Некоторые сведения из планиметрии . Вписанный четырехугольник

Некоторые сведения из планиметрии Вписанный четырехугольник

Окружностью,  описанной  около  четырёхугольника , называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность,  или  вписанным четырёхугольником .

Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Доказательство . Угол   ABC  является  вписанным углом , опирающимся на дугу  ADC  (рис.1). Поэтому  величина угла  ABC   равна половине угловой величины дуги  ADC . Угол   ADC   является вписанным углом , опирающимся на дугу  ABC . Поэтому  величина угла  ADC  равна половине угловой величины дуги  ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов  ABC  и  ADC  равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы  BCD  и  BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины  A ,  B  и  С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину  D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка  D  лежит внутри круга .

      Продолжим отрезок  CD  за точку  D  до пересечения с окружностью в точке  E , и соединим отрезком точку  E  с точкой  A   (рис.2). Поскольку четырёхугольник  ABCE   вписан в окружность, то в силу  теоремы 1 сумма величин углов  ABC  и  AEC  равна 180°. При этом сумма величин углов  ABC   и  ADC  так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол  ADC  равен углу  AEC . Возникает противоречие, поскольку угол  ADC  является  внешним углом треугольника   ADE   и, конечно же, его величина больше, чем величина угла  AEC , не  смежного  с ним.

  Случай, когда точка  D  оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является  прямоугольником .

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является  квадратом .

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией .

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по  формуле Брахмагупты :

где  a, b, c, d   –  длины сторон четырёхугольника,  а  p   – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей  вписанного четырёхугольника  равно сумме произведений противоположных сторон