Сынды? н?ктелер.Функцияны? экстремумдері

Өткен тақырыптарды қайталау

• 1. Туындының бірінші ережесі және формуласы

• 2. Туындының екінші ережесі және формуласы

• 4. Дәрежелік функция туындысының формуласы

• 3. Туындының үшінші ережесі және формуласы

• 5. Тригонометриялық функциялардың туындысы

(sinx) / =

(cosx) / =

(tgx) / =

(ctgx) / =

сosx

- sinx

• 1/cos 2 x

• -1/sin 2 x

Сындық нүктелер. Функцияның экстремумдері

Сабақтың мақсаты:

• Функцияның сындық нүктесіне анықтама беру.
• Туындыны қолданып ф ункцияның экстремум нүктелерін яғни максимум және минимум нүктелерін анықтауды үйрету.
• Функцияның сындық нүктесі жоқ болса және сындық нүктелер барлық уақытта экстремум нүктелері болмайтындығын түсіндіру.

• Анықтма: Функцияның туындысын нөлге теңейтін немесе туындысы болмайтын анықталу облысының ішкі нүктелері сындық нүктелер деп аталады.
• Мысал. 1) f(x) = x 2 + 6x – 1
• f / (x) = 2x + 6
• 2x + 6 = 0
• 2x = -6
• x= -3
• Сындық нүкте: -3

2) f(x) = 2x – 5

• f / (x) = 2

• Сындық нүктесі жоқ.

• Теорема: Егер f(x) функциясы x= x 0 нүктесінде үзіліссіз болып және (x 0 -a ; x 0 ) аралығында f(x) функцияның туындысы , ал (x 0 ; x 0 +a) аралығында болса, онда х 0 нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі болады.
• Теорема: Егер f(x) функциясы x= x 0 нүктесінде үзіліссіз болып және (x 0 -a ; x 0 ) аралығында f(x) функцияның туындысы , ал (x 0 ; x 0 +a) аралығында болса, онда х 0 нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі болады.

(x 0 - a ; x 0 )

(x 0 ; x 0 + a )

+

-

-

max

+ -

+

+

- +

+

x 0

-

x 0

min

+ +

-

x 0

жоқ

- -

x 0

жоқ

• Функцияның экстремум нүктелерін
• Функцияның экстремум нүктелерін

• табу алгоритмі
• 1. Функцияның туындысын табу керек.
• 2. Функцияның сындық нүктесін табу керек.
• 3. Сындық нүктелер аймағындағы функция туындысының таңбасын анықтау керек.
• 4. Теореманы (кестені) қолданып, максимум және минимум нүктелерін табу керек.

1-мысал.

f(x) = x 2 - 4x +5

f / (x) = 2x – 4

2x – 4 = 0

2x = 4

x = 2

Сындық нүкте. 2

- +

2

X min = 2

2-мысал. f(x) = x 3 + 6x 2 - 1

f / (x) = 3x 2 – 12x

3x 2 – 12x = 0

x(3x - 12) = 0

x=0 , 3x – 12 = 0

3x = 12 , x = 4

Сындық нүкте: ( 0 ; 4)

+ - +

0 4

x max = 0 , x min = 4

3-мысал. f(x) = 4x - 3

f / (x) = 4

• Сындық нүктесі жоқ:
• Экстремум нүктесі жоқ.

4-мысал.

• f(x)= x 3 +3
• f / (x)= 3x 2
• 3x 2 = 0
• x=0
• Сындық нүктесі. 0

+ +

• 0
• Экстремум нүктесі жоқ .

• Қорытындылау

• 1. Сындық нүктелер дегеніміз не ?
• 2. Функцияның сындық нүктесі жоқ болса,онда экстремум нүктелері болама?
• 3. Максимум нүкте болу үшін сындық нүктенің аймағындағы таңбалар қандай болуы керек?
• 4. Минимум нүкте болу үшін сындық нүктенің аймағындағы таңбалар қандай болуы керек?