kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Нажмите, чтобы узнать подробности

Во многих случаях координатно-векторный метод позволяет решать задачи C2 даже тем учащимся, которые не умеют строить сечения геометрических тел. В презентации мною рассматриваются примеры таких задач. Рассмотрены следующие задачи: 1) на нахождение угла между прямыми в пространстве; 2) на нахождение угла между прямой и плоскостью; 3) на нахождение угла между плоскостями; 4) вычисление расстояния от точки до прямой; 5) вычисление расстояния от точки до плоскости; 6) на вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми. Презентация рассчитана на учащихся школ базового уровня.

Просмотр содержимого документа
«Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом »

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике  координатно-векторным методом Выполнила: учитель математики  Заруцкая Н.В.

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Выполнила: учитель математики

Заруцкая Н.В.

СОДЕРЖАНИЕ 1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 2. ТИПЫ ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

2. ТИПЫ ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Преимущества метода:   - позволяет решать любые задачи на нахождение углов и расстояний в многогранниках без построения сечений;   - основной материал изучался совсем недавно –  в 11-ом классе;   - рассмотрение геометрических соотношений заменяется алгебраическими действиями.

Преимущества метода: - позволяет решать любые задачи на нахождение углов и расстояний в многогранниках без построения сечений; - основной материал изучался совсем недавно – в 11-ом классе; - рассмотрение геометрических соотношений заменяется алгебраическими действиями.

Что нужно:   - повторить материал по учебнику 11-го класса;   - показать удобные способы введения прямоугольной системы координат для различных многогранников;   - научить определять координаты нормального вектора плоскости;   - рассмотреть с учащимися последовательность (можно раздать учащимся памятки) действий при решении задач каждого вида;

Что нужно: - повторить материал по учебнику 11-го класса; - показать удобные способы введения прямоугольной системы координат для различных многогранников; - научить определять координаты нормального вектора плоскости; - рассмотреть с учащимися последовательность (можно раздать учащимся памятки) действий при решении задач каждого вида;

Способы введения прямоугольной системы координат.

Способы введения прямоугольной системы координат.

Способы решения заданий С 2    Тип 1. Угол между прямыми в пространстве.  Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты двух точек М, N є l 1 и направляющего вектора а = MN прямой l 1 . 3. Найти координаты двух точек Р, Q є l 2 и направляющего вектора b = PQ прямой l 2 .  4 . Вычислить косинус угла θ между прямыми l 1 и l 2  , воспользовавшись фор­мулой:  cos θ = ǀcos φ ǀ = Тогда искомый угол θ между прямыми равен  θ = arccos

Способы решения заданий С 2

 

Тип 1. Угол между прямыми в пространстве.

Последовательность действий:

1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат.

2. Найти координаты двух точек М, N є l 1 и направляющего вектора

а = MN прямой l 1 .

3. Найти координаты двух точек Р, Q є l 2 и направляющего вектора

b = PQ прямой l 2 .

4 . Вычислить косинус угла θ между прямыми l 1 и l 2 , воспользовавшись фор­мулой:

cos θ = ǀcos φ ǀ =

Тогда искомый угол θ между прямыми равен

θ = arccos

Тип 2. Угол между прямой и плоскостью.   Последовательность действий:   1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат.   2. Найти координаты двух точек К , L є l и направляющего вектора а = KL прямой l .   3. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ.   4. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n к векторам МР и MQ :   n · MP = 0  n · MQ = 0.  5. Найти синус угла θ между прямой l  и  плоскостью α , воспользовавшись тем, что sin θ = ǀcos φ ǀ =  Тогда искомый угол θ между прямыми равен θ = arcs  

Тип 2. Угол между прямой и плоскостью. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты двух точек К , L є l и направляющего вектора а = KL прямой l . 3. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 4. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n к векторам МР и MQ : n · MP = 0 n · MQ = 0. 5. Найти синус угла θ между прямой l и плоскостью α , воспользовавшись тем, что sin θ = ǀcos φ ǀ = Тогда искомый угол θ между прямыми равен θ = arcs

 

Тип 3. Угол между плоскостями.   Последовательность действий:   1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат.   2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ.   3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n α плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n α к векторам МР и MQ :   n α  · MP = 0  n α · MQ = 0.  4. Найти координаты трех точек L, F, T є β , не лежащих на одной прямой, и векторов LF и LT.   5. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n β плоскости β как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n β к векторам LF и LT :   n β · LF = 0  n β · LT = 0.  6. Вычислить косинус угла θ между плоскостями α и  β , воспользовавшись формулой: cos θ = ǀcos φ ǀ =  Тогда искомый угол θ между плоскостями равен: θ = arcc  

Тип 3. Угол между плоскостями. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n α плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n α к векторам МР и MQ : n α · MP = 0 n α · MQ = 0. 4. Найти координаты трех точек L, F, T є β , не лежащих на одной прямой, и векторов LF и LT. 5. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n β плоскости β как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n β к векторам LF и LT : n β · LF = 0 n β · LT = 0. 6. Вычислить косинус угла θ между плоскостями α и β , воспользовавшись формулой: cos θ = ǀcos φ ǀ = Тогда искомый угол θ между плоскостями равен: θ = arcc

 

Тип 4. Расстояние от точки до прямой . Последовательность действий:   1 . Ввести прямоугольную систему ко­ординат.   2. Найти координаты точки М, двух любых точек Р, Q є l и векторов PQ = а , РМ = Ь.   3. Вычислить косинус угла φ между векторами а и Ь, воспользовавшись  формулой  cos φ =    4. Найти синус угла φ между вектора­ми а и Ь (Для любых двух векторов синус угла между ними всегда неотрица­телен!), воспользовавшись основным три­гонометрическим тождеством:  sin φ = √ 1 - cos 2  φ .   5. Вычислить р(М, l ), воспользовав­шись очевидным соотношением:  р(М, l ) = · sin φ .  

Тип 4. Расстояние от точки до прямой .

Последовательность действий: 1 . Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты точки М, двух любых точек Р, Q є l и векторов PQ = а , РМ = Ь. 3. Вычислить косинус угла φ между векторами а и Ь, воспользовавшись формулой cos φ = 4. Найти синус угла φ между вектора­ми а и Ь (Для любых двух векторов синус угла между ними всегда неотрица­телен!), воспользовавшись основным три­гонометрическим тождеством: sin φ = √ 1 - cos 2 φ . 5. Вычислить р(М, l ), воспользовав­шись очевидным соотношением: р(М, l ) = · sin φ .

 

   Тип 5. Расстояние от точки до плоскости.   Последовательность действий:   1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат.   2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ.   3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n  к векторам МР и MQ :   n · MP = 0  n · MQ = 0.   4. Найти координаты точки К и вектора с началом в точке K и с концом в любой из трех точек М, Р, Q є α (например, KM) .   5 . Вычислить ρ (K, α) , воспользовавшись формулой:   ρ (K, α) = ǀ пр KM  ǀ =

 

Тип 5. Расстояние от точки до плоскости. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n к векторам МР и MQ : n · MP = 0 n · MQ = 0. 4. Найти координаты точки К и вектора с началом в точке K и с концом в любой из трех точек М, Р, Q є α (например, KM) . 5 . Вычислить ρ (K, α) , воспользовавшись формулой: ρ (K, α) = ǀ пр KM ǀ =

Тип 6. Расстояние между скрещивающимися прямыми.   Последовательность действий:   1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат.   2. Найти координаты двух точек Q, P є l 1 и  направляющего вектора а = QP  прямой l 1 .   3. Найти координаты двух точек K, M є l 2 и направляющего вектора  b = KM прямой l 2 .    4. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n к векторам а  и  b :   n · а = 0  n · b = 0.   5 . Найти координаты вектора, началом которого служит любая точка прямой l 2 , а концом - произвольная точка прямой l 1 (на рисунке это  вектор МР).   6. Вычислить ρ ( l 1 , l 2 ) , воспользовавшись формулой:   ρ ( l 1 , l 2 ) = ǀ пр MP ǀ =  

Тип 6. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему ко­ординат. 2. Найти координаты двух точек Q, P є l 1 и направляющего вектора а = QP прямой l 1 . 3. Найти координаты двух точек K, M є l 2 и направляющего вектора b = KM прямой l 2 . 4. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений од­нородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикуляр­ности n к векторам а и b : n · а = 0 n · b = 0. 5 . Найти координаты вектора, началом которого служит любая точка прямой l 2 , а концом - произвольная точка прямой l 1 (на рисунке это вектор МР). 6. Вычислить ρ ( l 1 , l 2 ) , воспользовавшись формулой: ρ ( l 1 , l 2 ) = ǀ пр MP ǀ =

 

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP. Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат.

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP. Решение.    1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP (точки N и точки P) и векторов NP и NB. N (0; 0; 0) NB = = 2  B (0; 2  ; 0) OB =  2  = OS = √16 - = OP =  P (0; ; ) NP {0; ; } NB {0; 2  ; 0}  

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение.

 

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

 

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP .   Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP (точки N и точки P) и векторов NP и NB. N (0; 0; 0) NB = = 2  B (0; 2  ; 0) OB =  2  = OS = √16 - = OP =  P (0; ; ) NP {0; ; } NB {0; 2  ; 0}   3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =   =  

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP .

 

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

 

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

 

=

 

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.   Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP (точки N и точки P) и векторов NP и NB. N (0; 0; 0) NB = = 2  B (0; 2  ; 0) OB =  2  = OS = √16 - = OP =  P (0; ; )   NP {0; ; } NB {0; 2  ; 0}   3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ = =     4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 -   =

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

 

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

 

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

 

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

=

 

 

4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 -

 

=

Задача 1.  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.   Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP (точки N и точки P) и векторов NP и NB. N (0; 0; 0) NB = = 2  B (0; 2  ; 0) OB =  2  = OS = √16 - = OP =  P (0; ; )   NP {0; ; } NB {0; 2  ; 0} 3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =     =   4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 - =     5. Вычислим р (B, NP) = · sin φ.   р (B, NP) = 2 ·  = 2 О т в е т: 2.

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

 

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

 

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

 

 

=

 

4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 -

=

 

 

5. Вычислим р (B, NP) = · sin φ.

 

р (B, NP) = 2 · = 2

О т в е т: 2.

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V 4 Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 3

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

4

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

3

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V 4 Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1} 3

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

4

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V 4 Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1} 3 3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:  B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4) и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

4

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V 4 Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1} 3 3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:  B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4) и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3} 4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия  n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,  n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0; Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3}

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

4

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия

n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,

n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3}

Задача 2.  В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны  основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит  ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V 4 Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1} 3 3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:  B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4) и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3} 4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия  n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,  n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0 ; Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3} 5. Найдем косинус угла θ между плоскостями:   cos θ = ǀcos φ ǀ =   cos θ = =      . О т в е т:

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основа­ния равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

4

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия

n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,

n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0 ;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3}

5. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

 

cos θ = ǀcos φ ǀ =

 

cos θ =

=

 

 

.

О т в е т:

Задача 3.  Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. 12 √ 31

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

12

√ 31

Задача 3.  Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 12 √ 31

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

12

√ 31

Задача 3.  Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 12 2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1} √ 31

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

12

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

√ 31

Задача 3.  Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 12 2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1} BD 1 , 3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 = Найдем его координаты. B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

12

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

BD 1 ,

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 =

Найдем его координаты.

B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}

Задача 3.  Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 12 2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1} BD 1 , 3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 = Найдем его координаты. 4. Найдем косинус угла θ между плоскостями: B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}   =   =   cos θ =   cos θ = ǀcos φ ǀ =   О т в е т:

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

12

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

BD 1 ,

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 =

Найдем его координаты.

4. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}

 

=

 

=

 

cos θ =

 

cos θ = ǀcos φ ǀ =

 

О т в е т:

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M 1 1

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

1

1

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 1 1

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

1

1

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 1 2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2) и векторов A 1 D  {1; 0 ; -2}, A 1 C 1  {1; 1 ; 0} 1

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

1

2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2)

и векторов A 1 D {1; 0 ; -2}, A 1 C 1 {1; 1 ; 0}

1

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 1 2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2) и векторов A 1 D  {1; 0 ; -2}, A 1 C 1  {1; 1 ; 0}. 1 3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:  n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,  n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ; Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

1

2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2)

и векторов A 1 D {1; 0 ; -2}, A 1 C 1 {1; 1 ; 0}.

1

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:

n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,

n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ;

Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 1 2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2) и векторов A 1 D  {1; 0 ; -2}, A 1 C 1  {1; 1 ; 0}. 1 3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:  n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,  n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ; Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1} 4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA 1 {0; 0; 1}.

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

1

2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2)

и векторов A 1 D {1; 0 ; -2}, A 1 C 1 {1; 1 ; 0}.

1

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:

n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,

n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ;

Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA 1 {0; 0; 1}.

Задача 4.  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 . M Решение.  1. Введем прямоугольную систему координат. 1 2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2) и векторов A 1 D  {1; 0 ; -2}, A 1 C 1  {1; 1 ; 0}. 1 3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:  n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,  n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ; Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1} 4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA 1 {0; 0; 1}. 5. Вычислим ρ(M, DA 1 C 1 ) = ǀпр M A 1 ǀ =     = ρ(M, DA 1 C 1 ) =     О т в е т:

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

M

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

1

2. Найдем координаты точек D (1; 0 ; 0) A 1 (0; 0; 2) C 1 (1; 1 ; 2)

и векторов A 1 D {1; 0 ; -2}, A 1 C 1 {1; 1 ; 0}.

1

3. Найдем координаты вектора n {a; b; c} из условия:

n · A 1 D = 0, 1 · a + 0 · b + (-2) · c = 0, a = 2c,

n · A 1 C = 0; 1 · a + 1 · b + 0 · c = 0; b = -a ;

Пусть c = 1, тогда вектор n {2; -2; 1}

4. Найдем координаты точки M (0; 0; 1) и вектора MA 1 {0; 0; 1}.

5. Вычислим ρ(M, DA 1 C 1 ) = ǀпр M A 1 ǀ =

 

 

=

ρ(M, DA 1 C 1 ) =

 

 

О т в е т:


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Автор: Заруцкая Надежда Васильевна

Дата: 21.08.2015

Номер свидетельства: 226242

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства