Мультемедийное пособие "Признаки равенства треугольников. 7 класс"

Признаки равенства треугольников

• Треугольник и его элементы
• Задачи по теме «Первый признак равенства треугольников»
• Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников»
• Задачи по теме «Третий признак равенства треугольников»
• Справочный материал (формулировка теоремы и ее доказательство):

а) Первый признак равенства треугольников

б) Второй признак равенства треугольников

в) Третий признак равенства треугольников

N

L

D

Рис. 1

Назовите:

1) сторону, лежащую против угла N :

2) сторону, лежащую против угла NDL :

3) угол, лежащий против стороны DN :

4) угол, лежащий против стороны DL :

5) углы, прилежащие к стороне NL : и

Первый признак равенства треугольников

L

Докажите, что OLF = OMN

Решение:

1) Рассмотрим OLF и :

а) OL = - по условию,

б) OF = - по условию,

F

O

N

M

Рис. 2

в) LOF = - как вертикальные углы.

Следовательно OLF = - по двум сторонам и углу между ними.

S

A

Докажите, что ARS = BRS

R

S

Решение:

1) Рассмотрим ARS и

B

Рис. 3

а ) Сторона = - по условию.

б) Сторона = - общая сторона.

в) = - по условию.

г) Следовательно, ARS = - по двум

и углу .

2) Т. к. ASR= BSR , то соответственные стороны и углы равны, BR = AR = 18 см, BRS = ARS =

15˚

Второй признак равенства треугольников

B

Докажите, что AXO = BZO

Решение:

X

O

Z

1) Рассмотрим BZO и

У них: а ) Сторона = - по условию;

б) = - по условию;

в) = - как вертикальные.

Следовательно AXO = - по стороне и двум прилежащим к ней .

A

Рис. 4

17 дм

На рисунке 5 луч DF биссектриса угла ADF

а) Докажите, что ADF = BDF ;

б) Найдите сторону BD и DBF .

D

Решение:

а) Рассмотрим ADF и .

У них: 1) = - общая сторона;

2) = - по условию;

3) = , так как DF –

A

B

110˚

F

Рис. 5

биссектриса ADB.

Следовательно, ADF = по и прилежащим к ней .

б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть сторона DB = = дм, B = = .

˚

Третий признак равенства треугольников

A

B

а) Докажите, что CAN = BAN

б) Найдите ABN.

Решение:

а) Рассмотрим и BAN.

У них: 1) AC = - по условию;

2) CN = - по условию;

3) AN = AN – общая сторона.

Значит, CAN = - по трем .

б) Из равенства треугольников CAN и BAN следует равенство соответствующих углов, то есть ABN = = .

108 ̊

C

N

Рис. 6

˚

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

C

Рассмотрим треугольники ABC и DEF , у которых AB=DE, AC=DF, углы A и D равны (рис. 7). Докажем, что ABC = DEF.

Так как A = D , то треугольник ABC можно наложить на треугольник DEF так, что вершина A совместится с вершиной D, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи DE и DF. Поскольку AB=DE, AC=DF, то сторона AB совместится со стороной DE, а сторона AC – со стороной DF ; в частности, совместятся точки B и E, C и F. Следовательно, совместятся стороны BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, значит, они равны.

A

B

E

F

D

Рис. 7

Теорема доказана.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF , у которых AB = DE, A = D, B = E (рис. 8). Докажем, что ABC= DEF.

Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, сторона AB – с равной ей стороной DE, а вершины C и F оказались по одну сторону от прямой DE.

Так как A = D и B= E, то сторона AC наложится на луч DF, а сторона BC – на луч EF. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче DF, так и на луче EF и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной F. Значит, совместятся стороны AC и DF, BC и EF.

Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, поэтому они равны.

C

A

B

E

F

D

Рис. 8

Теорема доказана.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

E

C

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, BC = EF, CA = FD (рис. 9). Докажем, что ABC = DEF. Приложим треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, вершина B – с вершиной E, а вершины C и F оказались по разные стороны от прямой DE (рис. 10).

Возможны три случая: луч FC проходит внутри угла DFE (рис. 10, а); луч FC совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 10, б); луч FC проходит вне угла DFE (рис. 10, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи можете рассмотреть самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны AC и DF, BC и EF равны, то треугольники DFC и EFC – равнобедренные (см. рис. 10, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому DCE = DFE. Итак, AC = DF, BC = EF, C = F.

Следовательно, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку равенства треугольников.

F

B

A

D

Рис. 9

D (A)

D (A)

C

1

2

F

3

4

C

F

E (B)

E (B)

б)

а)

D (A)

F

C

Теорема доказана.

E (B)

в)

Рис. 10