Презентация на тему "Площади геометрическиx фигур"

• Основные свойства площадей геометрических фигур.
• Площадь квадрата.
• Площадь прямоугольника.
• Площадь параллелограмма.
• Площадь треугольника.
• Площадь треугольника .
• Площадь трапеции.
• ТЕСТ.
• Список литературы.

• Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь .
• Эта площадь – единственная .
• Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом .
• Площадь квадрата со стороной , равной единице , равна единице .
• Площадь фигуры равна сумме площадей частей , на которые она разбивается .
• Равные многоугольники имеют равные площади.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S ( рис . а) . Докажем, что S=ab.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b , ( рис . б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна ( a+b) 2 .

С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S , равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 . По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем:

(a+b) 2 =S+S+a 2 +b 2 , или a 2 +2ab+b 2 =2S+a 2 +b 2 .

Отсюда получаем: S=ab

а)

б)

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту BH и CK . Докажем, что S=AD*BH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCK и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD ), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольник HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBSK равна S . По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH , а так как BC=AD , то S=AD*BH.

Пусть S- площадь треугольника ABC . Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH . Докажем, что S=0,5*AB*CH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD . Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC - общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограмма ABCD) , поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD , т.е. S=0,5*AB*CH.

Пусть в треугольнике ABC BC=a, CA=b и S – площадь этого треугольника.

Докажем, что S=0,5absinC.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=0,5ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h=bsinC.

Следовательно, S=0,5absinC.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC , высотой BH и площадью S . Докажем, что

S=0,5*(AD+BC)*BH.

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD , поэтому S=S ABD +S BCD . Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD , а отрезки BC и DH 1 за основание и высоту треугольника BCD . Тогда

S ABD =0,5* AD*BH, S BCD =0,5*BS*DH 1 .

Так как DH 1 =BH, то S BCD =0,5*BC*BH.

Таким образом,

S=0,5*AD*BH+0,5*BC*BH=0,5*(AD+BC)*BH.

• http://fio.ifmo.ru/archive/group13/c2wu5/text/test/tes9/test9.htm
• Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 14-е изд. – М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил..