kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем

Нажмите, чтобы узнать подробности

~~Наряду с аналитическим и графическим методами широкое применение находит численный метод решения уравнений, неравенств и их систем. В последнее время интерес к этому методу возрос в связи с прогрессом в области вычислительной техники. Рекомендуется с использованием современных вычислительных средств решать численным методом уравнения, неравенства и их системы.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем »

Доклад: «Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем».


Наряду с аналитическим и графическим методами широкое применение находит численный метод решения уравнений, неравенств и их систем. В последнее время интерес к этому методу возрос в связи с прогрессом в области вычислительной техники. Рекомендуется с использованием современных вычислительных средств решать численным методом уравнения, неравенства и их системы.

В самом общем виде сущность численного метода состоит в следующем: пусть каким-либо путем определены границы корня данного уравнения, произведя серию последовательных вычислений, мы сужаем границы корня так, что он может быть представлен с любой степенью точности. Рекомендуется с учащимися рассмотреть способ проб.

Способ проб основан на следующем утверждении: если функция у = F(х) непрерывная на отрезке [а, в] и F(а) 0(или F(а) 0, F(в) х1 такая, что F(х1) = 0 (рис. 1).


Пусть имеем уравнение F(х) = 0, далее известно, что F(а) 0 и функция у = F(х) на отрезке [а,в] непрерывная, тогда согласно вышеуказанному утверждению данное уравнение имеет корень х1 , заключенный между а и в. Чтобы уточнить значение корня, рекомендуется брать последовательно а1, а2, … , ап , удовлетворяющие условиям а 1 2 3 п-1 п

F ( а п-1) п) 0.

Тогда получим а п-1 п (рис. 1). Величина разности а п-1 – а п характеризует точность, с которой найден корень х 1.Обычно полагают х 1 ≈а , или х 1 ≈а п-1 , или х 1 ≈( а п-1 + а п )/ 2.

Приближаться к корню рекомендуется не только слева, но и справа. В этом случае берем последовательно числа в , в, …, удовлетворяющие условиям а в пп-1 2 1 ,

F ( в п-1) 0, F ( вп)

Тогда имеем вп 1п-1 .


Пример 1. Вычислить способом проб корни уравнения х² – √х – 1 = 0 с точностью до 0,001.






Рекомендации к решению. Вначале найдем интервалы, в которых содержатся корни данного уравнения. Построив графики функций у = √х и у = х² - 1, убеждаемся, что данное уравнение имеет один корень, лежащей на отрезке [1,4; 1,7].



Далее выполним вычисления, результаты которых приводятся в следующей таблице:

х

х² – √х – 1

В = 1,700

+0,586

В 1= 1,600

+0,295

В2=1,500

+0,025

В3=1,495

+0,011

В4=1,491

+0,002

В5 =1,490

- 0,001

Ответ: х 1 ≈ 1,400.

Если требуется способом проб решить неравенство F ( х) 0, то вначале рекомендуется этим способом вычислить все действительные корни уравнения F ( х) = 0. Пусть х 1 2 п, тогда определим знак функции у = F ( х) в интервалах ( -∞ ,х 1), ( х 1 2), …, ( х п,∞) . для этого достаточно определить знак функции в любой точке интервала, только в силу непрерывности функция будет иметь этот знак во всем интервале. Те интервалы, в которых знак функции совпадает со знаком данного неравенства, будут его решениями.

Пример 2. решить способом проб неравенство х² – √х – 1 0. Границы интервалов, являющихся решением неравенства, вычислить с точностью до 0,001.

Рекомендации к решению. Соответствующее данному неравенству уравнение решено выше. Это уравнение имеет единственный корень х 1 ≈1,490.Таким образом, имеем два интервала (0,х 1) и (х 1,∞ ). Интервал ( -∞ ,0) исключаем из рассмотрения, так как он не входит в область определения данного неравенства. Определим знаки функции у = х² – √х – 1 в интервалах ( 0 ,х 1) и ( х 1, ). В интервале ( 0 ,х 1) эта функция отрицательна, так как у(1) = -1 1, ) эта функция положительная, так как у(4)=13 0. Знак этой функции совпадает со знаком данного неравенства во втором интервале.

Ответ: х 1 1 ≈ 1,490.






Способ проб рекомендуется использовать также при решении систем уравнений. Пусть имеем систему F1 (х;у) = 0, F2(х,у) = 0. Определим прямоугольник, в котором содержится решение этой системы. Пусть а ≤х F1 (х;у) = 0, F2(х,у) = 0 ≤ в, с ≤ у1 ≤d и функции F1 (х;у) = 0, F2(х,у) = 0 в этом прямоугольнике непрерывные. Для определенности положим, что под графиком уравнения F2(х,у) = 0в этом прямоугольнике F2(х,у) = 0, тогда в точках выше данного графика F2(х,у) 0. Чтобы уточнить решение системы А(х11) рекомендуется выбрать последовательно точки А12, …, Ап-1 , Ап такие, что их абсциссы удовлетворяют условие а 1 2п-1п1 (Ап-1 )1 (Ап-1 )0 . Тогда получим ап-1п. Если точность, с которой найдено решение, нас удовлетворяет, то можно положить х1≈ ап-1, или х1≈ ап, или х1≈п-1п)/2. далее определяем у1 из какого-либо данного уравнения.

Заметим , что приближаться к точке А рекомендуется по любой из четырех данных дуг.

Системы, содержащие три и более уравнений, рекомендуется преобразовывать к системе с двумя уравнениями, а затем решать вышеизложенным способом. Очевидно, что такой способ проб применим для решения систем неравенств с двумя неизвестными, в этом случае способ проб дает возможность с какой угодно степенью точности указать границы областей, удовлетворяющих данной системе неравенств.

В заключении заметим, что способ проб рекомендуется сочетать с графическим методом. Графическим методом можно найти решения уравнения ( неравенства, системы) с небольшой точностью, способ проб дает возможность уточнить эти решения с какой угодно степенью точности.
































Литература.


  1. Я.И. Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики», 2002.

  2. А.М. Колдашев «Графический и численный методы решения уравнений, неравенств и их систем», 1989.
















































Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: Прочее.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Численный метод решения уравнений, неравенств и их систем

Автор: Коновалова Инзиля Фаатовна

Дата: 15.11.2014

Номер свидетельства: 130896

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства