Задача Леонардо Пизанского о кроликах

Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах. Числа Фибоначчи.

Презентацию подготовила учитель математики

МОУ ООШ с. Акатная Маза

Хвалынского района Саратовской области

Славкина С.А.

Использование исторического материала на уроках и во внеурочной деятельности.

• Данный материал может быть использован на уроке (слайды 3-6)

и на внеклассном мероприятии (слайды 7 – 12)

•     В начале XIII века в городе Пизе (Италия) жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Леонардо (с добавлением к его имени Пизанский). Его звали еще Фибоначчи, что значит сын Боначчи. В 1202 году он издал книгу на латинском языке под названием «Книга об абаке», которая содержала в себе всю совокупность знаний того времени по арифметике и алгебре. Это была одна из первых книг в Европе, учившая употреблять десятичную систему счисления.

Трактат о кроликах, рождающих открытия

• Головоломка, взятая из « Книги абака », привлекает математиков до сих пор. Конечно их очаровывает не ответ сам по себе, а последовательность чисел, которая возникает, когда пытаешься его найти. Ещё более замечательно то, что эта последовательность встречается в самых неожиданных ситуациях.
• Головоломка: В январе тебе подарили пару новорожденных кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Новая пара через 2 месяца после рождения рождает новую пару. Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре ?

Решение

• Январь | | - исходная пара
• Февраль | |
• Март | |---------| |
• Апрель | | | |------------| |
• Май | |----| | | |-------| | | |
• Июнь | |---| | | | | |--| | | | | |--| |

Получили ряд: 1;1;2;3;5;8

Каждое новое число последовательности является суммой двух предыдущих.

В декабре будет 144 кролика.

• Посмотрим на получившуюся последовательность чисел: 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 – члены этой последовательности с их таинственными свойствами известны сейчас, как числа Фибоначчи. Что же это за свойства? Одно из них можно определить прямо сейчас.
• Задание: С помощью калькулятора разделите каждое на предыдущее.

Ответ: 1: 1=1 ; 2: 1=2 ; 3:2= 1,5 ; 5:3=1,666 ; 8:5=1,6 ; 13:8=1,625 ; 21:13=1,615384

Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно очень близко подойти к Золотому сечению. Что это , спросите вы меня?

• Сегодня мы познакомимся с необычной пропорцией, называемой золотым сечением и даже “божественной пропорцией”.
• Вы узнаете какую роль играет эта пропорция в окружающем мире, как она связана с понятием гармонии и как и почему она используется в искусстве (живописи, архитектуре, фотографии…), дизайне.

История «Золотого сечения» Теория гармонии Древних

• В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении.
• В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания.
• В толковании древних греков понятие золотого сечения, и понятие гармонии идентичны.
• Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение , то есть, она связана с концепцией числа.
• Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения.
• С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи.

Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно приходили к ряду Фибоначчи как арифметическому выражению закона золотого деления.

Золотое сечение. История вопроса.

Под золотым сечением понимается такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором длина всего отрезка так относится к его большей части, как длина большей части относится к длине меньшей.

Это отношение равно иррациональному числу Ф=1.618033989..

Рассматривая закономерности, связанные с проявлением золотого сечения, обычно используют обратную величину числа Ф : 1 /1,618 = 0 , 618

a + b

b : a = (a+b) : b

a b

Золотое сечение в искусстве. Архитектура

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства : пирамиды Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур памятников, непревзойденная Джоконда Леонарда да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Пушкина … вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией основанной на золотом сечении.

На фотографии показаны здания, при делении основных масс конструкций которых использовалось золотое сечение.

Обычно считается, что такое членение используется в зданиях, построенных в классическом стиле. Однако, посмотрите на Смольный собор, построенный в стиле барокко, и вы без труда обнаружите золотое сечение.

Пропорции тела человека и золотое сечение

Существуют определенные правила, по которым изображают фигуру человека, основанные на понятии пропорциональности размеров различных частей тела.

Идеальным, совершенным считается тело, пропорции которого составляет золотое сечение. Основные пропорции были определены Леонардо да Винчи, и художники стали сознательно их использовать.

Основное деление человеческого тела – это деление точкой пупа. Отношение расстояния от пупа до ступни к расстоянию от пупа до макушки составляют золотое сечение.

Идеальной женской фигурой считается фигура Афродиты Милосской (см. рисунок).

Интересно, что статистически средние размеры тел различных людей также подчинены правилу золотого сечения (об этом свидетельствуют антропологические исследования Цейзинга (1855 г.), который провел измерения почти 2000 человек.

Из любопытства можно самим проверить насколько близко ваше тело к идеальному.

Зайдите в Интернет, наберите «идеальные пропорции человеческого тела», проведите измерения и сделайте выводы.

Пропорции золотого сечения в природе

Форма птичьих яиц описывается золотым сечением. Сегодня уже установлено, что при такой конфигурации прочностные характеристики оболочки оказываются наиболее высокими.

Совершенная форма тела стрекозы создана по законам золотого сечения : отношение длины хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Вывод

Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства золотого сечения. Это отношение обнаруживается во всех живых организмах, растениях на всех уровнях их развития. Универсальность его проявления в строении органов, систем, их функциональных параметрах позволяет предполагать, что оно играет роль кирпичика в фундаменте всего живого на Земле. Последние исследования в области астрономии, физики показывают, что это сечение имеет отношение ко всему Мирозданию.