kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс)

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация предназначена для урока алгебры и начала анализа в 11 классе по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций". Эта первый урок в данной теме - изучение нового материала. На данном уроке учащиеся должны научиться исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность, уметь находить период тригонометрических функций.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс) »

Новый материал Функция Область определения D(y) y=sin x Множество значений E(y) y=cos x y=tg x y=ctg x R R R R

Новый материал

Функция

Область определения D(y)

y=sin x

Множество значений E(y)

y=cos x

y=tg x

y=ctg x

R

R

R

R

Домашнее задание № 1 (4,6), № 2 (4,6), № 3 (1,2), № 5 (2) стр.6

Домашнее задание

1 (4,6), № 2 (4,6),

3 (1,2), № 5 (2)

стр.6

Решение упражнений 1. Найдите область определения функции:

Решение упражнений

1. Найдите область определения функции:

Решение упражнений 2. Найти множество значений функции:

Решение упражнений

2. Найти множество значений функции:

Решение упражнений 3. Найдите область определения функции: Решение 0      0 • -1

Решение упражнений

3. Найдите область определения функции:

Решение

0

0

-1

Решение упражнений 3. Найдите область определения функции:

Решение упражнений

3. Найдите область определения функции:

Четность и нечетность тригонометрических функций 11 класс

Четность и нечетность тригонометрических функций

11 класс

Домашнее задание  № 12, 13 (все) стр.11

Домашнее задание

12, 13 (все)

стр.11

Симметрия относительно оси Оу и начала координат

Симметрия относительно оси Оу и начала координат

Четные функции

Четные функции

  • Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = f(x).
  • Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную( –x ).
Четные функции

Четные функции

  • Например: является ли четной функция f(x) = 3x 2 + 2
  • f (-x) = 3(-x) 2 + 2 = 3x 2 + 2 = f(x) функция четная
Четные функции

Четные функции

  • Проверим являются ли данные функции четными
  • f( - x) = 2(-x) 4 – 3(-x) 2 = 2x 4 - 3x 2 - четная
  • f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2 = – x 3 – 2x 2 Не является четной
  • f(x) = 2x 4 - 3x 2
  • f (x) = x 3 - 2x 2
График четной функции

График четной функции

  • График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ).
Нечетные функции Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство  f(-x)  = - f(x).

Нечетные функции

  • Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство

f(-x) = - f(x).

  • чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную ( x ) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками .
Нечетные функции Например:  является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х  f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = - 3x 3  -  х  = -( 3x 3 + х)= = - f(x) – функция нечетная

Нечетные функции

  • Например: является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х
  • f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = - 3x 3 - х = -( 3x 3 + х)=

= - f(x) функция нечетная

Нечетные функции

Нечетные функции

  • Проверим являются ли данные функции нечетными
  • f ( - x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 - 3x - не является нечетной
  • f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная
  • f(x) = 2x 4 + 3x
  • f (x) = x 3 - 2x
График нечетной функции

График нечетной функции

  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четные и нечетные функции Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными. Пример: y (x) = x 2  + 2x y(-x) = (-x) 2  + 2(-x) = x 2 - 2x

Четные и нечетные функции

  • Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными.

Пример: y (x) = x 2 + 2x

y(-x) = (-x) 2 + 2(-x) = x 2 - 2x

Для любого значения x верны равенства : Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Следовательно :  y= Sin x – нечетная функция  y= Cos x – четная функция

Для любого значения x верны равенства :

  • Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
  • Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
  • Sin(-x) = -Sin x
  • Cos(-x) = Cos x

Следовательно :

y= Sin x – нечетная функция

y= Cos x – четная функция

Так как для любого значения x из области определения функции  y = tg x верно равенство tg(-x) = -tg x , то y = tg x – нечетная функция.

Так как для любого значения x из области определения функции

y = tg x верно равенство

tg(-x) = -tg x ,

то y = tg x – нечетная функция.

Пример Выяснить, является ли функция  y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной. Решение : y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =    =2 + Sin 2 x = y(x)     y = 2 + Sin 2 x – четная функция .

Пример

Выяснить, является ли функция

y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной.

Решение :

y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =

=2 + Sin 2 x = y(x) 

y = 2 + Sin 2 x – четная функция .

Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной Решение:

Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной

Решение:

Работа в тетрадях Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:

Работа в тетрадях

Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:

Разбейте функции на три группы:

Разбейте функции на три группы:

  • четные
  • нечетные
  • не являются ни четными, ни нечетными
Проверяем ответы четные нечетные 1 ни чет., ни нечет.  2 4 5 3 9 10 7 6 15 8 11 14 12 13

Проверяем ответы

четные

нечетные

1

ни чет., ни нечет.

2

4

5

3

9

10

7

6

15

8

11

14

12

13

Подведение итогов урока y=sinx – нечетная функция, т.к. sin(-x)=-sinx График функции симметричен относительно начала координат 2. y=cosx – нечетная функция, т.к. cos(-x)=cosx График функции симметричен относительно оси Оу

Подведение итогов урока

  • y=sinx – нечетная функция,

т.к. sin(-x)=-sinx

График функции симметричен относительно начала координат

2. y=cosx – нечетная функция,

т.к. cos(-x)=cosx

График функции симметричен относительно оси Оу

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций 11 класс

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

11 класс

Для любого  значения x верны равенства : Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π . Такие функции называются периодическими  с периодом 2 π .

Для любого значения x верны равенства :

  • Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
  • Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
  • Sin (x + 2 π ) = Sin x
  • Cos (x + 2 π ) = Cos х

Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π .

Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .

    Функция f(x) называется  периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x  из области определения  этой функции выполняется равенство  f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции f(x).

    Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство

    f(x – T) = f(x) = f(x + T).

    Число T называется периодом функции f(x).

    Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x. Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство  Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є  Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .

    Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x.

    Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство

    Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .

    Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π Пример : Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3. Доказательство :   Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .   f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =   = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

    Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π

    Пример :

    Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3.

    Доказательство :

    Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .

    f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =

    = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

    Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π . Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є  Ζ , то по формулам приведения получаем tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x tg(x + π ) = tg x Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

    Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π .

    Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем

    tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x

    tg(x + π ) = tg x

    Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

    Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x. Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є  Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π –  наименьший положительный период функции y = tg x.

    Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x.

    Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π наименьший положительный период функции y = tg x.

    Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π . Доказательство : Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3) и tg((x - 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .

    Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .

    Доказательство :

    Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3)

    и

    tg((x - 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .


    Получите в подарок сайт учителя

    Предмет: Математика

    Категория: Презентации

    Целевая аудитория: 11 класс

    Автор: Шаланина Татьяна Николаевна

    Дата: 22.10.2015

    Номер свидетельства: 242517


    Получите в подарок сайт учителя

    Видеоуроки для учителей

    Курсы для учителей

    Распродажа видеоуроков!
    1600 руб.
    2660 руб.
    1280 руб.
    2130 руб.
    1250 руб.
    2090 руб.
    1580 руб.
    2640 руб.
    ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

    Добавить свою работу

    * Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

    Удобный поиск материалов для учителей

    Проверка свидетельства