Выпуклые четырехугольники.Специфика параллелограммов. Специфика трапеций.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций

Учитель математики

МБОУ СОШ №92 г. Кемерово

Денисова Татьяна Александровна

d 1

α

O

d 2

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

d 1

S 1

S 2

d 2

α

O

S 3

S 4

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны:

Обоснование: найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле

Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить ( свойство 2).

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

Специфика параллелограмма

B

C

s

s

s

o

s

D

A

• Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.

Специфика параллелограмма

a

B

C

d 1

b

b

o

d 2

D

A

a

• В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон:

d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 +b 2 )

Специфика параллелограмма

B

C

D

A

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны.

Специфика параллелограмма

B

C

D

A

• При проведении биссектрисы любого угла

параллелограмма получается равнобедренный

треугольник.

Специфика параллелограмма

B

C

D

A

• Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

• Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

Специфика параллелограмма

B

C

• Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

D

A

B

C

5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

D

A

B

C

6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

D

A

Специфика трапеций

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

• Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют

четыре треугольника, два из которых

равновелики, а два других – подобны с

коэффициентом подобия равным отношению

оснований трапеции.

 OAD ~  OCB (по двум равным углам),

S OAD : S OCB = k 2 , где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB .

11

Специфика трапеций

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

2. S BAD = S CAD, S ABC = S DBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты).

3. S OAB = S OCD (т.к. S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD ) .

4. S BAD : S DBC = AD : BC (S BAD = 0,5·AD·h, S DBC = 0,5·BC·h).

12

Специфика трапеций

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2 .

( S OAD = S 1 =0,5·OB·OC·sin α, S OCB = S 2 =0,5·OA·OD·sin α,

S OAB = S=0,5·OA·OB·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α,

S OCD = S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S 1 S 2 = S 2 ).

13

Специфика трапеций

C

B

6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны

(следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

A

D

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

C

B

o

A

D

Специфика трапеций

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию.

C

B

A

D

Построение 1

Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Специфика трапеций

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

C

B

A

D

E

Построение 2

Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE , параллельную диагонали BD , до пересечения с AD в точке E ; получится треугольник ACE , две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции

AE = AD + DE.

При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE : S ABCD = S ACE

Специфика трапеций

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

C

B

A

Построение 3

Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH 1 и CH 2 .

D

H 1

H 2

P

Построение 4

Достроить трапецию ABCD до треугольника APD , вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.

C

B

A

D

O

A

D

C

B

K

P

T

H

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.)

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

B

P

Решение .

• Точки K , Р , Т , Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD.

C

K

O

T

A

H

D

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм .

• По условию КТ = РН ; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит,

S ABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6.

Ответ: 6.

Задача №2. (ФИПИ 2014г.)

На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD .

K

B

C

P

D

A

K

B

C

Решение .

•  AВD =  CDB (по трём равным сторонам).

S AВD = S CDB = 0,5· S AВCD = =0,5·24=12; S КРB = S CDB – S PKCD = 12 – 10 = 2

P

D

A

2 .  APD ~  KPB (по двум равным углам); S AРD : S KPB = k 2 ; AP=k·PK, DP=k·PB

3.  AВP и  ВPK имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВP : S KPB = АP : PK = k (из п.2 )

4.  APD и  ABP имеют общую высоту из вершины A , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AP D : S AВP = DP : PB = k (из п.2 )

K

B

C

5. Из п.3 и п.1 S AВP = k·S KPB = 2k

P

6. Из п.4 и п.5

S APD = k·S ABP = k·2k = 2k 2

D

A

• S ABD = S AВP + S APD = 2k + 2k 2 .

Из п.1 следует 2k + 2k 2 = 12.

Корни уравнения k 2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2;

по смыслу задачи k = 2.

8. S APD = 2k 2 = 2·2 2 = 8.

Ответ: 8.

Задача №3. (МИОО 2013г.)

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2 . Найдите площадь трапеции.

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

23

Решение .

• По условию S OAD не равна S OCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD.

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

2.  OAD ~  OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

•  AВО и  СВО имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВО : S CВО = ОА : ОC = 4:3 (из п.2 ).

Следовательно,

S AВО =

24

C

B

s 1

s

s

o

s 2

A

D

4. S BAD = S CAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит,

S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD , т. е. S OCD = S OAB = 12.

5. S AВCD = S OAD + S OCB + S OCD + S OAB = 16 + 9 + 12 +12 = 49 cм 2 .

Ответ: 49 cм 2 .

25

Задача №4. (МИОО 2010г.)

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB , если

MP =40 см, NK =24 см.

K

N

B

A

o

M

P

26

K

Решение .

• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:
• Δ MOP~ Δ KON по двум углам:

а) ∠NOK=∠MOP как вертикальные

б) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

N

B

A

o

M

P

2. Δ AMO~ Δ NMK по двум углам:

а) ∠ М общий;

б) ∠ MAO = ∠ MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN .

27

K

N

B

A

o

M

P

3. Аналогично

4. AB = 30 см .

Ответ: 30 см.

28

Задача №5. (МИОО 2013г.)

В трапеции ABCD

на диагонали BD выбрана точка Е так, что

Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ.

C

B

E

A

D

F

29

C

B

E

A

D

F

Решение .

1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD . Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0,5· S ABCF

30

C

B

E

A

D

F

2. S DCB = S FCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит,

S DCB = S FCB = 0,5· S ABCF = 15.

3.  AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,

S АВЕ = 0,5· S ABCF = S DCB = 15.

Ответ: 15.

31

Задача № 6 (МИОО 2013г.)

В равнобедренной трапеции  ABCD  боковые стороны равны меньшему основанию  BC .

К диагоналям трапеции провели перпендикуляры  BH  и  CE . Найдите площадь четырёхугольника  BCEH , если площадь трапеции  ABCD  равна 36.

N

C

M

B

E

H

D

A

32

N

C

M

B

E

H

Решение .

По свойству равнобедренной трапеции    AC=BD , следовательно, треугольники  ABC и DCB  равны. Так как AB=BC=CD ,  треугольники    ABC и DCB  равнобедренные, следовательно,  BH  и  CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит,  AH=HC=BE=ED .

Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

D

A

33

N

C

M

B

E

H

D

A

Площадь трапеции  ABCD : 

Ответ: 9.

34

Задача № 7.

Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции.

K

C

B

A

D

L

M

F

Решение . 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL , CF параллельна BD .

2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC.

3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

K

C

B

A

D

L

M

F

Полупериметр треугольника ACF равен

По формуле Герона

• Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF .

Тогда

S ABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = S ACF =6.

Ответ: 6.

• Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру . Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка , соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD .

Ответ: 20.

Ответ: 1 метр.

Ответ: 25.

• Задачи для самостоятельного решения

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2 . Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC =24 см. 6. В трапеции ABCD ( AD параллельна BC, AD BC ) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD . Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC .

Ответ: 81 см 2 .

Ответ: 16 см.

Ответ: 10.

• Использованные источники

 А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008.  И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.  Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ  http://pedsovet.su/load/321  http://www.mathvaz.ru/  http://alexlarin.net/