Презентация на тему "Перестановки. Сочетания. Комбинации"

Подготовка к ГИА Комбинаторные задачи

Подготовила: учитель математики

Шахтерской ОШ І-ІІІ ступеней № 2

управления образования

администрации г.Шахтерска

Донецкой Народной Республики

Демичева Ирина Владимировна

№ 1

ПЕРЕСТАНОВКИ

• Определение 1

Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов

Пример 1

Дано множество . Составить все перестановки этого множества.

Решение.

Пример 1

Дано множество . Составить все перестановки этого множества.

Решение.

№ 2

ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК

Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно n!

Замечание.

Считают, что 0!=1

читается «n факториал» и вычисляется по формуле

№ 3

ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК

• Доказательство теоремы 1.
• Любую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий:

• выбор первого элемента n различными способами,
• выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом,
• выбор третьего элемента (n-2) способами,

……

n) выбор n-го элемента 1 способом.

По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно

№ 4

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Теорема 2

• Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле

где

Доказательство.

Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

№ 5

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСТАНОВКИ

• Задача : Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»?
• Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений
• В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

№ 6

РАЗМЕЩЕНИЯ

• Определение 1

Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n.

Пример

Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

№ 7

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ

• Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле
• Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий:
• 1) выбор первого элемента n способами;
• 2) выбор второго элемента (n-1) способами;
• и т. д.
• k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами.

По правилу умножения число всех размещений будет

n(n-1)(n-2)…(n-k+1).

Теорема доказана

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ

№ 8

• Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде
• Действительно

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ

№ 9

• Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные?

Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

Решение.

Ответ: 720 номеров

№ 10

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

• Определение 2

Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов возможно с повторениями

• Пример

Дано множество

Составим 2- размещения с повторениями:

№ 11

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из

n элементов вычисляется по формуле

Доказательство. Каждый элемент размещения можно выбрать n способами. По правилу умножения число всех размещений с повторениями равно

№ 12

ЗАДАЧИ НА РАЗМЕЩЕНИЯ

• Сколько существует номеров машин?
• Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно

• Число перестановок цифр равно

• По правилу умножения получим число номеров машин
• Ответ: 24389000 номеров

№ 13

ЗАДАЧИ

• 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО ?
• Решение

Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

• Ответ: 40320 способов

№ 14

ЗАДАЧИ

• 2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом?
• Решение

Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е.

Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

• Ответ: 10080 способов

№ 15

ЗАДАЧИ

• 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
• Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Ответ: 6930 способов

№ 16

ЗАДАЧИ

• 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7?
• Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

Ответ: 840 способов

№ 17

ЗАДАЧИ

• 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?
• Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е. возможны 9 вариантов цифры.

В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3

По правилу умножения получим

Ответ: 4536 чисел

№ 18

ЗАДАЧИ

• 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10?
• Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

Ответ: 1024 чисел

№ 19

ЗАДАЧИ

• 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома?
• Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим

• Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

Ответ: 2097152 способов

№ 20

ЗАДАЧИ

• 8)Сколько чисел, меньше 10000 можно написать с помощью цифр 2,7,0?
• Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями
• Ответ: 81 число

№ 21

СОЧЕТАНИЯ

№ 22

СОЧЕТАНИЯ

№ 23

СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ

Ответ: 220 способов

№ 24

СОЧЕТАНИЯ. ЗАДАЧИ

В классе учатся 14 мальчиков и 12 девочек. Для участия в соревнованиях следует выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно сделать выбор?

Ответ: 220220 способов

220220

Список литературы

1.ГИА-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.:Национальное образование, 2013.

2. Математика. Базовый уровень. ГИА-2014. Пособие для «чайников»/под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.- Ростов н/Д:Легион, 2013.

3. Математика. ЕГЭ 2015. Книга 1. Базовый уровень. Профильный уровень/Д.А.Мальцев и др.- Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:Народное образование, 2015.

Интернет-ресурсы

Шаблоны для оформления презентаций по математике

http://www.uchportal.ru/load/160-1-0-31926