Решение задач на вероятность из материалов ОГЭ

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности. Решение задач из вариантов ОГЭ

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к числу всех равновозможных исходов .

Задача №1

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии.

Решение №1

Решение. Всего участвует 9+3+8+5=25 спортсменов.

А т.к. финнов 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии 5/25 = 1/5= 0,2

Задача №2

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.

Задача №3

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180  сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение №3

Решение.

180-8 = 172 сумки качественные.

172 / 180 = 0,955...≈ 0,96

Задача №4

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение №4

Решение:

170 + 6 = 176 - всего сумок.

170 / 176 = 0,965≈ 0,97

Задача №5

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение №5

Решение:

Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике.

Т.е. всего различных вариантов 6*6 = 36.

Варианты (исходы эксперимента) будут такие:

1;1  1;2  1;3  1;4  1;5  1;6

2;1  2;2  2;3  2;4  2;5  2;6

и т.д. ..............................

6;1  6;2  6;3  6;4  6;5  6;6

Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8.

2;6   3;5;  4;4   5;3  6;2     Всего 5 вариантов.

Найдем вероятность.   5/36 = 0,138 ≈ 0,14

Задача №6

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых .

Решение №6

Решение:

Всего различных вариантов выпадения очков будет 6*6*6 = 216

Подсчитаем количество благоприятных исходов, т.е. вариантов, в которых сумма трех кубиков равнялась 14.

6;6;2   6;2;6   2;6;6

5;5;4   5;4;5   4;5;5

4;4;6   4;6;4   6;4;4

6;5;3   6;3;5   5;6;3   5;3;6   3;5;6   3;6;5

Всего 15 благоприятных исходов

Вероятность равна 15/216 = 0,06944... ≈ 0,07

Задача №7

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

Решение №7

Решение.

Количество различных вариантов типа орел, решка, решка будет 2*2*2 = 8

Благоприятный вариант 1.   

Вероятность равна 1/8 = 0,125

Задача №8

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение №8

Решение.

Всего вариантов 2*2*2=8. Благоприятных - 3 варианта:

о; о; р       о; р; о   р; о; о 

Вероятность равна 3/8 = 0,375

Задача №9

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение №9

Решение.

Варианты:  о;о    о;р    р;о    р;р.    

всего 4 варианта .

Благоприятных 2 :

  о;р  и р;о.  

Вероятность равна 2/4 = 0,5

Задача №10

  В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение №10

Решение: 

Всего вариантов  2*2*2*2 = 16

Орел не выпадет ни разу –

это 1 вариант.  

  Вероятность 1/16.

• Решение:  Всего вариантов  2*2*2*2 = 16 Орел не выпадет ни разу – это 1 вариант.     Вероятность 1/16.
• Решение:  Всего вариантов  2*2*2*2 = 16 Орел не выпадет ни разу – это 1 вариант.     Вероятность 1/16.
• Решение:  Всего вариантов  2*2*2*2 = 16 Орел не выпадет ни разу – это 1 вариант.     Вероятность 1/16.

№ 11. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№ 12. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№ 13. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

№ 14. В чемпионате по гимнастике участвуют 24 спортсменки: 9 из России, 6 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

№ 11.  2000-12=1988 -не  подтекают

Р=1998/2000 = 0,999

№ 12. 1500-3=1497

Р=1497/1500=0,998

№ 13.   50-(22+19)= 9

Р=9/50=0,18

№ 14.  24-(9+6)= 9

Р= 9/24=0,375

№ 15

На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

1) Если во время жеребьевки каждый участник получал только номер группы, то задача решается просто.

Всего исходов для Коли и Толи четыре:  1-1, 1-2, 2-1, 2-2, а благоприятных два: 1-2 и 2-1.

Р = 2/4 = 0,5.

2) Если же каждый участник получал порядковый номер (1-26), то задача решается по-другому.

Подсчитаем количество всевозможных пар, полученных номеров. Коля имеет 26 вариантов получения номера, тогда у Толи 25 вариантов.  Всего образованных пар чисел буде 26*25 = 650.

Подсчитаем количество благоприятных вариантов.

26 вариантов у Коли и 13 вариантов на каждый Колин вариант - у Толи.

Всего 26*13 = 338.

Р = 26*13 / (26*25) = 0,52

№ 16

Перед началом матча по футболу судья просает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда "Б" играет по очереди с командами "К", "С", "З". Найти вероятность того, что ровно в одном матче право владеть мячом получит команда "Б". 

Решение:  Надо рассматривать 3 независимых испытания. 

Испытание А состоит в том, чтобы команда "Б" владела мячом в 1-й игре, испытание В - во второй, С - в третьей. 

Вероятность Р(А)= 1/2. Вероятность противоположного события (Не владела мячом) равна  также 1/2.

Аналогично для испытаний В и С.

Благоприятные исходы: 1) в первой игре владеет, а во второй и третьей не владеет мячом.

Р=1/2 *1/2 * 1/2 = 1/8.

  2) в первой не владеет, во второй владеет, в третьей - не. Р=1/8.

3) в первой и второй играх не владеет, а в третьей - владеет. Р=1/8.

Р = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

2-й способ.

В каждой игре 2 исхода (например 0- не владеет и 1- владеет). Игр -3. Количество всевозможных сочетаний типа 000, 001, ..., 111 равно 2 3  =8).

Количество благоприятных исходов - 3 :  100, 010, 001.

Р = 3/8