Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем

Доклад: «Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем».

Наряду с аналитическим и графическим методами широкое применение находит численный метод решения уравнений, неравенств и их систем. В последнее время интерес к этому методу возрос в связи с прогрессом в области вычислительной техники. Рекомендуется с использованием современных вычислительных средств решать численным методом уравнения, неравенства и их системы.

В самом общем виде сущность численного метода состоит в следующем: пусть каким-либо путем определены границы корня данного уравнения, произведя серию последовательных вычислений, мы сужаем границы корня так, что он может быть представлен с любой степенью точности. Рекомендуется с учащимися рассмотреть способ проб.

Способ проб основан на следующем утверждении: если функция у = F(х) непрерывная на отрезке [а, в] и F(а) 0(или F(а) 0, F(в) х₁ такая, что F(х₁) = 0 (рис. 1).

Пусть имеем уравнение F(х) = 0, далее известно, что F(а) 0 и функция у = F(х) на отрезке [а,в] непрерывная, тогда согласно вышеуказанному утверждению данное уравнение имеет корень х₁ , заключенный между а и в. Чтобы уточнить значение корня, рекомендуется брать последовательно а₁, а₂, … , а_п , удовлетворяющие условиям а 1 2 3 п-1 п

F ( а _п-1) п) 0.

Тогда получим а _п-1 п (рис. 1). Величина разности а _п-1 – а _п характеризует точность, с которой найден корень х ₁.Обычно полагают х ₁ ≈а , или х ₁ ≈а _п-1 , или х ₁ ≈( а _п-1 + а _п )/ 2.

Приближаться к корню рекомендуется не только слева, но и справа. В этом случае берем последовательно числа в , в, …, удовлетворяющие условиям а в _пп-1 2 1 ,

F ( в _п-1) 0, F ( в_п)

Тогда имеем в_п 1п-1 .

Пример 1. Вычислить способом проб корни уравнения х² – √х – 1 = 0 с точностью до 0,001.

Рекомендации к решению. Вначале найдем интервалы, в которых содержатся корни данного уравнения. Построив графики функций у = √х и у = х² - 1, убеждаемся, что данное уравнение имеет один корень, лежащей на отрезке [1,4; 1,7].

Далее выполним вычисления, результаты которых приводятся в следующей таблице:

Ответ: х ₁ ≈ 1,400.

Если требуется способом проб решить неравенство F ( х) 0, то вначале рекомендуется этим способом вычислить все действительные корни уравнения F ( х) = 0. Пусть х ₁ 2 п, тогда определим знак функции у = F ( х) в интервалах ( -∞ ,х ₁), ( х ₁,х ₂), …, ( х _п,∞) . для этого достаточно определить знак функции в любой точке интервала, только в силу непрерывности функция будет иметь этот знак во всем интервале. Те интервалы, в которых знак функции совпадает со знаком данного неравенства, будут его решениями.

Пример 2. решить способом проб неравенство х² – √х – 1 0. Границы интервалов, являющихся решением неравенства, вычислить с точностью до 0,001.

Рекомендации к решению. Соответствующее данному неравенству уравнение решено выше. Это уравнение имеет единственный корень х ₁ ≈1,490.Таким образом, имеем два интервала (0,х ₁) и (х ₁,∞ ). Интервал ( -∞ ,0) исключаем из рассмотрения, так как он не входит в область определения данного неравенства. Определим знаки функции у = х² – √х – 1 в интервалах ( 0 ,х ₁) и ( х _1, ∞). В интервале ( 0 ,х ₁) эта функция отрицательна, так как у(1) = -1 1, ∞) эта функция положительная, так как у(4)=13 0. Знак этой функции совпадает со знаком данного неравенства во втором интервале.

Ответ: х ₁ 1 ≈ 1,490.

Способ проб рекомендуется использовать также при решении систем уравнений. Пусть имеем систему F₁ (х;у) = 0, F₂(х,у) = 0. Определим прямоугольник, в котором содержится решение этой системы. Пусть а ≤х F₁ (х;у) = 0, F₂(х,у) = 0 ≤ в, с ≤ у₁ ≤d и функции F₁ (х;у) = 0, F₂(х,у) = 0 в этом прямоугольнике непрерывные. Для определенности положим, что под графиком уравнения F₂(х,у) = 0в этом прямоугольнике F₂(х,у) = 0, тогда в точках выше данного графика F₂(х,у) 0. Чтобы уточнить решение системы А(х₁,у₁) рекомендуется выбрать последовательно точки А₁,А₂, …, А_п-1 , А_п такие, что их абсциссы удовлетворяют условие а 1 2п-1п1 (А_п-1 )1 (А_п-1 )0 . Тогда получим а_п-1п. Если точность, с которой найдено решение, нас удовлетворяет, то можно положить х_1≈ а_п-1, или х_1≈ а_п, или х_1≈ (а_п-1+а_п)/2. далее определяем у₁ из какого-либо данного уравнения.

Заметим , что приближаться к точке А рекомендуется по любой из четырех данных дуг.

Системы, содержащие три и более уравнений, рекомендуется преобразовывать к системе с двумя уравнениями, а затем решать вышеизложенным способом. Очевидно, что такой способ проб применим для решения систем неравенств с двумя неизвестными, в этом случае способ проб дает возможность с какой угодно степенью точности указать границы областей, удовлетворяющих данной системе неравенств.

В заключении заметим, что способ проб рекомендуется сочетать с графическим методом. Графическим методом можно найти решения уравнения ( неравенства, системы) с небольшой точностью, способ проб дает возможность уточнить эти решения с какой угодно степенью точности.

Литература.

1. Я.И. Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики», 2002.

2. А.М. Колдашев «Графический и численный методы решения уравнений, неравенств и их систем», 1989.