Полезные теоремы Чевы и Менелая

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.),

- а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Полезные теоремы Чевы и Менелая »

Полезные теоремы, не входящие в курс школьной геометрии.

ABC AB AC BC

Доказательство :

Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB , BC , AC соответственно в точках C 1, A 1 и B 1 (см. рис.). Проведем произвольную прямую P , пересекающую прямую l в точке N , а через точки A , B и C соответственно прямые a , b и c , параллельные прямой l и пересекающие p в точках K , L , M . По теореме о пропорциональных отрезках:

Перемножая равенства и учитывая, что

получаем искомое равенство.

Достаточность.

Пусть дан треугольник ABC , точки

и пусть выполнено необходимое условие. Докажем, что точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой. Проведем прямую через заданные две точки A 1 и B 1 . Эта прямая пересекает прямую AB в некоторой точке C' .

Действительно, если доказать противное, а именно, что прямая A 1 B 1 ' ║( AB ), то из подобия треугольников CA 1 B 1 и CBA следует, что

С учетом необходимого условия получим, что

Но такой точки не может существовать, и мы пришли к противоречию.

По условию имеем:

с другой стороны, в силу необходимого условия справедливо равенство

Откуда получаем

и приходим к выводу, как и в случае доказательства обобщенной теоремы Чевы , что точки C 1 и C' совпадают.

Теорема Чевы

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки

Отрезки

пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство :

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a , b , c проходят через вершины A , B , C треугольника ABC и пересекает прямые BC , CA , AB в точках

соответственно ( см. рис.) . Тогда прямые a , b , c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Доказательство :

Для случая параллельных прямых (слева на рисунке ) из теоремы Фалеса имеем соотношение

Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом

Тогда, проведя через вершину B прямую

найдем точку B' ее пересечения с прямой AC . Как и в случае доказательства первой теоремы, получим

0, то B' и B 1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ B' и B 1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A 1 на отрезке BC или точка C 1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B 1 и B 1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке ). Треугольник AC 1 C подобен треугольнику BC 1 M ." width="640"

Если λ 0, то B' и B 1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ B' и B 1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A 1 на отрезке BC или точка C 1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B 1 и B 1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке ). Треугольник AC 1 C подобен треугольнику BC 1 M .

Отсюда следует

из подобия треугольников AA 1 C и NA 1 B получаем

Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем

Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

Приведем некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие 14.1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае

Следствие 14.2.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство :

Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства:

Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим условие теоремы Чевы.

Следствие 14.3.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона . Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB 1 = AC 1; BA 1 = BC 1 и CA 1 = CB 1. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 14.3.

Следствие 14.4. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство :

Рассмотрим 2 случая.

1. Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 14.1.3, a ). Имеем

Отсюда следует

Следствие доказано.

Пусть треугольник ABC тупоугольный ( см. рис. ). Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1 можно записать такие же соотношения с учетом знака. Имеем

Отсюда следует доказательство.