Презентация по теме "Тригонометрия от простого к сложному"

Тригонометрия : от простого к сложному

• Историческая справка
• Справочные материалы
• Таблица значений ТРФ, чётности и нечётности, периодичности
• Формулы приведения
• Нахождение значений ТРФ по заданному значению другой, а также ТРУР
• Тригонометрические уравнения
• 12 задание ЕГЭ профильная математика

• Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.
• В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древне-вавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.
• Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном  Г и п п а р х . Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии.( Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)
• В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике»  Насир Эддина  (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого  Региомонтана  (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.
• Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью. Существенный вклад в развитие тригонометрии внес  Эйлер . Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.
• В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Справочный материал 1

Справочный материал 2

Справочный материал 3

Чётность или нечётность тригонометрических функций

Значения тригонометрических

• Четной  называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно оси ординат): f(-x) = f(x). Примером четной функции является косинус:
• cos(−x)=cosx Нечетной  называется функция, которая меняет свое значение при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно начала координат): f(-x) = -f(x). Примером нечетной функции являются синус, тангенс и котангенс:
• sin(−x)= −sinx tg(−x)= −tgx ctg(−x)= −ctgx

функций можно посмотреть в

справочном материале!

Периодичность тригонометрических функций

• Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число T (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T).
• Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.
• sinx, cosx — периодические функции с наименьшим положительным периодом 2π:
• sin(x+2kπ)=sinx, cos(x+2kπ)=cosx, k∈Z.
• tgx, ctgx — периодические функции с наименьшим положительным периодом π:
• tg(x+kπ)=tgx, ctg(x+kπ)=ctgx, k∈Z.

Разбор заданий

Задания для самостоятельного разбора

Ответы

• 6
• -15
• -24
• 72
• 12
• -120
• 14

Нажмите здесь, чтобы

показать/ скрыть ответы !

Формулы приведения

Зачем нужны формулы приведения?

Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам I четверти.

Мнемоническое правило для формул приведения

1) Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс). Чтобы ответить на этот вопрос нужно, не смейтесь, – подвигать головой вдоль оси, на которой располагается ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):

Например, в формулах sin⁡((3π/2)+α), cos⁡(10π+α), tg⁡((5π/2)+α) – ключевые точки – это 3π/2, 10π, 5π/2.

Так вот, если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос : « Меняется ли название функции на кофункцию ?» Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию ?».

2) Ставим справа, на выходе, тот знак, какой несет в себе левая, исходная, часть. Данное правило еще называется «лошадиным» :).

Разбор задач

Разбор задач

Задания для самостоятельного разбора

1.

2.

-2,88

-39

3.

23

4.

0

5.

6.

-0,8

7.

0,5

8.

-1

-0,1

9.

-3

Нажмите здесь, чтобы

показать/ скрыть ответы !

Нахождение значений ТРФ по заданному значению другой, а также ТРУР

Разбор заданий

Задания для самостоятельного разбора

Номер задания Ответ

1. -29

2. -39

3. 23

4. 0,75

5. 3

6. -1

7. -0,1

Нажмите здесь, чтобы

показать/ скрыть ответы !

Тригонометрические уравнения

• Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:
• 1) Можно применять тригонометрические формулы . При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• 2) Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• 3) При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• 4) Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• 5) Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• 6) Помните про  ОГРАНИЧЕНИЯ  (в тригонометрических уравнениях ограничения в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.
• Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Уравнение cos x = a

Уравнение sin x = a

Уравнение tg x = a и ctg x = a

Задачи

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:

1) разделить обе части уравнения на cos x;

2) решить получившееся выражение.

Решим уравнение: 2 sin x – 3 cos x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos x:

2 sin x 3 cos x 0

———— – ———— = ———

cos x cos x cos x

Получаем:

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

3

tg x = —

2

3

x = arctg — + πn

2

3

Ответ: x = arctg — + πn; n Є Z

2

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени a sin x + b cos x = 0.

Найдем корни:

t1 = 1

t2 = 2.

Значит:

либо tg x = 1,

либо tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1:

x = arctg 1 + πn.

x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2:

x = arctg 2 + πk.

Ответ: x = π/4 + πn; n Є Z

x = arctg 2 + πk. k Є Z

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:

1) Разделить обе части уравнения на cos 2 x;

2) Ввести новую переменную t, заменяющую tg x

(t = tg x);

3) Решить получившееся уравнение.

Решим уравнение: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos2 x:

sin 2 x 3 sin x cos x 2 cos 2 x 0

——— – —————— + ———— = ———

cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x

Получаем:

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную t и получим квадратное уравнение:

t 2 – 3t + 2 = 0.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени a sin 2  x + b sin x cos x + c cos 2  x = 0

Задачи для самостоятельного разбора

Нажмите здесь, чтобы

показать/ скрыть ответы !

Задание 12 егэ проф. математика

а) Решите уравнение:

Решение: Используя равносильные преобразования, получим следующую цепочку систем уравнений:

Отсюда получаем:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:

Данное множество чисел является ответом пункта  а)  задачи. Используя графический метод отбора корней тригонометрического уравнения, легко получить единственный корень:

Для закрепления материала я советую загрузить

данный архив . Рекомендую сначала самостоятельно

разобрать данные задания, а уже потом смотреть

предложенное решение.

который является ответом к пункту  б) .

Покажем решения последней системы точками на числовой окружности: