Теорема Чевы и ее применение для решения задач (подготовка к ЕГЭ)
Теорема Чевы и ее применение для решения задач (подготовка к ЕГЭ)
Данная методическая разработка представлена в виде презентации и рекомендуется при подготовке к решению геометрических задач ГИА и ЕГЭ.
Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы.
Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, которые требуют дополнительных действий. Знание этих теорем и их умелое использование способствует более успешной подготовке к сдаче ГИА и ЕГЭ.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Теорема Чевы и ее применение для решения задач (подготовка к ЕГЭ) »
Теорема Чевы и ее применение для решения задач (подготовка к ЕГЭ)
Методическая разработка
Рудаковой Татьяны Викторовны
Учителя математики МБОУ «Гимназия № 2»
г. Курчатова Курской области
Содержание
Теоретические факты:
а) отношение площадей треугольников.
б) теорема Менелая
2. Теорема Чевы.
3. Применение теоремы для решения задач.
4. Применение теорем Чевы и Менелая при подготовке
к ЕГЭ
Теоремы об отношении площадей треугольников
3.Отношение площадей треугольников,
2. Пусть ∆АВС и ∆АВD имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот, проведенных из вершин С и D.
имеющих равные высоты равно
отношению оснований:
S(∆АВС) : S(АВD) = СР:DQ.
S(∆АВС) : S(АВD) =AC:АD.
В
С
D
D
С
P
А
Q
А
В
P
Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то
В
С´
А´
В´
С
А
Задача.(Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О. а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´=1:2.
Докажем, что ВК=КС.
Используем теорему Чевы.
В
К
С´
О
С
А
В´
Джованни Чева (Ceva Giovani, 1648-1734) – итальянский инженер и математик. Окончил университет в Пизе. Основные его труды – работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы , была доказана им в 1678 году.
Теорема Чевы: Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 (рис.1), то отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда , когда выполнено равенство
Теорема Чевы
На сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС или на их продолжениях отмечены соответственно точки А´, В´, С´. Тогда если прямые АА´, ВВ´, СС´ пересекаются в одной точке, то
В
С´
А´
А
В´
С
Лемма
Если в ∆АВС некоторая прямая ВО
пересекает АС в точке В´, то
S(АВО) : S(ВОС) =АВ´: В´С.
Доказательство:
Пусть АТ –высота ∆АВО, СН – высота ∆ВСО, тогда
S(АВО) : S(ВСО) = АТ: СН.
2. АТ и СН –высоты ∆АВВ´ и ∆ВСВ´.
S(∆АВВ´): S(∆ВСВ´) = АТ: СН
3. Но у ∆АВВ´ и ∆ВСВ´- общая высота из вершины В, тогда
S(∆АВВ´): S(∆ВСВ´) = АВ´:СВ´.
4. В итоге
S(АВО) : S(ВСО) = АВ´:СВ´.
В
Т
О
С
А
В´
Н
Доказательство теоремы
Рассмотрим разбиение ∆АВС на треугольники АОВ, АОС, ВОС.
1. Пусть S(АОВ) = , S(АОС) =
S(ВОС) = , тогда
2. Перемножим почленно все равенства:
В
С´
А´
О
С
В´
А
ЗАДАЧА. В ∆АВС на сторонах АВ, ВС и АС расположены точки К, L и М соответственно, причем АК:КВ =1:2, ВL:LС =3:4 и прямые АL, ВМ и СК пересекаются в одной точке. В каком отношении точка М делит сторону АС?
Найти АМ:МС.
Решение
По теореме Чевы
Ответ:
В
3y
2х
L
К
4y
х
С
А
М
Задача.(Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) Точки В´ и С´ лежат на сторонах соответственно АС и АВ ∆АВС, причем АВ´:В´С=АС´:С´В. Прямые ВВ´ и СС´ пересекаются в точке О. а) Доказать, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В =1:2.
Докажем, что ВК=КС.
Используем теорему Чевы.
т.к.
то ВК=КС.
В
К
С´
О
С
В´
А
Задача.(Математика ЕГЭ-2014. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. Трениров.работа 10. С4) б) Найти отношение площади четырехугольника АВ´ОС´ к площади ∆АВС, если АВ´:В´С=АС´:С´В=1:2.
1. Т.к. АВ´:АС= 1:3, то
2. По теореме Менелая найдем
Для ∆АВВ´ и секущей СС´:
;
Значит =3.
Найдем
3. , значит
Ответ:
= =
В
3z
2у
К
С´
О
z
у
2х
А
С
х
В´
Задача. ( Математика. Подготовка к ЕГЭ. Тематические тесты: геометрия, текстовые задачи. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Вариант 15, №2) ∆АВС – прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса ВL и медиана СМ пересекаются в точке К. Найти отношение LК:ВК, если известно, что МК:СК=5:6.
Решение
Найти LК:ВК.
Для ∆АВL и секущей СМ
2. В ∆ВСМ ВК- биссектриса, значит
, тогда АВ = 10у
3. В ∆АВС ВL- биссектриса, значит
, тогда
4. , тогда
Ответ: 3:8.
В
5у
М
5х
5х
6у
5у
К
К
6х
А
С
3z
5z
L
Заключение
Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов, а лишь в 11 классе. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.
Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.
