kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс)

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация предназначена для урока алгебры и начала анализа в 11 классе по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций". Эта первый урок в данной теме - изучение нового материала. На данном уроке учащиеся должны научиться исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность, уметь находить период тригонометрических функций.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Презентация для урока алгебры и начала анализа по теме "Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций" (11 класс) »

Новый материал Функция Область определения D(y) y=sin x Множество значений E(y) y=cos x y=tg x y=ctg x R R R R

Новый материал

Функция

Область определения D(y)

y=sin x

Множество значений E(y)

y=cos x

y=tg x

y=ctg x

R

R

R

R

Домашнее задание № 1 (4,6), № 2 (4,6), № 3 (1,2), № 5 (2) стр.6

Домашнее задание

1 (4,6), № 2 (4,6),

3 (1,2), № 5 (2)

стр.6

Решение упражнений 1. Найдите область определения функции:

Решение упражнений

1. Найдите область определения функции:

Решение упражнений 2. Найти множество значений функции:

Решение упражнений

2. Найти множество значений функции:

Решение упражнений 3. Найдите область определения функции: Решение 0      0 • -1

Решение упражнений

3. Найдите область определения функции:

Решение

0

0

-1

Решение упражнений 3. Найдите область определения функции:

Решение упражнений

3. Найдите область определения функции:

Четность и нечетность тригонометрических функций 11 класс

Четность и нечетность тригонометрических функций

11 класс

Домашнее задание  № 12, 13 (все) стр.11

Домашнее задание

12, 13 (все)

стр.11

Симметрия относительно оси Оу и начала координат

Симметрия относительно оси Оу и начала координат

Четные функции

Четные функции

  • Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции верно равенство f(-x) = f(x).
  • Чтобы узнать является ли функция четной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную( –x ).
Четные функции

Четные функции

  • Например: является ли четной функция f(x) = 3x 2 + 2
  • f (-x) = 3(-x) 2 + 2 = 3x 2 + 2 = f(x) функция четная
Четные функции

Четные функции

  • Проверим являются ли данные функции четными
  • f( - x) = 2(-x) 4 – 3(-x) 2 = 2x 4 - 3x 2 - четная
  • f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) 2 = – x 3 – 2x 2 Не является четной
  • f(x) = 2x 4 - 3x 2
  • f (x) = x 3 - 2x 2
График четной функции

График четной функции

  • График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОУ).
Нечетные функции Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство  f(-x)  = - f(x).

Нечетные функции

  • Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции верно равенство

f(-x) = - f(x).

  • чтобы узнать является ли функция нечетной нужно в функцию f(x) вместо переменной х поставить переменную ( x ) и получить первоначальную функцию с противоположными знаками .
Нечетные функции Например:  является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х  f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = - 3x 3  -  х  = -( 3x 3 + х)= = - f(x) – функция нечетная

Нечетные функции

  • Например: является ли нечетной функция f(x) = 3x 3 + х
  • f (-x) = 3(-x) 3 + (-х) = - 3x 3 - х = -( 3x 3 + х)=

= - f(x) функция нечетная

Нечетные функции

Нечетные функции

  • Проверим являются ли данные функции нечетными
  • f ( - x) = 2(-x) 4 + 3(-x) = = 2x 4 - 3x - не является нечетной
  • f ( - x) = (- x ) 3 – 2 (- x ) = – x 3 + 2x нечетная
  • f(x) = 2x 4 + 3x
  • f (x) = x 3 - 2x
График нечетной функции

График нечетной функции

  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четные и нечетные функции Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными. Пример: y (x) = x 2  + 2x y(-x) = (-x) 2  + 2(-x) = x 2 - 2x

Четные и нечетные функции

  • Функции могут быть как четными, нечетными , так и ни четными, ни нечетными.

Пример: y (x) = x 2 + 2x

y(-x) = (-x) 2 + 2(-x) = x 2 - 2x

Для любого значения x верны равенства : Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x Следовательно :  y= Sin x – нечетная функция  y= Cos x – четная функция

Для любого значения x верны равенства :

  • Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
  • Sin(-x) = -Sin x Cos(-x) = Cos x
  • Sin(-x) = -Sin x
  • Cos(-x) = Cos x

Следовательно :

y= Sin x – нечетная функция

y= Cos x – четная функция

Так как для любого значения x из области определения функции  y = tg x верно равенство tg(-x) = -tg x , то y = tg x – нечетная функция.

Так как для любого значения x из области определения функции

y = tg x верно равенство

tg(-x) = -tg x ,

то y = tg x – нечетная функция.

Пример Выяснить, является ли функция  y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной. Решение : y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =    =2 + Sin 2 x = y(x)     y = 2 + Sin 2 x – четная функция .

Пример

Выяснить, является ли функция

y = 2 + Sin 2 x четной или нечетной.

Решение :

y(-x) = 2 + Sin 2 (-x) = 2 + (-Sin x) 2 =

=2 + Sin 2 x = y(x) 

y = 2 + Sin 2 x – четная функция .

Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной Решение:

Пример: определите, является ли данная функция четной или нечетной

Решение:

Работа в тетрадях Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:

Работа в тетрадях

Определите, являются ли данные функции четными или нечетными:

Разбейте функции на три группы:

Разбейте функции на три группы:

  • четные
  • нечетные
  • не являются ни четными, ни нечетными
Проверяем ответы четные нечетные 1 ни чет., ни нечет.  2 4 5 3 9 10 7 6 15 8 11 14 12 13

Проверяем ответы

четные

нечетные

1

ни чет., ни нечет.

2

4

5

3

9

10

7

6

15

8

11

14

12

13

Подведение итогов урока y=sinx – нечетная функция, т.к. sin(-x)=-sinx График функции симметричен относительно начала координат 2. y=cosx – нечетная функция, т.к. cos(-x)=cosx График функции симметричен относительно оси Оу

Подведение итогов урока

  • y=sinx – нечетная функция,

т.к. sin(-x)=-sinx

График функции симметричен относительно начала координат

2. y=cosx – нечетная функция,

т.к. cos(-x)=cosx

График функции симметричен относительно оси Оу

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций 11 класс

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

11 класс

Для любого  значения x верны равенства : Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π . Такие функции называются периодическими  с периодом 2 π .

Для любого значения x верны равенства :

  • Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
  • Sin (x + 2 π ) = Sin x Cos (x + 2 π ) = Cos х
  • Sin (x + 2 π ) = Sin x
  • Cos (x + 2 π ) = Cos х

Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π .

Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .

    Функция f(x) называется  периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x  из области определения  этой функции выполняется равенство  f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции f(x).

    Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство

    f(x – T) = f(x) = f(x + T).

    Число T называется периодом функции f(x).

    Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x. Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство  Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є  Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .

    Покажем, что число 2 π является наименьшим положительным периодом функции y = Cos x.

    Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство

    Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .

    Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π Пример : Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3. Доказательство :   Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .   f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =   = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

    Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции y = Sin x также равен 2 π

    Пример :

    Доказать, что f(x) = Sin 3x – периодическая функция с периодом ( 2 π ) /3.

    Доказательство :

    Данная функция определена для всех x є R , поэтому достаточно показать, что для любого x верно равенство f(x + T) = f(x) .

    f(x + (2 π )/3) = Sin 3(x + (2 π )/3) =

    = Sin (3x + 2 π ) = Sin 3x = f(x)

    Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π . Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є  Ζ , то по формулам приведения получаем tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x tg(x + π ) = tg x Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

    Покажем, что функция y= tg x является периодической с периодом π .

    Если x принадлежит области определения этой функции, т.е. x ≠ - π /2 + π n, n є Ζ , то по формулам приведения получаем

    tg(x – π ) = -tg( π – x) = -(-tg x) = tg x

    tg(x + π ) = tg x

    Таким обтазом, tg(x – π ) = tg x = tg(x + π ). Следовательно, π – период функции у = tg x.

    Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x. Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є  Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π –  наименьший положительный период функции y = tg x.

    Покажем, что π – наименьший положительный период функции y = tg x.

    Пусть Т – период тангенса, тогда tg(x + T) = tg x, откуда при x = 0 получаем tg T = 0, T = k π , k є Ζ . Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то π наименьший положительный период функции y = tg x.

    Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π . Доказательство : Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3) и tg((x - 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .

    Доказать, что у = tg (x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .

    Доказательство :

    Так как tg ((x + 3 π )/3) = tg (x/3 + π ) = tg (x/3)

    и

    tg((x - 3 π )/3) = tg(x/3 – π ) = tg (x/3), то tg(x/3) – периодическая функция с периодом 3 π .


    Получите в подарок сайт учителя

    Предмет: Математика

    Категория: Презентации

    Целевая аудитория: 11 класс

    Автор: Шаланина Татьяна Николаевна

    Дата: 22.10.2015

    Номер свидетельства: 242517


    Получите в подарок сайт учителя

    Видеоуроки для учителей

    Курсы для учителей

    ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

    Добавить свою работу

    * Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

    Удобный поиск материалов для учителей

    Ваш личный кабинет
    Проверка свидетельства