Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему "Площади геометрическиx фигур"»
Основные свойства площадей геометрических фигур.
Площадь квадрата.
Площадь прямоугольника.
Площадь параллелограмма.
Площадь треугольника.
Площадь треугольника .
Площадь трапеции.
ТЕСТ.
Список литературы.
Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь .
Эта площадь – единственная .
Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом .
Площадь квадрата со стороной , равной единице , равна единице .
Площадь фигуры равна сумме площадей частей , на которые она разбивается .
Равные многоугольники имеют равные площади.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S ( рис . а) . Докажем, что S=ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b , ( рис . б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна ( a+b) 2 .
С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S , равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2 . По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем:
(a+b) 2 =S+S+a 2 +b 2 , или a 2 +2ab+b 2 =2S+a 2 +b 2 .
Отсюда получаем: S=ab
а)
б)
Рассмотрим параллелограммABCDс площадьюS.Примем сторонуADза основание и проведем высотуBHиCK. Докажем, чтоS=AD*BH.
Докажем сначала, что площадь прямоугольникаHBCKтакже равнаS.ТрапецияABCKсоставлена из параллелограммаABCKи треугольникаDCK.С другой стороны, она составлена из прямоугольникаHBCKи треугольникаABH.Но прямоугольные треугольникиDCKиABHравны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузыABиCDравны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямыхABиCDсекущейAD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограммаABCDи прямоугольникHBCKтакже равны,т. е площадь прямоугольникаHBSKравнаS.По теореме о площади прямоугольникаS=BC*BH,а так какBC=AD,тоS=AD*BH.
ПустьS-площадь треугольникаABC.Примем сторонуABза основание треугольника и проведем высотуCH. Докажем, чтоS=0,5*AB*CH.
Достроим треугольникABCдо параллелограммаABCD.ТреугольникиABCиDCBравны по трем сторонам(BC-общая сторона,AB=CDиAC=BDкакпротивоположные стороны параллелограммаABCD),поэтому их площади равны. Следовательно, площадьSтреугольникаABCравна половине площади параллелограммаABCD, т.е.S=0,5*AB*CH.
Пусть в треугольникеABC BC=a, CA=bиS– площадь этого треугольника.
Докажем, чтоS=0,5absinC.
Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формулеS=0,5ah,гдеh –высота треугольника. Ноhравна ординате точки А, т. е.h=bsinC.
Следовательно,S=0,5absinC.
Рассмотрим трапециюABCDс основаниямиADиBC,высотойBHи площадьюS. Докажем, что
S=0,5*(AD+BC)*BH.
ДиагональBDразделяет трапецию на два треугольникаABDиBCD, поэтомуS=SABD+SBCD.Примем отрезкиADиBHзаоснование и высоту треугольникаABD,а отрезкиBCиDH1за основание и высоту треугольникаBCD. Тогда