Учебно-исследовательский проект "Равносоставленные и равновеликие фигуры"

МБОУ «Карповская основная школа» Ершичского района Смоленской области

Учебно-исследовательский проект

«Равносоставленные и равновеликие фигуры»

Методический паспорт учебно-исследовательского проекта «Равносоставленные и равновеликие фигуры»

• Паспорт проекта
• Класс 8-9
• Предмет «Геометрия»; раздел «Площадь»; тема «Решение задач»
• Цель проекта : построить и реализовать индивидуальный маршрут восполнения проблемных зон в изученной теме «Площади геометрических фигур"
• Задачи проекта :

• Формировать самодиагностирование и взаимоконтроль, дятельностные способности к структуированию и систематизации, к рефлексии.
• Собрать информацию о геометрической фигуре «Греческий крест» и демонстрации на решении задач. Исследовать метод решения для равновеликих и равносооставленных фигур. Доказательство теорем методом разрезания на части многоугольника и составления из них равновеликого. Узнать теормеу Бойяи-Гервина.
• Изучить различные методы решения задач , используя теоремы и формулы площадей фигур.
• Предложить решение задач с иллюстрациями и готовыми чертежами.
• Создать конечный продукт – презентацию PowerPoint

• Время работы над проектом 7 календарных дней
• Режим работы урочное-внеурочное

Методический паспорт учебно-исследовательского проекта «Равносоставленные и равновеликие фигуры»

• Предметные: Решение задач на вычисление и сравнение площадей фигур. Проектирование маршрутов восполнения проблемных зон в изученной теме при помощи средств самодиагностики.
• Коммуникативные: С достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
• Регулятивные: Проектировать маршрут преодоления затруднений в обучении через включение в новые виды деятельности и формы сотрудничества.
• Познавательные: Восстанавливать предметную ситуацию, описанную в задаче, путём переформулирования, упрощённого текста, создания чертежа, с выделением только существенной для решения задачи информации

Методический паспорт учебно-исследовательского проекта «Равносоставленные и равновеликие фигуры»

• Материально-техническое и учебно-методическое оснащение чертежные инструменты, цветная бумага, картон, компьютер, ПО Microsoft Office PowerPoint, библиотеки кабинета математики и школьная , информационные средства сети Интернет
• УУД :
• Со словесной основой: владение устной речью, умение работать с информационным текстом, дополнительной литературой, выделять главную мысль, вести поиск нужной информации; анализ выступлений одноклассников; подготовка и представление публичного выступления в виде презентации; самостоятельная работа с учебником, поиск информации в справочных изданиях, словарях, сети Интернет; отбор и сравнение материала из нескольких источников ; составление с помощью различных компьютерных средств обучения плана, тезисов, резюме, аннотации, обзора литературы; подготовка выступлений и докладов с использованием разнообразных источников информации; решение задач.
• На основе восприятия образа: просмотр, наблюдение и обсуждение, объяснение и интерпретация наблюдаемых явлений, схем, рисунков; анализ проблемных учебных ситуаций.

Методический паспорт учебно-исследовательского проекта «Равносоставленные и равновеликие фигуры»

С практической основой: использование теорем, формул; выполнение работ практикума;

разработка вариантов решения; построение гипотезы на основе анализа

имеющихся данных; проведение исследовательского эксперимента; моделирование и

конструирование; решение задач; подготовка и оформление результатов самостоятельной

работы в ходе учебной и научно-познавательной деятельности.

• Мотивация к познанию, работе : самомотивация от удовлетворения собственным трудом, личный интерес учащихся, самореализация.
• Предполагаемые «приращения» : новое содержание и новый взгляд на тему, изучение геометрии в тандеме с алгеброй.
• Новые методические (практические) приемы : работа с историческими источниками
• Знания, на получение которых нацелен результат проекта : знание зависимости между сторонами прямоугольного треугольника; знание теорем и формул площадей геометрических фигур и применение их для решения задач. Создание положительного эмоционального фона; воспитание толерантности и культуры общения; расширение кругозора и познавательного интереса к геометрии.
• Статус учебного проекта.

Автор-разработчик учитель математики Яковлева В. Н.

Опыт использования обучающиеся 7-9 классов

Степень распространения: МБОУ «Карповская основная школа»,Ершичского района. Смоленской области

Равносоставленные и равновеликие многоугольники

• Если некоторый многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие многоугольники называют равносоставленными.
• Многоугольники, площади которых равны, называют равновеликими.

Разрезание треугольника вдоль средней линии и составление параллелограмма приводит к доказательству теоремы о площади треугольника.

Евклид формулирует теорему Пифагора следующим образом:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Если показать, что квадраты, построенные на катетах, разрезаются на части, из которых можно составить квадрат со стороной, равной гипотенузе, то этим будет доказана теорема Пифагора.

Являются ли равносоставленные многоугольники равновеликими ?

Являются ли равновеликие многоугольники равносоставленными ?

Задача 1. Начертить параллелограмм. Покажите на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник.

Задача 2. Нарисуйте трапецию. Покажите:

• а) на какие две части нужно разрезать, чтобы затем сложить из них треугольник;

• б) на какие три части нужно её разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольник.

Задача 3. Разрежьте равнобедренный треугольник на такие две части, чтобы из них можно было сложить: а) прямоугольник;б) параллелограмм .

а) б) в)

Задача 4. Нарисуйте прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой. Покажите:

• а) на какие две части нужно его разрезать, чтобы затем сложить из них прямоугольный треугольник;

• б) на какие три части нужно его разрезать, чтобы затем из них сложить квадрат.

Задача 5. Разрежьте прямоугольник на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

o

• b

x

x= √ab

a

a

b

x

x ²=ab

x

x

Задача 6 . Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

• Греческий крест – это многоугольник, составленный из пяти равных квадратов.

Задача 7. Разрежьте квадрат на такие части, чтобы из них можно было сложить равновеликий ему греческий крест.

• Квадрат и греческий крест

Задача 8 . Из греческого креста вырезан квадрат, равный одному из квадратов, из которого сложен крест. Разрежьте оставшуюся часть креста на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ей квадрат.

• ( Продолжение каждой стороны вырезанного квадрата проходит через соответствующую вершину)

A

C

B

C

B

A

D

D

Задача 9. Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы одна из частей была греческим крестом меньшего размера, а из остальных можно было бы сложить квадрат.

• I часть решения: раскроим центральный квадрат греческого креста на такие части, чтобы можно было сложить из них греческий крест.

• II часть решения: от квадратов 1-4 отрежем необходимые для нового греческого креста части. В результате получим решение:

1

2

1

4

2

4

3

3

3333

Задача 10. Даны два равных равнобедренных треугольника. Разрежьте эти фигуры на такие части, чтобы можно было составить равновеликий им квадрат.

• I этап: перекраивание двух равных равнобедренных треугольников в равновеликий им прямоугольник;

• II этап: перекраивание прямоугольника в равновеликий ему квадрат (задача № 5).

б)

а)

Задача 11. Даны два квадрата, один со стороной а, другой со стороной b. Разрежьте эти квадраты на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

• Площадь нового квадрата а ²+b². Сторона √a²+b² - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами

а и b.

• Площадь: a ²+b²

b

а

b

a

b

aa

a

b

b

a

a

a

а

Задача 12. Даны квадрат со стороной а и равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом b. Разрежьте эти фигуры на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

• S=a ²+b²/2

• Площадь нового квадрата а ²+b²/2, значит, сторона нового квадрата √а²+b²/2, т.е. она является гипотенузой треугольника с катетами
• a и b/ √2.

а

b

b

b

b/√2

a

a

Задача 13. Как шестью греческими крестами оклеить поверхность куба, каждая грань которого равновелика кресту?

• Крест надо накладывать на грань точно таким же образом, как было показано в задаче № 6, однако, обрезать и перекладывать «торчащие ушки» не надо – они, загибаясь, переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах.

B '

C '

D '

A '

A '

D '

C

D

A

D

A

Задача 14. Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5. Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата – 64. Где ошибка?

• S=65

• S=64

5

8

5

3

3

3

5

5

5

3

3

5

8

5

3

8

Задача14. Решение.

• Рассмотрим сначала большой прямоугольный треугольник и найдём значение тангенса угла CAD: tg(CAD)=5/13=0.385. Теперь рассмотрим маленький прямоугольный треугольник и найдём значение тангенса этого же угла: 3/8=0.375. Значения тангенсов не совпадают. Это означает, что гипотенуза маленького прямоугольного треугольника и боковая сторона трапеции не лежат на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что гипотенуза другого маленького прямоугольного треугольника и боковая сторона другой трапеции не лежат на одной прямой. Следовательно, площадь прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата и чёрной щели.

5

8

C

B

3

5

5

3

D

5

A

A

A

8

5

5

Используемая литература и интернет-ресурсы

• 1. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Геометрия, 8 «Когда сделаны уроки» - издательство «Вентана-Граф», 2013.
• 2. Прасолов В.В . Задачи по планиметрии. – М.:МЦНМО, 2006
• 3. http :// www.kvant.info / Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант»