Проект по теме "Проблема четырех красок"

Проект по теме "Проблема четырех красок" был представлен на НПК округа, получил лауреата. В работе расмотренны вопросы об истории возникновения данного парадокса, доказана теорема о четырех красках, ее применение. В работе имеется практическая часть, где решены несколько задач с применением данной теоремы. Проект был защищен как ИИП.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Проект по теме "Проблема четырех красок"»

Проблема четырех красок

Выполнила: Воробьева Лилия

ученица 9 класса

МБОУ ЭКЛ

Консультант: Кривченкова Т.В .

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)

Когда встал вопрос о выборе темы проекта, тема «Проблема четырех красок» попалась мне на глаза. Я решила разобраться с проблемой. Начав собирать информацию по данной теме, я открыла для себя очень любопытную и нестандартную теорему, теорему о четырех красках.

Так что же это такое?

Мне стало интересно, как можно применить эту теорему? Развивает ли она логическое мышление?

Задачи проекта:

1.Узнать историю возникновения данного парадокса.

2. Понять принцип теоремы.

3.Узнать, какие виды графов применяются к проблеме четырёх красок.

4. Применить теорему при решении задач.

5.Создать свой рисунок, соблюдая правило «Теоремы о четырёх красках».

Цель проекта:

изучение Проблемы четырех красок.

История появления проблемы

Раскрашивая географическую карту, естественно пользоваться по возможности меньшим количеством цветов, однако так, чтобы две страны, имеющие общую часть границы (не только общую точку), были окрашены по-разному. Проблема 4 красок зародилась в 1852 году, когда Френсис Гутри, раскрашивая карту графств Англии, заметил, что четырёх красок ему хватает, а вот тремя - не обойтись.

Теорема о четырёх красках:

Всякую расположенную на сфере или плоскости карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета.

Для лучшего понимания теоремы, поэтапно разберем на примерах различных изображений с двумя, тремя и четырьмя цветами.

Два цвета

Рассмотрим все возможные карты на плоскости, образованные прямыми или кривыми.

Примером такой карты может служить обычная шахматная доска.

Менее правильный узор изображен ниже.

Достаточно ли двух красок для раскрашивания всех таких карт?

Да, и доказать это нетрудно. На любой правильно раскрашенной карте интересующего нас типа проведем еще одну прямую, разделив плоскость на две «карты».

Из этого следует, что для раскраски любой карты, образованной прямыми, пересекающими всю ее поверхность от одного края листа до другого, достаточно двух красок.

Три цвета

Пусть мы раскрасили нашу плоскость в два цвета. Тогда возьмем на ней равносторонний треугольник со стороной в одну единицу расстояния. Первая вершина —синяя, вторая — красная. А какого цвета третья вершина? Так как она находится на расстоянии один от первых двух, то ни синей, ни красной она быть не может.

Четыре краски

Если страна окружена другими вражескими странами, которые граничат попарно с друг другом, то эта страна будет вынуждена окраситься в отличный от всех остальных стран цвет, четвертый цвет.

Получается, если в каждой вершине карты сходится нечетное число ребер, а каждая грань имеет нечетное число сторон, то потребуется четыре краски.

Применение графов к проблеме четырёх красок

Проблему 4-х красок можно сформулировать в терминах графов, если заменить карту графом, расположенным на плоскости. Будем изображать страны кружками, а границы – отрезками.

Граф — геометрическая фигура, состоящая из точек и соединяющих их линий. Точки называются вершинами графа, а линии — ребрами.

Плоский граф

Если ребра графа не пересекаются, то граф плоский.

Теорема. Граф можно раскрасить в 2 цвета так, чтобы соседние вершины были покрашены в разные цвета, тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.

Действительно, если количество вершин, соединенных ребрами, четное, то мы можем просто чередовать два цвета, например, красный и зеленый. При присутствии нечетной вершины, пришлось бы добавлять третий цвет.

Полный граф

Полный граф — граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. По сути, это граф с малым количеством вершин, но с большим количеством ребер.

В таких графах все вершины необходимо раскрасить в разные цвета. Из этого следует, что полный граф с пятью вершинами – уже нельзя раскрасить в четыре цвета. Вероятно, это контрпример, но есть одно но.

Полный граф с четырьмя вершинами – не плоский, но его можно перерисовать так, чтобы он соблюдал это условие.

Если взять полный граф с пятью вершинами, то так перерисовать его не получится. Дело в критерии плоскости – граф можно нарисовать плоским тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, “похожих” на K5 и K3.

В чем же решение этой теоремы?

Математики Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, проанализировав с помощью компьютера 1482 карты, выяснили и научно доказали, что четырех красок для раскрашивания любой карты будет достаточно. Казалось бы, Проблема четырех красок решена, однако — не тут-то было... У части математиков её доказательство вызывает определенное недоверие в той его части, где значительную часть рутинных проверок выполнял компьютер.

Практическая часть

Игра “Четыре краски”

Игрок А чертит произвольную область. Игрок В раскрашивает ее и пририсовывает новую область. Игрок А раскрашивает новую область и добавляет еще одну область. Игра продолжается.

Каждый из игроков раскрашивает область, начерченную противником, и дорисовывает свою область. Проигрывает тот, кто вынужден воспользоваться пятой краской.

Ход игрока А Ход игрока В Ход игрока А

Карта графств Британии

За время существования теоремы о четырех красках на её базе были созданы многочисленные логические игры. Поначалу играть в них можно было только на бумаге, затем появились компьютерные варианты. Проверить свои математические способности в этой области можете и вы, используя логическую онлайн-игру «Четыре краски» .

Задача 1

Сколько красок должен взять художник, чтобы раскрасить эту абстрактную картину?

Площадь каждой области равна восьми квадратным футам, кроме верхней области, имеющей вдвое большую площадь, чем остальные. У художника красной краски осталось достаточно для покрытия 24 квадратных фута, желтой хватит на покрытие такой же площади, зеленой - на 16 квадратных футов и синей - на 8 квадратных футов.

Как художнику закончить свою картину, используя только четыре краски так, чтобы области, имеющие общую границу, не были окрашены одинаково?

Решение

Смешав всю имеющуюся у него синюю краску с третью количества красной краски, художник получил столько пурпурной краски, что ее хватило для закрашивания шестнадцати квадратных футов полотна. После того как большая область в верхней части абстрактной картины и центральная область закрашены в желтый цвет, раскрасить остальные области в красный, зеленый и пурпурный цвета уже нетрудно.

Задача 2

Построим правильный шестиугольник со стороной, равной одному сантиметру, поставим точку в его центре и соединим ее с вершинами. Все нарисованные отрезки имеют единичную длину, перед нами граф с 7 вершинами и 12 ребрами. Сколько получится всего раскрасок графа при раскрашивание его в четыре цвета всеми возможными способами?

Решение

Оказывается, есть всего лишь четыре принципиально различных раскраски шестиугольника, причем в двух из них возникают равносторонние треугольники со стороной, равной квадратному корню из трех, все вершины которых окрашены в один цвет.

Задача 3

Как начертить на плоскости двухцветную карту, обладающую таким свойством, что, как бы вы ни накладывали на нее равносторонний треугольник со стороной 1, все три его вершины не должны лежать на точках одного цвета?

Решение

1)Разделим плоскость на параллельные полосы, каждая шириной в единиц.

2)Попеременно раскрасим их в черный и белый цвета так, как показано на рисунке.

3)Самая левая черная полоса начинается с отметки 0 (внизу) и доходит до отметки ,но не включает эту отметку.

4)Следующая (белая) полоса включает отметку и доходит до отметки не включая ее, и т. д.

Практическая работа:

Я попытаюсь доказать данную теорему на практике без использования специальных программ.

Для этого мне понадобится:

-лист бумаги;

-четыре цветных карандаша: красный, зелёный, голубой и желтый.

Заключение

Проблема четырёх красок считается решенной, хоть и вызывает множество недоверия среди тех математиков, которые подвергают сомнению большую часть проверок теоремы, выполненными компьютером.
Но несмотря на все разногласия среди математиков, решение проблемы четырёх красок является первой математической теоремой, при доказательстве которой впервые был использован компьютер. Эта теорема - пример неклассического доказательства в современной математике.

Я считаю, что поставленной цели достигла, выполнила все запланированные задачи, научилась применять теорему при решении задач. Можно с уверенностью сказать, что гипотеза полностью подтвердилась: теорема повышает интерес учащихся к математике, развивает их логическое мышление. Благодаря таким задачам, любому человеку становиться понятно, что математика – очень интересная наука. Но на самом деле доказать

Я считаю, что поставленной цели достигла, выполнила все запланированные задачи, научилась применять теорему при решении задач. Можно с уверенностью сказать, что гипотеза полностью подтвердилась: теорема повышает интерес учащихся к математике, развивает их логическое мышление.
Благодаря таким задачам, любому человеку становиться понятно, что математика – очень интересная наука.

Но на самом деле доказать "Теорему о четырёх красках может обычный школьник, если попробует сыграть в любую вариацию увлекательной игры «Четыре краски».
Мой эксперимент доказал, что карту можно раскрасить всего 4 цветами, при этом выявить свой алгоритм последовательности красок .