Матрицы в электротехнике

Матричное исчисление в электротехнических расчетах

Система линейных уравнений

17 х 1 -10х 2 -5х 3 =-10

-10х 1 +15 х 2 -4х 3 =60

-5х 1 -4 х 2 +12х 3 =-10

Задача: Определить значение токов I 1 , , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 во всех цепях методом контурных токов,если Е 1 =30в, Е 2 =50в,Е 3 =40в,Е 4 =90в,Е 5 =20в,Е 6 =10в, R 1 =2 Ом, R 2 = 5Ом, R 3 = 3Ом, R 4 = 1Ом, R 5 = 4Ом, R 6 = 1Ом.

Что общего у системы алгебраических линейных уравнений

и у представленной задачи?

Немного электротехники

• Ветвью
• Узел

В качестве примера на рисунке изображена схема электрической цепи. Она содержит 6 ветвей и 4 узла

При обходе по соединенным в ветвях цепям можно получить замкнутый  контур электрической цепи

В методике расчета цепи методом контурных токов применяются формулы Крамера , метод Гаусса, решение систем уравнений методом обратной матрицы

В методе контурных токов за неизвестные величины принимаются расчетные (контурные) токи, которые протекают в каждом из независимых контуров.

И количество неизвестных токов и уравнений в системе равно числу независимых контуров цепи.

Наша задача: Определить значение токов I 1 , , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 во всех цепях методом контурных токов,если Е 1 =30в, Е 2 =50в,Е 3 =40в,Е 4 =90в,Е 5 =20в,Е 6 =10в, R 1 =2 Ом, R 2 = 5Ом, R 3 = 3Ом, R 4 = 1Ом, R 5 = 4Ом, R 6 = 1Ом.

Для расчета цепи методом контурных токов потребуется составить систему из трех уравнений.Выбираются три независимых замкнутых контура, обозначаются контурные токи и выбирается их направление.

Далее используются закон Ома, 1-й и

2-й законы Кирхгофа и составляется система уравнений:

(R 1 +R 4 +R 2 )I 11 - R 4 I 22 - R 2 I 33 = E 1 - E 4 + E 2

- R 4 I 11 +(R 4 +R 6 +R 5 )I 22 – R 5 I 33 = E 4 – E 6 - E 5

(R 2 +R 5 +R 3 )I 33 – R 2 I 11 – R 5 I 22 = - E 2 + E 5 - E 2

Подставляем численные значения в полученную систему. Имеем: 17I 11 -10 I 22 -5 I 3 3 =-10 -10 I 11 +15 I 2 2 -4 I 33 =60 -5 I 11 -4 I 2 2 +12 I 33 =-10 Сравним:

Наша система представима в матричном виде

• Эту систему можно решать различными способами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса.
• Для решения также можно использовать программы MatCAD, MatLAB .

Независимо от метода решения, получаем результат в следующем виде:

Таким образом, мы определили значение действительных токов I 1 , , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 во всех цепях , используя матричное исчисление.