Презентация к уроку по алгебре и началам анализа на тему " Комбинаторика: перемещения,перестановки,сочетания"

КОМБИНАТОРИКА

Размещения, перестановки, сочетания

Цели урока:

• Узнать, что изучает комбинаторика
• Узнать ,как возникла комбинаторика
• Изучить формулы комбинаторики и научиться применять их при решении задач

:

:

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр.

Блез Паскаль

Пьер Ферма

Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Г.В. Лейбниц

Л. Эйлер.

Я. Бернулли

Лемма. Пусть в множестве A m элементов, а в множестве B — n элементов. Тогда число всех различных пар (a,b), где a\in A,b\in B будет равно mn. Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего в множестве A m элементов.

Размещения, перестановки, сочетания Пусть у нас есть множество из трех элементов a,b,c. Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? ab,ac,bc,ba,ca,cb.

Перестановки Пусть имеется n различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно Pn = n! =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1)·n

Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1 1!=1 Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке . Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6 , так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Размещения Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Определение. Размещениями множества из n различных элементов по m элементов (m ≤ n) называются комбинации , которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов всевозможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно Cmn=n!(n−m)!⋅m!

Пример всех сочетаний из n=3объектов (различных фигур) по m=2- на картинке снизу. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn=Cmn⋅Pm.

ЗАДАНИЕ. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

РЕШЕНИЕ.

Способ 1 . В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=2, m=13.

=

Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,

9 – 6

10 – 5

11 – 4

12 – 3

13 – 2

14 – 1,

а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

ОТВЕТ. 105 партий.

Учитель математики Аксёнова Светлана Валерьевна

Бугровская СОШ Всеволожского района Ленинградской области