Применение метода проектов на уроках математики "Параллельная проекция и ее свойства"

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Хабаровский судостроительный колледж», Хабаровский край

Применение метода проектов на уроках математики

Параллельная проекция и ее свойства

Автор: Михайлова Мария Борисовна, преподаватель математики

S пр  =  S  cos φ

АННОТАЦИЯ

• Данная методическая разработка представляет собой урок-исследование по теме: «Параллельная проекция и ее свойства».
• В данном уроке использованы следующие методы обучения:
• лекция (на этапе изучения нового материала),
• работа в интерактивной среде – самостоятельное систематизация «открытых» знаний
• лабораторная работа (во время открытия новых знаний, расширения и углубления знаний)

Цели проекта

• Данный проект «Параллельная проекция и ее свойства» стимулирует интерес учащихся к самостоятельной исследовательской, поисковой деятельности, постановке перед ними целей и проблем, решение которых ведёт к открытию и появлению новых знаний и умений, проект развивает пространственное представление и воображение.

Цели урока:

• ознакомление учащихся с параллельной проекцией,
• подведение их к открытию свойств параллельной проекции,
• формирование первичных умений решать задачи, используя свойства параллельной проекции,
• создание условий для формирования аналитических способностей (умений сравнивать, сопоставлять, делать выводы и умозаключения).

Оборудование урока:

• Сайт «Начертательная геометрия»,
• Учебник «Геометрия» 10-11 классы Л. С. Атанасян и др., учебник для общеобразовательных учреждений
• ПК, мультимедийный проектор

Место проведения урока:

мультимедийный класс

План урока

• Организационный момент
• Изучение нового материала – параллельная проекция
• Исследовательские задачи на открытие свойств параллельной проекции (лабораторная работа №1)
• Углубление и систематизация знаний – свойства параллельной проекции
• Первичное закрепление - использование интерактивной среды
• Исследовательские задачи применение свойств параллельной проекции (лабораторная работа №2)
• Изучение нового материала – ортогональная проекция (использование интерактивной среды)
• Исследовательские задачи на изучение свойств ортогональной проекции (лабораторная работа №3)
• Итог урока

1.Организационный момент

• Урок посвящен параллельной проекции и ее свойствам .
• В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.
• Сегодня первый урок по параллельному проектированию – рассмотрим параллельную проекцию и ее частные случаи прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проектирование.
• Умение изображать пространственные фигуры необходимо не только будущему математику, физику, инженеру, конструктору, но и скульптору, архитектору, художнику, дизайнеру и вообще каждому человеку. Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, вы знакомитесь с законами восприятия окружающих предметов, приобретаете необходимые практические навыки, формируете свои пространственные представления.
• Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнение чертежа, и от того, насколько правильно он выполнен, во многом зависит успешность решения самой задачи.

2. Изучение нового материала

Метод параллельного проектирования

• Дана плоскость α и прямая l , задающая направление проектирования.
• Зададим фигуру, которую надо спроектировать (отрезок AB ). Через точки А и В проведем прямые, параллельные l и пересекающие плоскость α в точках A 1 , B 1 .
• Отрезок A 1 B 1 – проекция АВ на плоскость α (рис.1). Обозначается A 1 B 1 =пр α AB .

1

1

П 1

рис.1

Параллельные проекции точек на плоскость проекций П 1

А А 1

В В 1

D D 1

Кликните тут для просмотра картинки

рис.2

• Точки А 1 , В 1 пересечения проектирующих прямых с плоскостью проекций П 1 - параллельными проекциями точек А, В пространства. Очевидно, что при параллельном проектировании, так же как и при центральном, каждая точка пространства имеет на плоскости П 1 одну проекцию, но эта проекция не определяет положения точки в пространстве. Следовательно, однопроекционный чертеж, полученный методом параллельного проецирования, необратим.

Различают прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проектирование, в зависимости от угла, образованного направлением проектирования с плоскостью проекций.

рис.3

• Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.

• Геометрические фигуры, в общем случае, проектируются на плоскость проекции с искажением. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин). Но некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства называют инвариантными .

3. Лабораторная работа №1 на открытие инвариантных свойств параллельной проекции

• Исследовательские задачи

• Чем является проекция точки на плоскость при параллельном проектировании?
• Определяет ли одна проекция точки ее положения в пространстве?
• Чем является проекция прямой на плоскость при параллельном проектировании?
• В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка?
• Сколько проекций точек, принадлежащих прямой надо построить, чтобы построить проекцию саму прямую?

Исследовательские задачи

• В каком случае параллельной проекцией двух параллельных прямых является одна прямая?
• Сохраняются ли при параллельном проектировании: а) длины отрезков; б) величины углов?
• Верно ли, что если длина отрезка равна длине его параллельной проекции, то отрезок параллелен плоскости проектирования?

4. Углубление и систематизация знаний Инвариантные свойства параллельной проекции

• Проекция точки на плоскость есть точка.

А А 1

Рис. 4 . Параллельные проекции точек на плоскость проекций П 1

рис.4

Одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как может быть проекцией любой точки, принадлежащей прямой параллельной направлению проектирования.

2. Проекцией прямой на плоскость есть прямая – свойство прямолинейности . Проекция прямой в общем случае прямая, прямая вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования.

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой – свойство принадлежности .

а а 1

Рис. 5. Инвариантные свойства параллельного проецирования

Следствие из пп. 2 и 3.

Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек.

4 . Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций (рис.6)

Кликните тут для просмотра картинки

рис.6

5. Проекции параллельных прямых параллельны свойство сохранения параллельности .

Следствия :

• Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 7):
• Если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 5):

рис.7

6. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости П параллельной плоскости проекций (например, П 1 ), то проекция этой фигуры на плоскость П 1 равна самой фигуре

7. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций

рис.8

5. Первичное закрепление изученного материала

• Просмотр интерактивного сайта

«Начертательная геометрия»

5.1. Параллельное проектирование

http://traffic.spb.ru/geom/part1/part1-3-3.html

• Просмотр интерактивного сайта

«Начертательная геометрия»

5.2. Свойства параллельной проекции

http://traffic.spb.ru/geom/part1/part1-3-3.html

6. Лабораторная работа №2 применение свойств параллельной проекции

• Исследовательские задачи
• Внимание: 1. Подумайте, проанализируйте чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов параллельного проектирования.
• 2. Подумайте, сохраняются ли рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проектирования при изменении направлении проецирования.
• 3. Какой фигурой является проекция плоского многоугольника?

• Ответ:

• Плоский многоугольник в общем случае проектируется в многоугольник с тем же числом вершин. Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны.

Исследовательские задачи

• 4. Какие фигуры могут быть параллельными проекциями двух скрещивающихся прямых?
• 5. Точки A’, B’ являются параллельными проекциями точек A, B . AA’ = a, BB’ = b. Точка C делит отрезок AB в отношении m : n . Найдите расстояние между точкой C и ее проекцией C’.

• Ответ:

Две пересекающиеся прямые; две параллельные прямые; прямая и точка, ей не принадлежащая.

• Ответ:

Исследовательские задачи

• 6. Докажете, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Подсказка - рисунок

Подсказка –

доказательство

рис.9

Пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π (рис. 10). Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB 1 C так, чтобы точка B 1 не принадлежала плоскости π . Обозначим через l прямую, проходящую через точки B 1 и B . Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB 1 C на плоскость π в направлении прямой l .

Назад

рис.10

7. Ортогональная проекция

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, когда направление проектирования s перпендикулярно плоскости проекции П .

В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции.

Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя AB 2 ║ A ’ B ’ (рис.8), получим из прямоугольного треугольника AB 2 B , что AB 2 = AB cos α или

A 1 B 1 = AB cos α.

s

А

В 2

В 1

А

А 1

П

рис.10

Ортогональная проекция точки на плоскость проекций П 1

• Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все рассмотренные выше свойства параллельного проектирования.

рис.10

Кликните тут для просмотра картинки

Ортогональная проекция

Просмотр интерактивного сайта «Начертательная геометрия»

http://traffic.spb.ru/geom/part1/part1-3-4.html

Свойства ортогональной проекции

Просмотр интерактивного сайта «Начертательная геометрия»

http://traffic.spb.ru/geom/part1/part1-3-4.html

6. Лабораторная работа №3 применение свойств ортогональной проекции

• Чем является проекция точки на плоскость при ортогональном проектировании?
• Чем является проекция прямой на плоскость при ортогональном проектировании?
• Чем является проекция окружности на плоскость при ортогональном проектировании?

• Ответ:

Проекцией окружности на плоскость при ортогональном проектировании может быть окружность, эллипс, отрезок.

Итог урока. Домашнее задание

3 исследовательские задачи домой

• Три точки проектируются на плоскость. Сколько при этом получится точек на плоскости проекций?
• Какие свойства прямоугольника сохраняются при параллельном проектировании?
• Какие свойства ромба сохраняются при параллельном проектировании?

В

А

E

С

D

Кликните тут 5 раз

для просмотра картинки

П

Источники

• Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк «Геометрия», 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений, изд. М.: Просвещение, 2012
• Б.Г. Зив «Геометрия», дидактические материалы, 10 класс, изд. М.: Просвещение, 2011
• http://geometry2006.narod.ru/Art/Lecture8.htm
• http://lecprim.ru/gm/Gm/komplex_1.html
• http://traffic.spb.ru/geom/part1/part1-3-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%29