Урок геометрии в 9 классе "Подобие правильных выпуклых многоугольников"

ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

9 КЛАСС

Учитель математики

МКОУ ООШ №6

Съедина Н.С.

Цели:

• доказать теорему о подобии правильных выпуклых n-угольников, свойство о том, что отношение периметров правильных n-угольников равно отношению радиусов вписанных (описанных) окружностей, научить применять их при решении задач.

Актуализация опорных знаний

· Какое преобразование фигуры называется движением?

· Какими свойствами обладает движение?

· Что такое преобразования подобия?

· Что такое гомотетия?

· Какие фигуры называются равными?

· Какие фигуры называются подобными?

Изучение нового материала

ТЕОРЕМА. Правильные выпуклые n-угольники подобны (I ч). В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны (II ч).

Дано:

Р 1 : А 1 А 2 А 3 … А n

Р 2 : В 1 В 2 В 3 … В n – правильные n-угольники.

А 1 А 2 = В 1 В 2 = …

Доказать:

(I ч) что Р 1 Р 2

(II ч) Р 1 = Р 2

Доказательство:

Докажем второе утверждение.

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Следовательно, нужно доказать, что эти многоугольники совмещаются движением.

∆ А 1 А 2 А 3 = ∆В 1 В 2 В 3 по первому признаку (А 1 А 2 = В 1 В 2 , А 2 А 3 = В 2 В 3 ,

1 А 2 А 3 = 1 В 2 В 3 ). Значит, существует движение, при котором А 1 → В 1 , А 2 → В 2 , А 3 → В 3 .

Подвергнем Р 1 движению: А 1 → В 1 , А 2 → В 2 , А 3 → В 3 , А 4 → С.

Точки С и В 4 лежат по одну сторону от прямой В 2 В 3 .

Движение сохраняет углы и расстояние: 2 В 3 С = 2 В 3 В 4 и В 3 С = В 3 В 4 .

А значит, точка С совпадает с В 4 и т. д. А 4 → В 4 , А 5 → В 5 … А n → В n .

То есть Р 1 → Р 2 при движении, следовательно, Р 1 = Р 2 .

I . Докажем, что Р 1 → Р 2 .

Подвергнем Р 1 преобразованию подобия: гомотетии с коэффициентом k =

Р 1 → Р´ (стороны Р´ равны сторонам Р 2 ).

Значит, Р´ → Р 2 ( в результате движения).

Р 1 → Р´, Р´ → Р 2 . Следовательно, Р 1 → Р 2 и т. д.

У подобных фигур

где P 1 , P 2 – периметры, R 1 , R 2 , r 1 , r 2 – радиусы.

Решение задач

• Выполнить № 32 стр.181.

• Задача 1. Сторона одного квадрата в 3 раза больше стороны другого квадрата. Как относятся радиусы окружностей, описанных около них и вписанных в них? Ответ объясните.

3) Задача 2. Дан равносторонний треугольник. Как относятся радиусы окружностей, вписанных в данный треугольник, и треугольник, вершинами которого является середина сторон данного равностороннего треугольника?

Домашнее задание:

п. 118. Вопрос 13, выполнить

1) № 33,

2) Задача. Найдите радиусы окружностей, вписанной в квадрат и описанной около него, если их произведение равно 4 2 см 2 .