Презентация для урока алгебры "Десять способов решения квадратного уравнения"

Десять способов решения квадратного уравнения

• Данный проект рассчитан на учащихся 8 класса. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки.
• Умением решать квадратные уравнения овладевают практически все выпускники средней школы. Но чаще всего учащиеся для нахождения корней уравнения применяют только единственный способ: через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения. Но есть и другие формулы и методы решения, применение которых позволяет более рационально и быстрее решать данные уравнения, что поможет учащимся успешнее овладеть программой.
• Данный проект позволит расширить область математических знаний учащихся по теме за счет изучения новых методов, не входящих в школьный курс математики.

Цели:

• Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений.
• Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения».
• Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы.
• Создание условий для самореализации личности.

Задачи:

• Познакомить учащихся с новыми способами решения квадратных уравнений.
• Закрепить умения решать уравнения известными способами.
• Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами.
• Продолжить формирование общенаучных навыков математической культуры.
• Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности.
• Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика.

• Данный проект предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса и решение типовых задач. На уроках будет использоваться фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса, что позволяет развивать точную лаконичную речь, способствовать работать в быстром темпе. Основные формы работы с учащимися: лекция с элементами беседы, практическая работа, самостоятельная работа, творческая поисковая работа. Проект мобильный. т.к. дает возможность уменьшить количество задач при успешном усвоении метода, а блочная подача позволит учащимся, пропустившему урок, приступить к работе, не испытывая трудностей.
• Отличительной особенностью проекта является знакомство с методами решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и способом «номограмм».

Знать и уметь:

• Теоремы о свойствах коэффициентов квадратного уравнения.
• 10 различных способов решения уравнений.
• Различные формулы для решения уравнений. Уверенно применять формулы, способы, теоремы для решения квадратных уравнений.
• Понимать лексику, связанную с предметом; строить, читать, понимать графики.
• При вычислении применять устные и письменные приемы, пользоваться современными техническими средствами обучения.

Способы

решения

квадратных

уравнений

Разложение на множители левой части уравнения

• Решим уравнение х 2 + 10х +24 = 0.

Разложим на множители левую часть:

х 2 + 10х +24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) =

=(х + 12) (х – 2)

х + 12) (х – 2) = 0

х + 12 =0 или х – 2= 0

х = - 12 х = 2

Ответ: - 12; 2.

Решить уравнения:

х 2 - х = 0; х 2 + 2х = 0; х 2 - 81 = 0;

х 2 + 4х +3= 0; х 2 + 2х -3 = 0.

• Метод выделения полного квадрата

• Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0.

Выделим полный квадрат двучлена:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2х∙ 3 + 3 2 – 3 2 - 7 = (х +3 ) 2 - 16

(х +3 ) 2 - 16 = 0

х(х +3 ) 2 = 16

(х +3 ) = 4 или (х +3 ) = - 4

х = 1 х = -7

Ответ: -7; 1.

Решить уравнения:

• х 2 - 8х + 15 = 0; х 2 + 12х + 20 = 0; х 2 - 6х + 8 = 0;

х 2 + 4х +3= 0; х 2 + 2х - 2= 0.

0). Основные формулы: (если D0). Основные формулы: (если D0). Если b – нечетное, то D = b 2 - 4ac Если b =2k , то Решите уравнения 2 х 2 - 5х +2 = 0; 6 х 2 + 5х +1 = 0. 4 х 2 - 5х +2 = 0. 2 х 2 - 6х +4 = 0. х 2 - 18х +17= 0." width="640"

Решение квадратных уравнений по формуле

ax 2 +bx+c=0 ,

Основные формулы: (если D0).

• Основные формулы: (если D0).
• Основные формулы: (если D0).

• Если b – нечетное, то D = b 2 - 4ac

• Если b =2k , то

Решите уравнения

2 х 2 - 5х +2 = 0; 6 х 2 + 5х +1 = 0.

4 х 2 - 5х +2 = 0.

2 х 2 - 6х +4 = 0.

х 2 - 18х +17= 0.

Приведенное уравнение

• Если в уравнении вида:

ax 2 +bx+c=0 ,

где a, b, с  R

а = 1 , то квадратное уравнение вида x 2 + p x+q=0 называется приведенным .

Теорема Виета

• Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2  +  px  +  q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q .
• Т . е.  x 1  +  x 2  = – p  и  x 1   x 2      =  q

Применение теоремы Виета

• Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x 1  +  x 2 и x 1 x 2 .

Вычисление корней

• Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения :

x 2   +   2 x  –  8  = 0,

мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна – 2 , а произведение должно равняться – 8 .

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

• Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
• Так, находя корни квадратного уравнения

x 2  –  7 x  +  10  = 0,

можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10 ) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7 .

• Решите уравнения
• x 2   - 7 x  –  30  = 0,
• x 2   +   2 x  –  15  = 0,
• x 2   -   7 x  + 6 = 0,
• 5 x 2   -   14 x  –  9  = 0,
• 3x 2   - 5 x  + 2 = 0,

Графическое решение квадратного уравнения

Решим уравнение х 2 + 2х - 3 = 0.

Запишем уравнение в виде х 2 = - 2х + 3.

В одной системе координат построим графики функций

у = х 2 и у = - 2х + 3.

Обозначим абсциссы точек пересечения графиков.

Ответ: -3; 1

Решение уравнений с помощью циркуля и линейки

• Решим уравнение ах 2 + b х + c = 0.

• Построим точки:

S ( -b/2a;(a+c)/2a) – центр окружности и точка А (0;1)

• Проведем окружность радиуса SA .
• Абсциссы точек пересечения с осью ОХ есть корни исходного уравнения.

Геометрический способ решения уравнения

• Решим уравнение y 2 - 6 у - 16 = 0.

Представим в виде y 2 - 6 у = 16 .

На рисунке «изображено» выражение y 2 - 6 у , т.е. их площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит y 2 - 6 у + 9 есть площадь квадрата со стороной у – 3. Выполняем замену y 2 - 6 у = 16 у-3 3

(у – 3) 2 =16 + 9 = 25

у – 3 = 5; у – 3 = - 5

у = 8; у = - 2. у

Ответ: -2; 8.

• Решить уравнение:

y 2 - 6 у + 16 = 0.

Решение уравнений методом переброски

• Решим уравнение ах 2 + b х + c = 0. Умножим обе части на а, получим а 2 х 2 + b ах + c а = 0
• Решим уравнение ах 2 + b х + c = 0. Умножим обе части на а, получим а 2 х 2 + b ах + c а = 0

Пусть ах = у, откуда х = у/а. Тогда у 2 + у b + c а = 0. Его корни у 1 ,

у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем

х 1 = у/а; х 2 = у/а. При этом коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, и поэтому его называют «способом переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и что самое важное, когда дискриминант точный квадрат.

Решим уравнение: 2х 2 - 11х + 15 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену х 2 - 11х + 30= 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5; у 2 = 6; х 1 = 2,5; х 2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Решить уравнение: 2х 2 - 9х + 9= 0; 10х 2 - 11х + 3 = 0;

3х 2 + 11х + 6 = 0. 6х 2 + 5х - 6 = 0. 3х 2 + 1х - 4 = 0.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

• Если а+ b+c=0 , то х 1 =1; то х 2 =с/а.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0. 1 + 6 – 7 = 0. Значит х 1 =1;

х 2 =-7/1 = -7. Ответ: -7; 1.

Решить уравнение:

5 х 2 - 7х + 2 = 0 ;11х 2 + 25х - 36 = 0; 345х 2 - 137х - 208 = 0 ;

3х 2 + 5х - 8 = 0; 4х 2 + 5х - 9 = 0.

• Если а- b+c=0 , то х 1 =-1; то х 2 =-с/а.
• Решим уравнение 2 х 2 + 3х + 1 = 0. 2 - 3 + 1 = 0. Значит х 1 =-1; х 2 =-1/2 . Ответ: -1; -1/2.
• Решить уравнение:

5 х 2 - 7х - 12 = 0 ;11х 2 + 25х + 14 = 0; 3х 2 + 5х + 2 = 0 ;

5х 2 + 4х - 1 = 0; х 2 + 4х + 3= 0.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

• Этот старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на стр. 83 (Брадис В.М. Четырехзначная математическая таблица.)
• Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения

z 2 + p z + g = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. криволинейная шкала номограммы построена по формулам. Полагая ОС = p , ED = g, OE =a (все в см) из подобия треугольников CAH и CDF получаем пропорцию. Откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + p z + g = 0, причем буква z означаем метку любой точки кривой шкалы.

Информационные ресурсы

• Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – М, Просвещение, 1992г.
• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М. Просвещение, 1990г.
• Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. – М. Квант № 4/1972г.стр.34.
• Газета «Математика» № 42/2001г «Квадратные уравнения».
• Литвинова С.А. «За страницами учебника математики». Издательство «Панорама» 2006г.