Н?ктелерді? геометриялы? орны ?дісі

Нүктелердің геометриялық орны әдісі

Мысал

шеңбері мен

түзуі берілген. Шеңберден тыс орналасып, берілген түзу

мен шеңберден

қашықтықта орналасқан нүкте салу керек.

1а-сурет 1б-сурет

Шешуі. Анализ. Іздеп отырған

нүктесі екі шартты қанағаттандыруы тиіс:

1)берілген

түзуінен

қашықтықта болуы тиіс;

2)берілген шеңбердің

центрінен

қашықтықта болуы тиіс.

Бұдан мынадай салу шығады.

Салу. 1) Берілген

түзуінен

қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық

орны – параллель қос түзу саламыз.

шеңберін саламыз.

2)

-

3) Салынған нүктелердің геометриялық орны қилысу нүктелерін

және

деп белгілейміз.

мен

іздеп отырған нүктелеріміз

қилысу нүктелері

есебінде

нүктелері екі нүктелердің геометриялық орнының

және

Дәлелдеме.

екі шартты да қанағаттандырады. Олай болса, бұл нүктелер іздеп

отырған нүктелеріміз.

Зерттеу. 1 – 2 салулар барлық уақытта орындалады және бір мәнді болады. Шешімдерінің болуы – берілген

түзуі

орналасуына байланысты.

мен

шеңберінің өз ара

Әр түрлі жағдайларды қарастырайық.

Бұл жағыдай да, егер

түзуі берілген

1)Берілген

шеңберін қиып өтпейді (1 а-сурет).

центрінен

одан да көп нүктеде қиып өтеді, бұлай болуы мүмкін емес.

түзуіне дейінгі

қашықтығы

шартын қанағаттандыратын болса, онда есептің екі тек қана екі шешімі

болады. Шындығында, егер есептің екіден артық шешімі болады десек, онда

түзу шеңберді екі нүктеде ғана емес

Егер

болса, онда есептің бір ғана шешімі болады.

Егер

болса, онда есептің шешімі болмайды.

2)Берілген

түзуі берілген

шеңберін жанап өтеді (1,б-сурет). Бұл жағдай да

-тың

кез келген

мәнінде есептің үш шешімі болады.

3)

түзуі мен

шеңбері қилысады (1, в-сурет). Бұл жағдайда есептің барлық

уақытта төрт шешімі болады.

1в-сурет

Симметрия әдісі

Мысал

қабырғалары және

айырмасы бойынша

мен

мен

бұрыштарының

үщбұрыш салу керек.

3 -сурет

нүктелерінің

жә не

болса,

үшбұрышы салынған делік (3-сурет). Олай

Шешуі. Анализ.

салыстырып бейнелейік.

түзуімен

симметралін салып,

болып шығады.

кесіндісін

Сонда шыққан бұрыштарды қарастырсақ,

яғни

болады деген

қорытындыға келеміз.

Сонымен, есеп екі қабырғасы және сол қабырғалар арасындағы бұрыштары бойынша көмекші

үшбұрышын салуға келіп тіреледі.

Салу. 1)

үшбұрышын саламыз (

бойынша).

2)

және

нүктелерінің симметриялы -

түзуін жүргіземіз.

3)

түзуінен қарағанда

нүктесіне симметриялы

нүктесін табамыз.

- іздеп отырған үшбұрышымыз.

мен

Симметрияның қасиеті бойынша

Дәлелдеме. Салу бойынша

үшбұрышында

Бұдан

үшбұрышында қабырғалар

екендігі шығады.

үшбұрышына тең.

үшбұрышы

Зерттеу. Егер

(үшбұрышта үлкен бұрышқа қарысы үлкен қабырға жатады) және

болса, онда есептің бір ғана шешімі болады (тең екі үшбұрыш).

Егер

болса, онда есептің шешімі болмайды.

болса, бұл жағдайда да есептің шешімі болмайды.

Егер

Өйткені үшбұрыштың екі бұрышының айырмасы

тан кіші болуы тиіс.

Параллель көшіру әдісі

Мысал

төрт қабырғасы бойынша трапеция салу керек.

1-сурет

Шешуі. Анализ

- іздеп отырған трапециямыз болсын (1-сурет).

нүктесі

қабырғасын

векторына көшіреміз, сонда

қалпына келтіріп,

нүктесіне ығысады.

Сонан соң

және

Сонда үш қабырғасы бойынша

үшбұрышын салуға болады:

бұрынғы қалпына

-ді

векторына көшірсек, іздеп отырған трапециямыз шығады.

Слау.

үшбұрышын саламыз.

қабырғалары бойынша

қабырғасын

векторының модулі

ға тең).

параллель етіп

орынға келтірейік (

векторына көшіріп

- іздеп отырған трапециямыз (1-суретті қараңыз).

Дәлелдеме.

(салу бойынша).

үшбұрышының қабырғалары

Параллель көшірудің қасиеті бойынша

ға тең.

векторының модулі

Сонымен,

трапециясында:

болады.

үшбұрышын үш қабырғасы бойынша салу

мүмкін болғандықтан шарттарын анықтауға

Зерттеу. Зерттеу

келіп тіреледі

Зерттеу мына төмендегіден тұрады:

Айналдыру әдісі

Мысал

Медианасы бойынша үшбұрыш салу керек.

қабырғалары және үшінші қабырғасына жүргізілген

Шешуі. Анализ.

үшбұрышы салынған делік (1-сурет).

нүктесі -

қабырғасының ортасы.

-қа тең бұрышқа айналдыру (сағат стрелкасы бағытымен) арқылы

нүктесінің айналасында

нүктесін

нүктесіне көшіруге болатындығын байқаймыз.

үшбұрышын

-қа бұрсақ

нүктесін айналдыра

және

аламыз, соңғы

үшбұрыштарын

үшбұрышын үш қабырғасы

көмекші

және

) арқылы салуға болады.

(

1-сурет

Бұдан іздеп отырған үшбұрышымызды салу тәсілі келіп шығады.

үшбұрышын, сонан соң

Салу.

үш қабырғасы бойынша

центрінен

қабырғасының ортасы -

-қа тең бұрышқа айналдырайық

үшбұрышын

нүктесін саламыз.

- іздеп отырған

(сағат

c трелкасының бағытына қарсы). Сонада

нүктесі

нүктесінің орнына келеді.

үшбұрышымыз.

Дәлеледеме. Салу бойынша

үшбұрышында

. Олай болса,

Айналдыру қасиеті бойынша

үшбұрышында кесінді

-медиана, қабырғадары

және

болады.

Зерттеу. Егер көмекші

үшбұрышын салуға болатын болса, онда іздеп отырған үшбұрышымызды

болғанда,

үшбұрышын салуға болады.

да салуға болады. Ал