Презентация к уроку "Уравнения с параментрами"

Решение задач с параметрами

Преподаватель математики Тихонова Надежда Викторовна

Любую задачу с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают уровень сформированности умений наблюдать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Математическое понятие параметра

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами , а уравнение (неравенство) параметрическим.

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Основные типы задач с параметрами

• Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.
• Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.
• Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.
• Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Основные методы решения задач

• Аналитический, т. е. с помощью алгебраических выражений.
• Графический, т. е. с помощью построения графиков функций.
• Решение относительно параметра, т.е. в случае, когда параметр считается еще одной переменной.

Найти значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет только одно решение

Задача 1

I способ

Ответ:

II способ

Ответ:

III способ

Ответ:

IV способ

a

0

-1

x

Ответ:

Задача 2.

Найти значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень

7

13/3

-2

2

Задача 4.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет более трех различных корней

Анализ задания и поиск решения

• Особенностью данного уравнения является то, что оно в неявном виде содержит одинаковые операции над выражениями

• План решения может быть таким:

• Записать данное уравнение в виде
• Убедиться , что - монотонная функция.
• Осуществить переход к уравнению и решить его.

ЗАДАЧА №1

При каких значениях параметра a система имеет ровно два рещения?

Решение.

A (-1; 2) , С (x; y) : АС =

С (x; y), В(2;6) : ВС =

АВ =

Таким образом , произвольная точка С (x;y) – точка отрезка с концами (-1;2) и (2;6).

Составим уравнение прямой , проходящей через точки (-1;2) и (2;6) :

Подставляем координаты концов указанного отрезка в уравнение прямой

Итак, отрезок с концами (-1;2) и (2;6) задаётся уравнением при условии

Исходную систему перепишем в виде:

Рассмотрим уравнение:

на отрезке

Нас интересуют значения , при которых оба корня указанного уравнения принадлежат отрезку

Пусть

Заметим, какое бы мы не брали, вершина параболы есть , то есть вершина параболы – из отрезка

x

2

-1

Ответ:

Задача №2

Найти все значения параметра a, при каждом из которых

уравнение имеет ровно два различных действительных корня

Решение.

Пусть

Замечаем, что в левой части равенства – произведение двух возрастающих функций, при этом

Значит, слева – возрастающая функция (воспользовались свойством: Произведение строго возрастающих неотрицательных функций есть функция строго возрастающая).

Аналогично, справа – возрастающая функция.

Итак, имеем уравнение , где

- непрерывная, монотонная на области определения функция

Воспользуемся следующим свойством :

Уравнение f(u) = f(m) равносильно уравнению u=m на М, где f(t) определена на М, непрерывна и строго монотонна на М.

или

Ответ:

Задача №3

Найти все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно одно решение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся координатно-параметрическим методом. Будем работать в системе координат (хоа).

0

1

х

0

1

х

0

1

x

• Найдём значения параметра , отвечающие пересечению прямой

и параболы

2. Найдём значения параметра , отвечающие пересечению прямой

и параболы

0

x

Ответ:

ЗАДАЧА № 4

Найти все значения параметра a, при которых неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение

Y

В

А

0

X

ЗАДАЧА №6

Найти все значения параметра a, при которых система имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.

Решение.

Преобразуем первое уравнение системы:

Наименьшее значение выражения, стоящего в правой части равно 169. если удастся доказать, что наибольшее значение левой части также 169, то задача будет решена. Тогда а=1 : у =± 3, х =± 2

Преобразуем

Видим, что , а в силу второго уравнения системы

Тогда можно представить полученные дроби в виде тригонометрических выражений (для них выполняется основное тригонометрическое тождество)

А напоследок случай из жизни Сократа о значимости некоторых параметров.

Прохожий спросил философа Сократа:

- Сколько часов пути до города?

Сократ ответил:

- Иди…

Путник пошёл, и, когда он прошёл двадцать шагов, Сократ крикнул:

- Два часа!

- Что же ты мне сразу не сказал? – возмутился тот.

- А откуда я знал, с какой скоростью ты будешь идти!