kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Некоторые сведения из планиметрии . Вписанный четырехугольник

Нажмите, чтобы узнать подробности

Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Некоторые сведения из планиметрии . Вписанный четырехугольник»

Некоторые сведения из планиметрии      Вписанный четырехугольник

Некоторые сведения из планиметрии Вписанный четырехугольник

Окружностью,  описанной  около  четырёхугольника , называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность,  или  вписанным четырёхугольником .

Окружностью,  описанной  около  четырёхугольника , называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность,  или  вписанным четырёхугольником .

Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.  Доказательство . Угол   ABC  является  вписанным углом , опирающимся на дугу  ADC  (рис.1). Поэтому  величина угла  ABC   равна половине угловой величины дуги  ADC . Угол   ADC   является вписанным углом , опирающимся на дугу  ABC . Поэтому  величина угла  ADC  равна половине угловой величины дуги  ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов  ABC  и  ADC  равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.       Если рассмотреть углы  BCD  и  BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Доказательство . Угол   ABC  является  вписанным углом , опирающимся на дугу  ADC  (рис.1). Поэтому  величина угла  ABC   равна половине угловой величины дуги  ADC . Угол   ADC   является вписанным углом , опирающимся на дугу  ABC . Поэтому  величина угла  ADC  равна половине угловой величины дуги  ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов  ABC  и  ADC  равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы  BCD  и  BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины  A ,  B  и  С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину  D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка  D  лежит внутри круга .       Продолжим отрезок  CD  за точку  D  до пересечения с окружностью в точке  E , и соединим отрезком точку  E  с точкой  A   (рис.2). Поскольку четырёхугольник  ABCE   вписан в окружность, то в силу  теоремы 1 сумма величин углов  ABC  и  AEC  равна 180°. При этом сумма величин углов  ABC   и  ADC  так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол  ADC  равен углу  AEC . Возникает противоречие, поскольку угол  ADC  является  внешним углом треугольника   ADE   и, конечно же, его величина больше, чем величина угла  AEC , не  смежного  с ним.   Случай, когда точка  D  оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины  A B  и  С  четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину  D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка  D  лежит внутри круга .

      Продолжим отрезок  CD  за точку  D  до пересечения с окружностью в точке  E , и соединим отрезком точку  E  с точкой  A   (рис.2). Поскольку четырёхугольник  ABCE   вписан в окружность, то в силу  теоремы 1 сумма величин углов  ABC  и  AEC  равна 180°. При этом сумма величин углов  ABC   и  ADC  так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол  ADC  равен углу  AEC . Возникает противоречие, поскольку угол  ADC  является  внешним углом треугольника   ADE   и, конечно же, его величина больше, чем величина угла  AEC , не  смежного  с ним.

  Случай, когда точка  D  оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Окружность, описанная около параллелограмма  Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является  прямоугольником .

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является  прямоугольником .

Окружность, описанная около ромба  Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является  квадратом .

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является  квадратом .

Окружность, описанная около трапеции  Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией .

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией .

Произвольный вписанный четырёхугольник  Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по  формуле Брахмагупты :  где  a, b, c, d   –  длины сторон четырёхугольника,   а  p   – полупериметр, т.е.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по  формуле Брахмагупты :

где  a, b, c, d   –  длины сторон четырёхугольника,  а  p   – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей  вписанного четырёхугольника  равно сумме произведений противоположных сторон

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей  вписанного четырёхугольника  равно сумме произведений противоположных сторон


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Некоторые сведения из планиметрии . Вписанный четырехугольник

Автор: Швец Раиса Павловна

Дата: 11.01.2017

Номер свидетельства: 377940


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства