Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Во многих случаях координатно-векторный метод позволяет решать задачи C2 даже тем учащимся, которые не умеют строить сечения геометрических тел. В презентации мною рассматриваются примеры таких задач. Рассмотрены следующие задачи: 1) на нахождение угла между прямыми в пространстве; 2) на нахождение угла между прямой и плоскостью; 3) на нахождение угла между плоскостями; 4) вычисление расстояния от точки до прямой; 5) вычисление расстояния от точки до плоскости; 6) на вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми. Презентация рассчитана на учащихся школ базового уровня.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом »

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

Выполнила: учитель математики

Заруцкая Н.В.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

2. ТИПЫ ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Преимущества метода: - позволяет решать любые задачи на нахождение углов и расстояний в многогранниках без построения сечений; - основной материал изучался совсем недавно – в 11-ом классе; - рассмотрение геометрических соотношений заменяется алгебраическими действиями.

Что нужно: - повторить материал по учебнику 11-го класса; - показать удобные способы введения прямоугольной системы координат для различных многогранников; - научить определять координаты нормального вектора плоскости; - рассмотреть с учащимися последовательность (можно раздать учащимся памятки) действий при решении задач каждого вида;

Способы введения прямоугольной системы координат.

Способы решения заданий С 2

Тип 1. Угол между прямыми в пространстве.

Последовательность действий:

1. Ввести прямоугольную систему координат.

2. Найти координаты двух точек М, N є l 1 и направляющего вектора

а = MN прямой l 1 .

3. Найти координаты двух точек Р, Q є l 2 и направляющего вектора

b = PQ прямой l 2 .

4 . Вычислить косинус угла θ между прямыми l 1 и l 2 , воспользовавшись формулой:

cos θ = ǀcos φ ǀ =

Тогда искомый угол θ между прямыми равен

θ = arccos

Тип 2. Угол между прямой и плоскостью. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты двух точек К , L є l и направляющего вектора а = KL прямой l . 3. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 4. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикулярности n к векторам МР и MQ : n · MP = 0 n · MQ = 0. 5. Найти синус угла θ между прямой l и плоскостью α , воспользовавшись тем, что sin θ = ǀcos φ ǀ = Тогда искомый угол θ между прямыми равен θ = arcs

Тип 3. Угол между плоскостями. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n α плоскости α как одного из ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикулярности n α к векторам МР и MQ : n α · MP = 0 n α · MQ = 0. 4. Найти координаты трех точек L, F, T є β , не лежащих на одной прямой, и векторов LF и LT. 5. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n β плоскости β как одного из ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикулярности n β к векторам LF и LT : n β · LF = 0 n β · LT = 0. 6. Вычислить косинус угла θ между плоскостями α и β , воспользовавшись формулой: cos θ = ǀcos φ ǀ = Тогда искомый угол θ между плоскостями равен: θ = arcc

Тип 4. Расстояние от точки до прямой .

Последовательность действий: 1 . Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты точки М, двух любых точек Р, Q є l и векторов PQ = а , РМ = Ь. 3. Вычислить косинус угла φ между векторами а и Ь, воспользовавшись формулой cos φ = 4. Найти синус угла φ между векторами а и Ь (Для любых двух векторов синус угла между ними всегда неотрицателен!), воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством: sin φ = √ 1 - cos 2 φ . 5. Вычислить р(М, l ), воспользовавшись очевидным соотношением: р(М, l ) = · sin φ .

Тип 5. Расстояние от точки до плоскости. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты трех точек М, Р, Q є α , не лежащих на одной прямой, и векторов МР, MQ. 3. Найти неизвестные координаты {а; b; c} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикулярности n к векторам МР и MQ : n · MP = 0 n · MQ = 0. 4. Найти координаты точки К и вектора с началом в точке K и с концом в любой из трех точек М, Р, Q є α (например, KM) . 5 . Вычислить ρ (K, α) , воспользовавшись формулой: ρ (K, α) = ǀ пр KM ǀ =

Тип 6. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Последовательность действий: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты двух точек Q, P є l 1 и направляющего вектора а = QP прямой l 1 . 3. Найти координаты двух точек K, M є l 2 и направляющего вектора b = KM прямой l 2 . 4. Найти неизвестные координаты {p; q; r} нормального вектора n плоскости α как одного из ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, возникающей из условий перпендикулярности n к векторам а и b : n · а = 0 n · b = 0. 5 . Найти координаты вектора, началом которого служит любая точка прямой l 2 , а концом - произвольная точка прямой l 1 (на рисунке это вектор МР). 6. Вычислить ρ ( l 1 , l 2 ) , воспользовавшись формулой: ρ ( l 1 , l 2 ) = ǀ пр MP ǀ =

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 4, точка N – середина ребра AC, точка O – центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 -

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Найдем координаты точки B и двух точек на прямой NP

(точки N и точки P) и векторов NP и NB.

N (0; 0; 0)

NB = = 2 B (0; 2 ; 0)

OB = 2 = OS = √16 - = OP = P (0; ; )

NP {0; ; } NB {0; 2 ; 0}

3. Вычислим косинус угла φ между векторами NP и NB. cos φ =

4. Найдем синус угла φ. sin φ = √1 -

5. Вычислим р (B, NP) = · sin φ.

р (B, NP) = 2 · = 2

О т в е т: 2.

Задача 2. В прямой четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4. Точка М делит ребро АА 1 в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями ABC и BMD V

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия

n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,

n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3}

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. Очевидно, что за нормальный вектор плоскости ABC можно взять n 1 {0; 0; 1}

3. Определим координаты 3-х точек плоскости BMD 1 не лежащих на одной прямой:

B (3; 3; 0) M (3; 0; 1) D 1 (0; 0; 4)

и координаты векторов: BM {0; 3; -1} D 1 M {-3; 0; 3}

4. Найдем неизвестные координаты {a; b; c} нормального вектора n 2 плоскости BMD 1 из условия

n 2 · BM = 0, 0 · a + 3 · b + (-1) · c = 0, 3b – c = 0,

n 2 · D 1 M = 0; (-3) · a + 0 · b + 3 · c = 0; -3a + 3c = 0 ;

Выберем b = 1, получим c = 3, a = 3. Вектор n 2 {3; 1; 3}

5. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

cos θ = ǀcos φ ǀ =

cos θ =

О т в е т:

Задача 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольник ABCD, в котором AB равно 12, AD равно √31 . Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD , перпендикулярно прямой BD 1 , если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5.

√ 31

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

√ 31

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

√ 31

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

BD 1 ,

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 =

Найдем его координаты.

B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат.

2. За нормальный вектор плоскости основания ABC можно взять вектор n 1 {0; 0; 1}

BD 1 ,

3. Нормальным вектором искомой плоскости можно считать вектор n 2 =

Найдем его координаты.

4. Найдем косинус угла θ между плоскостями:

B (0; √31 ; 0) D 1 (12; 0; 5) BD 1 {12; - √31 ; 5}

cos θ =

cos θ = ǀcos φ ǀ =

О т в е т:

Задача 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2 . Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .