Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс)
Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс)
Презентация предназначена для урока алгебры и начала анализа в 11 классе по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций". Эта первый урок в данной теме - изучение нового материала. На данном уроке учащиеся должны научиться исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность, уметь находить период тригонометрических функций.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс) »
Новый материал
Функция
Область определения D(y)
y=sin x
Множество значений E(y)
y=cos x
y=tg x
y=ctg x
R
R
R
R
Домашнее задание
№1 (4,6), № 2 (4,6),
№3 (1,2), № 5 (2)
стр.6
Решение упражнений
1. Найдите область определения функции:
Решение упражнений
2. Найти множество значений функции:
Решение упражнений
3. Найдите область определения функции:
Решение
0
0
•
-1
Решение упражнений
3. Найдите область определения функции:
Четность и нечетность тригонометрических функций
11 класс
Домашнее задание
№12, 13 (все)
стр.11
Симметрия относительно оси Оу и начала координат
Четные функции
Функцияy = f(x)называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенствоf(-x)=f(x).
Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функциюf(x)вместо переменной хпоставить переменную(–x).
f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2= – x 3 – 2x 2 Не является четной
f(x) = 2x 4 - 3x 2
f (x) = x 3 - 2x 2
График четной функции
График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ).
Нечетные функции
Функцияy = f(x)называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство
f(-x)=-f(x).
чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функциюf(x)вместо переменнойхпоставить переменную (–x)и получить первоначальную функциюс противоположными знаками.
Нечетные функции
Например:является ли нечетной функцияf(x)= 3x3+х
f(-x) = 3(-x)3+(-х)=-3x3-х=-(3x3+х)=
=-f(x)–функция нечетная
Нечетные функции
Проверим являются ли данные функции нечетными
f ( - x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 - 3x - не является нечетной
f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная
f(x) = 2x 4 + 3x
f (x) = x 3 - 2x
График нечетной функции
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четные и нечетные функции
Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными.
Пример: y (x) = x 2 + 2x
y(-x) = (-x) 2 + 2(-x) = x 2 - 2x
Для любого значения x верны равенства :
Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
Sin(-x) = -Sin x
Cos(-x) = Cos x
Следовательно :
y= Sin x – нечетная функция
y= Cos x – четная функция
Так как для любого значения x из области определения функции
y = tg x верно равенство
tg(-x) = -tg x ,
то y = tg x – нечетнаяфункция.
Пример
Выяснить, является ли функция
y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной.
Решение:
y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =
=2 + Sin 2 x = y(x)
y = 2 + Sin2x –четная функция .
Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной
Решение:
Работа в тетрадях
Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:
Разбейте функции на три группы:
четные
нечетные
не являются ни четными, ни нечетными
Проверяем ответы
четные
нечетные
1
ни чет., ни нечет.
2
4
5
3
9
10
7
6
15
8
11
14
12
13
Подведение итогов урока
y=sinx – нечетная функция,
т.к. sin(-x)=-sinx
График функции симметричен относительно начала координат
2. y=cosx – нечетная функция,
т.к. cos(-x)=cosx
График функции симметричен относительно оси Оу
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
11 класс
Для любого значения x верны равенства :
Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
Sin (x + 2 π ) = Sin x
Cos (x + 2 π ) = Cos х
Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π .
Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .
Функция f(x)называетсяпериодической , если существует такое число T≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство
f(x – T) = f(x) = f(x + T).
Число T называется периодом функцииf(x).
Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x.
Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство
Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .
Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π
Пример:
Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3.
Доказательство:
Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .
f(x + (2π)/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =
= Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)
Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π .
Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем
tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x
tg(x + π ) = tg x
Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.
Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x.
Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π–наименьший положительный период функцииy = tg x.
Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .
Доказательство:
Так как tg ((x + 3π)/3) = tg (x/3 +π) = tg (x/3)
и
tg((x - 3π)/3) = tg(x/3 –π) = tg (x/3),тоtg(x/3) –периодическая функция с периодом 3π.