Методическое пособие по вычислению площадей многоугольников в том числе и по формуле Пика

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×1 см (см. рис.).

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Пример:

В = 10,  Г = 6, 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ВЕРШИНАМИ

Выполнила: учитель математики

Исашева З.Х .

Формула Пика позволит с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

Именно такие задания предлагаются в №4.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…

Г

– 1

B

+

2

Посмотрим, как применить формулу для вычисления площади.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г /2 − 1

В   — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 10

Г = 7

1

,

2

5

№ 4

х

3

х

1

0

В + Г /2 − 1

В   — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 3

Г = 4

4

№ 4

х

3

х

1

0

В + Г /2 − 1

В   — есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г  — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В = 0

Г = 4

1

№ 4

х

3

х

1

0

2014 2015

Прототип задания №4

Расположение фигур в декартовой системе координат

Прототип задания №4

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9)

S₁ = ½(a·h)

S₁ = ½(8·3) = 12

3

h

2 способ решения

9 - 1 = 8

Ответ: 12

Прототип задания №4

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9)

Если из площади прямоугольника вычесть площади двух площадей зеленых треугольников, то получим площадь искомого треугольника.

Площадь прямоугольника равна: 3·8 = 24

9-1= 8

S₁ = ½(6·3) = 9

S₂

S₁

3

9-6= 3

S₂ = = ½(2·3) = 3

Площадь искомого треугольника равна: 24 – 9 – 3 = 12

2

6

Ответ: 12

Прототип задания №4

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).

S₁ = 35

S₂

S₃

S₂ = ½(3·3) = 4,5

S₃ = 35

S₁

Площадь искомого треугольника равна:

S = S квадрата - S₁ - S₂ - S₃ = 100 – 35 – 4,5 – 35 =25,5

Ответ: 25,5

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (9;2), (1;6), (0;4).

Данный четырехугольник является прямоугольником,

т.к. противоположные стороны раны.

S прямоугольника = a·b

b

Гипотенуза a по теореме Пифагора равна:

а

2

Гипотенуза b по теореме Пифагора равна:

1

S прямоугольника =

Ответ: 20

Прототип задания №4

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

a+b

S трапеции = ̶̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶

h

2

6-2=4

2+4

S трапеции = ̶̶̶̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ·3 = 9

2

3

3-1=2

Ответ: 9

Прототип задания №4 Прототип задания №4

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

3

2

2

7

Ответ: 14

Ответ: 6

№ 4

Проверяемые требования (умения):

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

а ·в

Формула площади прямоугольного треугольника S ∆ = ̶ ̶ ̶̶̶̶

2

В

а = 6 , в =1

∆ АВС – прямоугольный.

Р

1

А

5

С

S(АВС) = ½(6·1) = 3

6

S(РНС) = ½(РС ·НС)

8

S(РНС) = ½(5·8) = 20

Площадь четырехугольника равна: 3 + 20 = 23

Н

Ответ: 23

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Sʹ = ½(5 ·9) = 22,5

Sʺ = ½(2 ·4) = 4

5

Sʹ

Площадь четырехугольника равна: 26,5

9

S ʺ

2

4

Ответ: 26,5

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Формула площади треугольника: S = ½(а ·h)

Sʹ = ½(1 ·1) = 0,5

+

S ʺ = ½(1·1) = 0,5

Sʹ

Sʺ

S = 1

Площадь четырехугольника равна 1

h

Ответ: 1

Задание №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Sʹ = ½(7·9) = 31,5

7

2

Sʺ = ½(9 ·6) = 27

3

Sʺʺ

Sʹ+S ʺ+ Sʹ ʺ+ Sʺʺ=67,5

Sʺʹ

Sʹ

Sʺ ʹ = ½(2·3) = 3

2

S ʺʺ = 2 ·3 = 6

9

S квадрата равна: 9 ·9 = 81

6

Sʺ

Вычислим площадь четырехугольника:

9

81 - 67,5 = 13,5

Ответ: 13,5

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Sʹ = ½(a · h) = ½( 3 ·1) = 1,5

+

Sʺ = ½(a+b)·h =½(3+1) ·1 = 2

Sʹ

Sʺʹ = ½(a·h) = ½(1 ·2) = 1

Sʺ

Sʺʹ

S = 1,5 + 2 + 1 = 4,5

Ответ: 4,5

7

Задание №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S( прямоугольника) = 8 ·9 = 72

8

S ʺ = 5·4 = 20

Sₒ

Sʹʹʹ =½(5·3) = 7,5

+

5

3

Sʹʹʹ

Sʹʹʹ ʹ = ½(7 · 1) = 3,5

9

5

9

Sₒ = ½(8·5) = 20

4

S ʺ

S ₒₒ

Sₒₒ = ½(9 ·2) = 9

2

S (суммы) = 60

S = S( прямоугольника) – S(суммы) = 72 – 60 = 12

Ответ:12

Прототип задания №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Sₒ = 3

Sₒₒ =3

Формула площади выпуклого четырехугольника:

3

Площадь данного четырехугольника можно вычислить

как сумму площадей двух треугольников

Sₒ

2

3

d 2

S ₒₒ

d 1 = √2

S = ½(a·h)

d 1

1

2

S = ½(2√2 ·√2)·sin90 o =2·1 = 2

√ 2

1

1

d 2 =2√2

2 ·S( треугольника) = 2·½(a·h) =2·½(1·2) = 2

1

S квадрата = 3·3 = 9

9 – 3 -3 -2 =1

Площадь искомого четырехугольника равна:

Ответ:1

Задание №4

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S квадрата =9 ·9 = 81

18

9

S искомого четырехугольника = 81 – 18 – 9 – 9 – 9 – 21 = 15

9

9

21

Ответ:15

2014год

Площади подобных фигур

Прототип задания №4

Прототип задания №4

Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Вычислим площади квадратов по следующей формуле:

S ₁ = 50;

S 1

S ₃

32

S ₂ = 18.

10

S ₂

8

6

d = 8

d² = 64;

Ответ: 8

2 х 2 = 35 2 = х 2 = 612,5 S₃ 392 d у S₁ = х 2 = 612,5 z S₁ х S₂ Из второго прямоугольного треугольника найдем у . 35 z у 21 у 2 + у 2 = 21 2 = 2 у 2 = 21 2 = у 2 = 220,5 S₂ = у 2 = 220,5 S₃ = z 2 z 2 = 392 S₃ = 612,5 – 220,5 = 392; S₃ = S₁ - S₂ ; z 2 + z 2 = d 2 (по теореме Пифагора); 2· z 2 = d 2 d 2 = 2·392 d 2 = 784 d = 28 Ответ: 28" width="640"

Задание №4

Прототип:   27608

Даны два квадрата, диагонали которых равны 21 и 35. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Можно решить эту задачу вторым способом.

Из прямоугольного треугольника можно найти х по теореме Пифагора

х

х 2 + х 2 = 35 2

= 2 х 2 = 35 2

= х 2 = 612,5

S₃

392

d

у

S₁ = х 2 = 612,5

z

S₁

х

S₂

Из второго прямоугольного треугольника найдем у .

35

z

у

21

у 2 + у 2 = 21 2

= 2 у 2 = 21 2

= у 2 = 220,5

S₂ = у 2 = 220,5

S₃ = z 2

z 2 = 392

S₃ = 612,5 – 220,5 = 392;

S₃ = S₁ - S₂ ;

z 2 + z 2 = d 2 (по теореме Пифагора);

2· z 2 = d 2

d 2 = 2·392

d 2 = 784

d = 28

Ответ: 28

х√2

Прототип задания №4

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Сˊˊ

Обозначим сторону квадрата, вписанного в окружность за х .

х

S (АˊDˊCˊBˊ) = х²

Площадь этого квадрата равна:

Найдем АˊСˊ - диагональ квадрата (диаметр окружности);

х

АˊСˊ = х√2.

( АˊСˊ ) 2 = х 2 + х 2 = 2х 2 ;

х

АˊˊСˊˊ = d = 2R

АˊСˊ = d = 2R;

АˊˊСˊˊ = АD = х√2 ;

Диаметр окружности, вписанной в квадрат

АDСВ равен стороне квадрата ;

х

Аˊˊ

S (АDСВ) = (АD) 2 = (х√2) 2 ;

S (АDСВ) = 2х 2 ;

───── = 2

S (АDСВ)

Ответ: 2

S (АˊDˊCˊBˊ)

Запомни:

Формула площади квадрата: Формула площади круга:

, d –диагональ, а –сторона квадрата

S= πr 2 ,

где r - радиус