Открытый урок "Готовимся к ЕГЭ по математике. Решение задач на смеси, растворы и сплавы"

Готовимся к ЕГЭ по математике

Решение задач на смеси,

растворы и сплавы

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери

«При единении и малое растет, при раздоре и

величайшее распадается». Саллюстий Гай Крисп

Задачи на смеси часто включают в экзаменационные варианты выпускных классов и многие учащиеся испытывают сложности при их решении.

Задачи на смеси имеют практическую направленность:

пьём чай, создаём в чашке нужную

нам концентрацию сахара и воды;

сушим ягоды, фрукты: понимаем, что чем дольше их сушим, тем меньше в них остаётся воды, при этом масса сухого вещества не меняется.

Говоря о смесях, растворах и сплавах мы употребляем термин « смесь » независимо от её вида: твёрдая, жидкая, сыпучая, газообразная. Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество в каждой задаче определяется отдельно.

Проверим домашнее задание

• Мини-проект группы кондитеров.
• Мини-проект группы ювелиров.
• Мини-проект группы химиков.

Подведем итог:

Что значит:

• концентрация раствора 3 %;
• молоко содержит

1,5 % жира;

с)золотое кольцо

имеет 585 пробу?

Подведем итог :

1.К одной части сахара прибавили

4 части воды.

Какова концентрация

полученного раствора?

2.Сколько сахара содержится

в 200 г 10%- го сахарного

сиропа?

Подведем итог :

• Килограмм соли

растворили в 9 литрах

воды. Какова концентрация

раствора?

Задачи на растворы для кондитеров:

№ 1.Смешивают 300 граммов 90%-процентного раствора соли и 900 граммов 30%-процентного раствора той же соли. Определите содержание соли в полученном растворе.

№ 2. Какой раствор получится при смешивании 300 граммов 50% процентного раствора соли и раствора, в котором 120 граммов соли составляют 60%?

Задачи на сплавы для ювелиров:

№ 1.Имеются сплавы золота и серебра. В одном сплаве эти металлы находятся в отношении 2:3, а в другом в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

№ 2.Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Задачи для химиков:

• Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
• Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе ?

Задача № 1 (кондитеры)

Задача № 2 (кондитеры)

1 (ювелиры): Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

*х + * у = * 1

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

* х + * у = * 1

Записываем одну из систем:

х + у = 1

х + у =

х + у = 1

х + у =

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

Золото: Серебро = 2: 3

Золото: Серебро = 3: 7

у кг

х кг

Золото: Серебро = 5: 11

2 (ювелиры): Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

1. Изобразим сплавы в виде прямоугольников

М С М С

+ =

х(г) (200 –х) (г) 200 (г)

0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = 140

2. Обозначим

М С М С

+ =

х(г) у(г) 200(г)

х + у = 200

0,15х + 0,65у =0,3 *200

х = 140 и у = 60

Ответ: 140г меди и 60г свинца

30%

15%

65%

15%

65%

30%

1 (химики): Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

• Решение 1: аналитическая модель. Обозначим x массу первого

раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение:

30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150

• Решение 2: с использованием графика.

Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников:

15x = 5 (600- x)

x =150

Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора

П (%)

S 1

30

S 1 = S 2

S 2

15

10

0

x

m(г)

600

2 (химики): Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

• Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
• Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
• При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
• Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.

Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

ЕГЭ - 2024 задачи на смеси и сплавы

1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20%

цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40%

цинка. Найдите процентную концентрацию меди в

получившемся сплаве.

Ответ: 65% меди.

2. Для приготовления маринада необходим

2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить

воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы

получить раствор для маринада?

Ответ: 350 г воды

Домашнее задание:

• Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Спасибо за внимание!

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель:

Переведем проценты в дроби:

6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

Пусть надо взять х т «бедной» руды,

которая будет содержать 0,06х т меди,

а «богатой» руды надо взять (20-х) т,

которая будет содержать 0,11(20 - х) т

меди.

Так как получившиеся 20 т руды

будут содержать 20*0,08 т меди, то

получим уравнение:

0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.

Решив уравнение, получим х = 12.

Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди