочники по математике, физике и другим дисциплинам: их можно рассматривать как учебно-исследовательские среды. Использование системы символьной математики в образовании: - создает особую информационную среду обучения, основанную на современных компьютерных технологиях; - позволяет органично сочетать фундаментальность образования с интерактивными и дистанционными формами обучения; - обеспечивает профессиональную преемственность обучения, основанную на академической и научной практике работы с ССМ.

Системы символьной математики дают возможность проводить обучение деятельностного типа, изменить общение студентов с преподавателем и студентов между собой, использовать новые формы выполнение практических и домашних заданий. Они дают возможность преемственного подхода к традиционным практическим занятиям: с одной стороны на компьютере можно решать традиционные задачи, а с другой решение таких задач может быть существенно расширено за счет возможностей компьютера (подробный анализ полученного решения: наглядное представление результатов в аналитической и графической формах). Рабочие листы систем представляют собой так называемые «живые электронные книги»: вычисления, преобразования, построения графиков и т.п. происходит интерактивно, а пользователь имеет возможность вносить свои поправки в значения параметров, изменять функции и делать дополнения (все это сразу или по команде отражается на рабочем листе). Все это делает системы символьной математики настоящим интерактивным учебным пособием. Использование систем символьной математики в учебном процессе обеспечивает также дополнительные возможности в: - применении индивидуальных и групповых формах выполнение заданий; - организации выполнения заданий в очной и дистанционной формах; - формулировке систем персональных заданий для каждого студента различных степеней сложности, учитывающих его образовательный уровень и скорость усвоения материала; - расширении круг решаемых задач: от коротких типовых примеров до комплексных исследовательских заданий; - развитии индивидуальных возможностей студентов. Интегрирование систем символьной математики с системами администрирования и контроля может обеспечить все потребности современного учебного процесса.

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования.[6] Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Список использованных источников

1. Грузина, Э. Э. Компьютерные науки : учебное пособие / Э. Э. Грузина, М. Р. Корчуганова ; Кемеровский государственный университет. – Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2009. – Ч. I. – 130 с. : табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232495 (дата обращения: 02.11.2021). – ISBN 978-5-8353-0934-4. – Текст : электронный.

2. Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / В. М. Зюзьков ; Томский Государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск : Эль Контент, 2015. – 236 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=480935 (дата обращения: 02. 11.2021). – ISBN 978-5-4332-0197-2. – Текст : электронный.

3. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.