kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Обобщающий урок. Четыре замечательные точки треугольника.

Нажмите, чтобы узнать подробности

В этой работе детально рассматривается место замечательных точек треугольника , их роль в решении геометрических задач. Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника. 

Замечательными точками треугольника являются

  • Точки пересечения:
    • Медиан — центроид, центр тяжести (масс);
    • Биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности;
    • Высот — ортоцентр;
    • Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
    • Симедиан — точка Лемуана;
    • Биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — точка Шпикера;
    • Отрезков, соединяющих вершины треугольника:
      • c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергонна;
      • c точками касания противоположных сторон и вневписанных окружностей — точка Нагеля;
      • c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
      • с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.
      • c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара;
  • Центр окружности девяти точек.

Просмотр содержимого документа
«Обобщающий урок. Четыре замечательные точки треугольника. »

Вдохновение нужно в геометрии  не меньше, чем в поэзии.  А.С.Пушкин

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. А.С.Пушкин

Обобщающий урок. Четыре замечательные точки треугольника.

Обобщающий урок.

Четыре замечательные точки

треугольника.

Цель урока.  Систематизировать, расширить и углубить ваши знания, умения и навыки :  - о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра треугольника;  - о четырёх замечательных точках треугольника;  - уметь использовать эти знания при решении  задач.  Развивать вашу наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.  Вызвать у вас потребность в обосновании своих высказываний.

Цель урока.

Систематизировать, расширить и углубить ваши знания, умения и навыки :

- о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра треугольника;

- о четырёх замечательных точках треугольника;

- уметь использовать эти знания при решении задач.

Развивать вашу наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Вызвать у вас потребность в обосновании своих высказываний.

План урока.

План урока.

  • Проверка домашнего задания.
  • Повторение теоретического материала.
  • Решение задач на отработку знаний, умений и навыков.
  • Домашнее задание.
  • Проверочная самостоятельная работа.
Ход урока. 1. Проверка домашнего задания:  В  серединный перпендикуляр, Р АЕС =27см, АВ=18см. Найти: АС.  Н  Е Решение: … А С

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания:

В

серединный перпендикуляр,

Р АЕС =27см, АВ=18см.

Найти: АС.

Н

Е

Решение: …

А

С

№ 720. Дано: АВС-разносторонний,  h -серединный перпендикуляр.  Выяснит: может ли точка В принадлежать h ? h  С  А Рассуждения: …

№ 720.

Дано: АВС-разносторонний, h -серединный перпендикуляр. Выяснит: может ли точка В принадлежать h ?

h

С

А

Рассуждения: …

2 . Устно: ответить на вопросы!  * Что вам известно о точках биссектрисы неразвёрнутого угла?  Сформулируйте теорему обратную данной.  * Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.  * Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку.  * Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?  Сформулируйте теорему обратную данной.  * Сколько серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они обладают?  * Сколько высот можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?  Перечислите четыре замечательные точки треугольника !

2 . Устно: ответить на вопросы!

* Что вам известно о точках биссектрисы неразвёрнутого угла?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

* Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку.

* Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сколько серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они обладают?

* Сколько высот можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?

Перечислите четыре замечательные точки треугольника !

Точка пересечения медиан! . М – точка пересечения медиан АВС; АМ:МА 1 =ВМ:МВ 1 =СМ:МС 1 ==2:1 С А 1 В 1 М А В С 1

Точка пересечения медиан!

.

М – точка пересечения медиан АВС;

АМ:МА 1 =ВМ:МВ 1 =СМ:МС 1 ==2:1

С

А 1

В 1

М

А

В

С 1

Точка пересечения биссектрис! С О - точка пересечения биссектрис АВС В 1 А 1 О В А С 1

Точка пересечения биссектрис!

С

О - точка пересечения

биссектрис АВС

В 1

А 1

О

В

А

С 1

Точка пересечения серединных перпендикуляров! С К – точка пересечения   серединных  перпендикуляров к сторонам АВС ; АК=ВК=СК. М N K В А  P

Точка пересечения серединных перпендикуляров!

С

К – точка пересечения

серединных перпендикуляров к сторонам АВС ; АК=ВК=СК.

М

N

K

В

А

P

Точка пересечения высот  ( или их продолжений)! Н . В А 1 А 1 С 1 В С 1 Н А А С С В 1 В 1 Н – точка пересечения высот ( или их продолжений) С 1 В А С(Н)

Точка пересечения высот ( или их продолжений)!

Н

.

В

А 1

А 1

С 1

В

С 1

Н

А

А

С

С

В 1

В 1

Н – точка пересечения

высот ( или их продолжений)

С 1

В

А

С(Н)

Задача 1. В остроугольном  АВС  А D перпендикулярна ВС, С F перпендикулярна АВ, А D пересекает CF в точке М.  Докажите, что угол АВМ равен углу МСА. В D  F  M Н А С

Задача 1.

В остроугольном АВС А D перпендикулярна ВС, С F перпендикулярна АВ, А D пересекает CF в точке М.

Докажите, что угол АВМ равен углу МСА.

В

D

F

M

Н

А

С

Задача 2.  В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ= m , угол АВС равен . Найдите расстояние от точки М до стороны АС.  α С D M Е А В

Задача 2.

В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ= m , угол АВС равен . Найдите расстояние от точки М до стороны АС.

α

С

D

M

Е

А

В

Домашнее задание: На рис.1 окружность с центром в точке О касается сторон угла МК N в точках М и N . Найдите угол МК N и расстояние М N ,  если ОМ=1 см,  КМ=2см.     2) Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром в точке О.  а) Найдите ОА, если r =5 см, угол А равен 60 º.  б) Найдите r , если ОА=14 дм, угол А равен 90 . К M О рис.1 N º

Домашнее задание:

  • На рис.1 окружность с центром в точке О касается сторон угла МК N в точках М и N . Найдите угол МК N и расстояние М N ,

если ОМ=1 см,

КМ=2см.

2) Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром в точке О.

а) Найдите ОА, если r =5 см, угол А равен 60 º.

б) Найдите r , если ОА=14 дм, угол А равен 90 .

К

M

О

рис.1

N

º

Самостоятельная работа . Четыре замечательные точки треугольника.

Самостоятельная работа .

Четыре замечательные точки треугольника.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Обобщающий урок. Четыре замечательные точки треугольника.

Автор: Юдина Наталья Вячеславовна

Дата: 22.11.2014

Номер свидетельства: 133951

ПОЛУЧИТЕ БЕСПЛАТНО!!!
Личный сайт учителя
Получите в подарок сайт учителя


Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства