Проектная презентация "Круги Элера"

Проект:

Круги Эйлера

Руководитель проекта: Маданова Елена Анатольевна

• Авторы проекта: Клычникова Саша

Козлова Марина

Ботов Илья

Мисерова Юля

Кузмичёва Юля

Брик Артём

Такташев Дима

Гришин Антон

• Применение кругов Эйлера придаёт задачам наглядность и простоту.

Мы знаем об этом мало.

ЦЕЛЬ:

• Изучить и показать, как изображение

условий задачи в виде кругов Эйлера

упрощают и облегчают путь к её решению.

• 1.Собрать материал о кругах Эйлера, рассмотреть их по принципу «от простого к сложному». Показать, как в задачах вводится символика алгебры множеств.
• 2.Представить информацию в виде компьюторной презентации.
• 3.Прорешать задачи за «круглым столом».
• 4.Оформить буклеты с задачами, для ознакомления другими ребятами.

Леонард Эйлер ( 1707 - 1783 ).

Повезло Эйлеру : он родился в маленькой тихой Швейцарии. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцам которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Его называли идеальным математиком 18 века. Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов . Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Задачи по принципу « от простого к сложному»

1. Часть жителей Башкирии говорят только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

• Решение. Составим схему –

В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

• Решение. Составим схему –

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

• Решение. Обратимся к кругам Эйлера:

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2 вратаря.

4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

• Решение. 1 способ. Для решения воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

, чем Ф + Н = х одновр. одновр. 34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 = 40 – 2х = 40 – 34 + 3 – 25 – 2х = –10 х = 5 Ф + Н = 5 человек. А + Н = 8 человек. А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек. Н = 6 человек. Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек. Всего 40 человек." width="640"

5. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков?

• Решение:

А + Н = 34

Ф + Н = 25

Н = 6

А + Н = на 3 человека , чем Ф + Н = х

одновр. одновр.

34 – х – 3 – 6 – х + х + 3 + 6 + х +25 – х – 6 = 40

– 2х = 40 – 34 + 3 – 25

– 2х = –10

х = 5

Ф + Н = 5 человек.

А + Н = 8 человек.

А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек.

Н = 6 человек.

Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек.

Всего 40 человек.

В результате работы над данной темой мы пришли к следующим выводам :

• 1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью;
• 2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества.
• 3) Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.