?осымша аргумент енгізу ар?ылы шы?арылатын тригонометриялы? те?деулерді шешуді? ?зіндік ?діс-т?сілдері бар.
Кез келген тригонометриялы? те?деу ?р т?рлі т?рлендірулер жолымен бір немесе бірнеше ?арапайым те?деулерге келтіріледі.
Жо?арыда айтыл?ан тригонометриялы? те?деу т?рлеріні? ішіндегі біртекті тригонометриялы? те?деулерді шешу жолдарына то?талайы?.
Біртекті тригонометриялы? те?деулерді? ??рылымы бас?а кез келген біртекті те?деулерді? ??рылымы сия?ты болады.
Т?ріндегі те?деулерді пен -ке ?атысты біртекті те?деулер деп атайды. М?нда?ы -берілген на?ты сандар ж?не ?рбір ?осыл?ышта?ы пен -ті? д?режелеріні? ?осындысы -ге те?. Б?л те?деуді, бол?ан жа?дайда болатынын ескере отырып, -ке б?лу ар?ылы те?деуіне келтіреміз. Ал бол?ан жа?дайда те?деуді -ке б?лу керек. [1]
Біртекті тригонометриялы? те?деулерді шешу барысында келесі жа?дайлар есте болу керек:
Босм?шені негізгі тригонометриялы? тепе-те?діктеді? к?мегімен синус пен косинусты? квадраттарына келтіруге болады.
Екі аргументті синус пен косинус екінші д?режелі бірм?шелер болып табылады. Екі арументті синусты синус пен косинусты? к?бейтіндісіне келтіреміз, ал екі аргументті косинусты синус пен косинусты? квадраттарыны? айырымына келтіреміз.
;
[2]
Біртектес тригонометриялы? те?деулерді шешуге мысалдар ?арастырайы?.
Те?деуді шеші?із:
Б?л бірінші д?режелі біртекті тригонометриялы? те?деуге берілген ?арапайым мысал: ?рбір бірм?шені? д?режесі бірге те?, босм?шесі нольге те?. М?нда?ы деп алып те?деуді? екі жа?ын да сosx-ке б?леміз:
Екінші те?деу - бірінші д?режелі біртекті тригонометриялы? те?деу. Шешу ?шін те?деуді? екі жа?ын да -ке б?леміз. Б?дан алатынымыз:
Жауабы: ;
те?деуін шешейік.
те?бе-те?дігін ?олданамыз. Сонда берілген те?деуіміз немесе
т?ріне келеді. деп алып те?деуді? екі жа?ын -ке б?леміз. Б?дан те?деуін аламыз. М?нда?ы деп алса?, онда квадрат те?деуі шы?ады. Оны? т?бірлері бол?анды?тан, ж?не ?арапайым тригонометриялы? те?деулерін шешу керек:
те?деуін шешейік.
Те?деуден - ті жа?шаны? сыртына шы?ара алатынымыз к?рініп т?р. Сонда:
К?бейткіштерін жеке-жеке нольге те?естіреміз:
Бірінші те?деуді шешеміз:
Екінші те?деу екінші д?режелі біртекті те?деу болып келеді. М?нда?ы
деп алып те?деуді? екі жа?ын да -ке б?леміз:
М?нда?ы деп алса?, онда квадрат те?деуі шы?ады. Оны? т?бірлері ж?не.
Бірінші те?деуді шешеміз:
;
.
Екінші те?деуді шешеміз:
;
.
Жауабы:
Тригонометриялы? те?деулерді шешу ?шін тригонометриялы? те?бе-те?діктерді т?рлендіре білу ж?не оларды? шешімдерін жаза білу керек. Б?л ма?алада жалпы біртекті тригонометриялы? те?деулер жайлы айтып ж?не оны шешуді? м?мкін ?діс-т?сілдері ?арастырылды.
Пайдаланыл?ан ?дебиеттер:
Шыныбеков ?.Н. «Алгебра ж?не анализ бастамалары» 10-сынып; Алматы «Атам?ра» 2014.
Шыныбеков ?.Н. «Алгебра» 9-сынып о?улы?ы; Алматы «Атам?ра» 2005.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Бұл мақалада біртекті тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері қарастырылады.
Аннотация
В данной статье рассматривается методы решения однородных тригонометрических уравнений.
Summary
In this article is considered methods for solving homogeneous trigonometric equations.
Тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін алгебра курсынан белгілі тригонометриялық тепе-теңдіктерді, формулаларды, тригонометриялық функциялардың қасиеттерін, алгебралық теңдеулерді, қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін білу қажет.
Бір тригонометриялық функциямен берілген алгебралық теңдеулерге келетін тригонометриялық теңдеулер;
Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер;
Функциялардың дәрежесін төмендету арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер;
Біртекті тригонометриялық теңдеулер;
Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулерді шешудің өзіндік әдіс-тәсілдері бар.
Кез келген тригонометриялық теңдеу әр түрлі түрлендірулер жолымен бір немесе бірнеше қарапайым теңдеулерге келтіріледі.
Жоғарыда айтылған тригонометриялық теңдеу түрлерінің ішіндегі біртекті тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдарына тоқталайық.
Біртекті тригонометриялық теңдеулердің құрылымы басқа кез келген біртекті теңдеулердің құрылымы сияқты болады.
Түріндегі теңдеулерді пен-ке қатысты біртекті теңдеулер деп атайды. Мұндағы -берілген нақты сандар және әрбір қосылғыштағы пен -тің дәрежелерінің қосындысы -ге тең. Бұл теңдеуді, болған жағдайда болатынын ескере отырып, -ке бөлу арқылы теңдеуіне келтіреміз. Ал болған жағдайда теңдеуді -ке бөлу керек. [1]
Біртекті тригонометриялық теңдеулерді шешу барысында келесі жағдайлар есте болу керек:
Босмүшені негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктедің көмегімен синус пен косинустың квадраттарына келтіруге болады.
Екі аргументті синус пен косинус екінші дәрежелі бірмүшелер болып табылады. Екі арументті синусты синус пен косинустың көбейтіндісіне келтіреміз, ал екі аргументті косинусты синус пен косинустың квадраттарының айырымына келтіреміз.
;
[2]
Біртектес тригонометриялық теңдеулерді шешуге мысалдар қарастырайық.
Теңдеуді шешіңіз:
Бұл бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеуге берілген қарапайым мысал: әрбір бірмүшенің дәрежесі бірге тең, босмүшесі нольге тең. Мұндағы деп алып теңдеудің екі жағын да сosx-ке бөлеміз:
Сонда:аламыз.
Бұдан
Жауабы:
Теңдеуді шешіңіз:
Бұл екінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу. Теңдеуден sinx-ті жақшаның сыртына шығара аламыз.
Әрбір көбейткішті нольге теңестіреміз
Бірінші теңдеудің шешімі:
Екінші теңдеу - бірінші дәрежелі біртекті тригонометриялық теңдеу. Шешу үшін теңдеудің екі жағын да -ке бөлеміз. Бұдан алатынымыз:
Жауабы: ;
теңдеуін шешейік.
теңбе-теңдігін қолданамыз. Сонда берілген теңдеуіміз немесе
түріне келеді. деп алып теңдеудің екі жағын -ке бөлеміз. Бұдан теңдеуін аламыз. Мұндағы деп алсақ, онда квадрат теңдеуі шығады. Оның түбірлері болғандықтан, және қарапайым тригонометриялық теңдеулерін шешу керек:
теңдеуін шешейік.
Теңдеуден - ті жақшаның сыртына шығара алатынымыз көрініп тұр. Сонда:
Көбейткіштерін жеке-жеке нольге теңестіреміз:
Бірінші теңдеуді шешеміз:
Екінші теңдеу екінші дәрежелі біртекті теңдеу болып келеді. Мұндағы
деп алып теңдеудің екі жағын да -ке бөлеміз:
Мұндағы деп алсақ, онда квадрат теңдеуі шығады. Оның түбірлері және .
Бірінші теңдеуді шешеміз:
;
.
Екінші теңдеуді шешеміз:
;
.
Жауабы:
Тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін тригонометриялық теңбе-теңдіктерді түрлендіре білу және олардың шешімдерін жаза білу керек. Бұл мақалада жалпы біртекті тригонометриялық теңдеулер жайлы айтып және оны шешудің мүмкін әдіс-тәсілдері қарастырылды.
Пайдаланылған әдебиеттер:
Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра және анализ бастамалары» 10-сынып; Алматы «Атамұра» 2014.
Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра» 9-сынып оқулығы; Алматы «Атамұра» 2005.
